第13章立體幾何初步基本立體圖形棱柱、棱錐和棱臺必備知識·自主學習導思1.棱柱、棱錐、棱臺有哪些結構特征?2.多面體的定義是什么?1.棱柱的結構特征(1)棱柱的定義:由一個平面多邊形沿_____________形成的空間圖形叫作棱柱,平移起止位置的兩個面叫作棱柱的底面,多邊形的邊平移所形成的面叫作棱柱的側面.(2)棱柱的分類及表示:根據底面多邊形的邊數分為三棱柱(底面是三角形)、四棱柱(底面是四邊形)……例如底面是五邊形的棱柱可表示為五棱柱ABCDE-A′B′C′D′E′.某一方向平移(3)特殊的棱柱直棱柱:側棱_____于底面的棱柱;斜棱柱:側棱不垂直于底面的棱柱;正棱柱:底面是_________的直棱柱;平行六面體:底面是平行四邊形的四棱柱.垂直正多邊形【思考】棱柱的兩個底面有什么關系?側面有什么特點?提示:棱柱的兩個底面是全等的多邊形,且對應邊互相平行,側面都是平行四邊形.2.棱錐的結構特征(1)棱錐的定義:當棱柱的一個底面_____為一個點時,得到的空間圖形叫作棱錐.(2)棱錐的分類及表示:根據底面多邊形的邊數分為三棱錐(底面是三角形)、四棱錐(底面是四邊形)……其中三棱錐又叫四面體.棱錐用表示頂點和底面各頂點的字母來表示,例如三棱錐可表示為:三棱錐S-ABC.(3)特殊的棱錐正棱錐:底面是_________,并且頂點與底面中心的連線_____于底面的棱錐.收縮正多邊形垂直【思考】棱錐有什么結構特征呢?提示:棱錐的底面是多邊形,側面是有一個公共頂點的三角形.3.棱臺的結構特征(1)棱臺的定義:用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐,截面和底面之間的部分稱之為棱臺.(2)棱臺的分類及表示:根據底面多邊形的邊數分為三棱臺(底面是三角形)、四棱臺(底面是四邊形)……例如底面是五邊形的棱臺可表示為五棱臺ABCDE-A′B′C′D′E′.【思考】(1)棱臺有什么特點呢?提示:原棱錐的底面和截面分別叫作棱臺的下底面和上底面,其余各面叫作棱臺的側面,相鄰側面的公共邊叫作棱臺的側棱,側面與上(下)底面的公共頂點叫作棱臺的頂點.棱臺的所有側棱延長之后交于一點.(2)在運動變化的觀點下,棱柱、棱錐、棱臺有什么關系呢?以三棱柱、三棱錐、三棱臺為例說明.提示:4.多面體的定義由若干個___________圍成的空間圖形叫作多面體.圍成多面體的各個多邊形叫作多面體的面;兩個面的_______叫作多面體的棱;棱與棱的_______叫作多面體的頂點.平面多邊形公共邊公共點【思考】在多面體中會有曲面嗎?提示:不會,多面體是由若干個平面多邊形構成的.【基礎小測】1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”)(1)棱柱的底面互相平行. ()(2)棱柱的各個側面都是平行四邊形. ()(3)有一個面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐. ()(4)長方體是四棱柱,直四棱柱是長方體. ()提示:(1)√.(2)√.(3)×.有一個面是多邊形,其余各面都是有公共頂點的三角形,由這些面所圍成的多面體才叫棱錐;(4)×.上下底面為矩形的直四棱柱才是長方體.2.下列說法中正確的是 ()A.棱柱的面中,至少有兩個面互相平行B.棱柱中兩個互相平行的平面一定是棱柱的底面C.棱柱中一條側棱就是棱柱的高D.棱柱的側面一定是平行四邊形,但它的底面一定不是平行四邊形【解析】選A.棱柱的兩底面互相平行,故A正確;棱柱的側面也可能有平行的面(如正方體),故B錯;立在一起的一摞書可以看成一個四棱柱,當把這摞書推傾斜時,它的側棱就不是棱柱的高,故C錯;由棱柱的定義知,棱柱的側面一定是平行四邊形,但它的底面可以是平行四邊形,也可以是其他多邊形,故D錯.3.(教材二次開發:習題改編)下面四個幾何體中,是棱臺的是()

【解析】選C.由棱臺的結構特征知,兩個底面平行且相似,側面都是梯形.側棱延長應交于一點.關鍵能力·合作學習類型一棱柱的結構特征(數學抽象、直觀想象)【題組訓練】1.下列說法正確的是 ()A.有兩個面平行,其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B.有兩個面平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱C.各側面都是正方形的四棱柱一定是正方體D.九棱柱有9條側棱,9個側面,側面均為平行四邊形2.下列關于棱柱的說法:(1)所有的面都是平行四邊形;(2)每一個面都不會是三角形;(3)兩底面平行,并且各側棱也平行;(4)被平面截成的兩部分可以都是棱柱.其中正確說法的序號是__________.

3.如圖長方體ABCD-A1B1C1D1.

(1)這個長方體是棱柱嗎?如果是,是幾棱柱?為什么?(2)用平面BCFE把這個長方體分成兩部分后,各部分的幾何體還是棱柱嗎?若是棱柱指出它們的底面與側棱.【解析】1.選D.選項A,B都不正確,反例如圖所示.選項C也不正確,上、下底面是全等的菱形,各側面是全等的正方形的四棱柱不是正方體.根據棱柱的定義知選項D正確.2.(1)錯誤,棱柱的底面不一定是平行四邊形;(2)錯誤,棱柱的底面可以是三角形;(3)正確,由棱柱的定義易知;(4)正確,棱柱可以被平行于底面的平面截成兩個棱柱.所以說法正確的序號是(3)(4).答案:(3)(4)3.(1)這個長方體是棱柱,是四棱柱,因為它滿足棱柱的定義.(2)截面BCFE右側部分是三棱柱,它的底面是△BEB1與△CFC1,側棱是EF,B1C1,BC.截面左側部分是四棱柱.它的底面是四邊形ABEA1與四邊形DCFD1,側棱是AD,BC,EF,A1D1.【解題策略】棱柱結構特征問題(1)有關棱柱概念辨析問題應緊扣棱柱定義:①兩個面互相平行;②其余各面是平行四邊形;③相鄰兩個四邊形的公共邊互相平行.求解時,首先看是否有兩個面平行,再看是否滿足其他特征.(2)多注意觀察一些實物模型和圖片,便于反例排除.【補償訓練】如圖所示的三棱柱ABC-A1B1C1,其中E,F,G,H是三棱柱對應邊上的中點,過此四點作截面EFGH,把三棱柱分成兩部分,各部分形成的幾何體是棱柱嗎?如果是,是幾棱柱,并用符號表示;如果不是,請說明理由.【解析】截面以上的幾何體是三棱柱AEF-A1HG,截面以下的幾何體是四棱柱BEFC-B1HGC1.類型二棱錐、棱臺的結構特征(數學抽象、直觀想象)【典例】下列關于棱錐、棱臺的說法:(1)用一個平面去截棱錐,底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺;(2)棱臺的側面一定不會是平行四邊形;(3)由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐;(4)棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐.其中正確說法的序號是____________.

【思路導引】在判斷空間圖形的相關結論時,一定要緊扣定義.【解析】(1)錯誤,若平面不與棱錐底面平行,用這個平面去截棱錐,棱錐底面和截面之間的部分不是棱臺;(2)正確,棱臺的側面一定是梯形,而不是平行四邊形;(3)正確,由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐;(4)錯誤,如圖所示四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐.

答案:(2)(3)【解題策略】判斷棱錐、棱臺形狀的兩個方法(1)舉反例法:結合棱錐、棱臺的定義舉反例直接判斷關于棱錐、棱臺結構特征的某些說法不正確.(2)直接法:棱錐棱臺定底面只有一個面是多邊形,此面即為底面兩個互相平行的面,即為底面看側棱相交于一點延長后相交于一點【跟蹤訓練】1.下列說法中,正確的是 ()①棱錐的各個側面都是三角形;②有一個面是多邊形,其余各面都是三角形,由這些面圍成的幾何體是棱錐;③四面體的任何一個面都可以作為棱錐的底面;④棱錐的各側棱長相等.A.①② B.①③ C.②③ D.②④【解析】選B.由棱錐的定義,知棱錐的各側面都是三角形,故①正確;有一個面是多邊形,其余各面都是三角形,如果這些三角形沒有一個公共頂點,那么這個幾何體就不是棱錐,故②錯;四面體就是由四個三角形所圍成的封閉幾何體,因此以四面體的任何一個面作底面的幾何體都是三棱錐,故③正確;棱錐的側棱長可以相等,也可以不相等,故④錯.2.棱臺不具有的性質是 ()A.兩底面相似B.側面都是梯形C.側棱長都相等D.側棱延長后相交于一點【解析】選C.由棱臺的概念(棱臺的產生過程)可知A,B,D都是棱臺具有的性質,而側棱長不一定相等.3.(2019·全國Ⅱ卷)中國有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體,但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖1).半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現了數學的對稱美.圖2是一個棱數為48的半正多面體,它的所有頂點都在同一個正方體的表面上,且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有________個面,其棱長為________.

【解析】上下各一個面,中間三層每層8個面,共26個面.最中間全是正方形的八個面的上沿構成正八邊形,如圖:,

則有8θ=360°,解得θ=45°,即設棱長為x,可得2+x=1,解得x=-1.答案:26-1類型三多面體的平面展開圖問題(直觀想象、邏輯推理)角度1空間幾何體的展開與折疊

【典例】(1)如圖是三個空間圖形的平面展開圖,請問各是什么空間圖形?(2)紙質的正方體的六個面根據其方位分別標記為上、下、東、南、西、北,現在沿該正方體的一些棱將正方體剪開,外面朝上展平得到如圖所示的平面圖形,則標“△”的面的方位是 ()

A.南 B.北 C.西 D.下【思路導引】(1)結合多面體的結構特征,將其平面圖形還原為立體幾何圖形.(2)將正方體進行還原,就是正方體展開的逆推,一定要遵循展開的要求,是外面朝上.【解析】(1)圖①中,有5個平行四邊形,而且還有兩個全等的五邊形,符合棱柱特點;圖②中,有5個三角形,且具有共同的頂點,還有一個五邊形,符合棱錐特點;圖③中,有3個梯形,且其腰的延長線交于一點,還有兩個相似的三角形,符合棱臺的特點.把平面展開圖進行還原,如圖所示:所以①為五棱柱,②為五棱錐,③為三棱臺.(2)選B.將所給圖形還原為正方體,并將已知面“上”“東”分別指向上面、東面,則標記“△”的為北面.【變式探究】本例(2)的條件若改為里面朝上展平得到如圖所示的平面圖形,則標“△”的面的方位是什么呢?【解析】選A.將所給圖形進行還原,注意里面朝上展開,所以標“△”的面為南面.角度2多面體表面距離最短問題

【典例】在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,BB1=5,一只螞蟻從點A出發沿表面爬行到點C1,求螞蟻爬行的最短路線長.【思路導引】求螞蟻爬行的最短路程,受到平面內兩點之間線段最短的啟發,需要將正方體進行展開,使螞蟻爬行的路線是一條線段即可.【解析】沿長方體的一條棱剪開,使A和C1展在同一平面上,求線段AC1的長即可,有如圖所示的三種剪法:①若將C1D1剪開,使平面AB1與平面A1C1共面,可求得AC1=②若將AD剪開,使平面AC與平面BC1共面,可求得AC1=③若將CC1剪開,使平面BC1與平面AB1共面,可求得AC1=相比較可得螞蟻爬行的最短路線長為【解題策略】多面體展開圖問題的解題策略1.繪制展開圖:繪制多面體的表面展開圖要結合多面體的幾何特征,常常給多面體的頂點標上字母,先把多面體的底面畫出來,然后依次畫出各側面,便可得到其表面展開圖.2.由展開圖復原圖形:若是給出多面體的表面展開圖,來判斷是由哪一個多面體展開的,則可把上述過程逆推.同一個空間圖形的表面展開圖可能是不一樣的,也就是說,一個多面體可有多個表面展開圖.【題組訓練】1.水平放置的正方體的六個面分別用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示,如圖是一個正方體的平面展開圖(圖中數字寫在正方體的外表面上),若圖中的“2”在正方體的上面,則這個正方體的下面是 ()A.1 B.9 C.快 D.樂【解析】選B.由題意,將正方體的展開圖還原成正方體,如圖:“1”與“樂”相對,“2”與“9”相對,“0”與“快”相對,所以下面是“9”.2.一個空間圖形的平面展開圖如圖所示.

(1)該幾何體是哪種多面體?(2)該多面體中與“?！弊置嫦鄬Φ氖悄膫€面?“你”字面相對的是哪個面?【解析】(1)該幾何體是四棱臺.(2)與“?！弊置嫦鄬Φ拿媸恰扒啊?與“你”字面相對的面是“程”.備選類型多面體的表面展開圖(直觀想象、邏輯推理)【典例】如圖,在三棱錐V-ABC中,VA=VB=VC=4,∠AVB=∠AVC=∠BVC=30°,過點A作截面△AEF,求△AEF周長的最小值.【思路導引】求△AEF的周長的最小值就是求AE+EF+AF的最小值,將三棱錐V-ABC展開,兩點之間線段最短.【解析】將三棱錐沿側棱VA剪開,并將其側面展開平鋪在一個平面上,如圖,線段AA1的長為所求△AEF周長的最小值.因為∠AVB=∠A1VC=∠BVC=30°,所以∠AVA1=90°.又VA=VA1=4,所以AA1=4.所以△AEF周長的最小值為4.【解題策略】該題考查的是有關幾何體的表面上兩點之間的最短距離的求解問題,在解題的過程中,需要明確兩個點在幾何體上所處的位置,再利用平面上兩點之間線段最短,所以處理方法就是將面展開平鋪,利用平面圖形的相關特征求得結果.【跟蹤訓練】如圖所示,長方體的底面相鄰邊長分別為1cm和3cm,高為6cm.如果用一根細線從點A開始經過4個側面纏繞一圈到達點B,那么所用細線最短需要多長?【解析】將長方體展開,連接AB′,因為AA′=1+3+1+3=8(cm),A′