第七章非線性系統的分析第一頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四7.1基本概念系統的非線性程度比較嚴重，無法用小范圍線性化方法化為線性系統，稱為非線性系統。有兩種情況:（1）系統中存在非線性元件；（2）為了某種控制目的，人為引進的非線性。一、非線性系統的特點1、線性系統的穩定性和零輸入響應的性質只取決于系統的結構、參數，而和系統的初始狀態無關。非線性系統的穩定性和零輸入響應的性質不僅取決于系統的結構、參數，而且與系統的初始狀態有關。第二頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四2、線性系統只有兩種基本運動形式：發散（不穩定）和收斂（穩定）。非線性系統除了發散和收斂兩種運動形式外，即使無外界作用，也可能會發生自持振蕩，這是非線性系統獨有的現象。3、在正弦輸入下，線性系統的輸出是同頻率正弦信號。非線性系統在正弦輸入下，輸出是周期和輸入相同、含有高次諧波的非正弦信號。4、線性系統分析可用迭加原理，在典型輸入信號下系統分析的結果也適用于其它情況。非線性系統不能應用迭加原理，沒有一種通用的方法來處理各種非線性問題。對非線性系統分析研究的重點是：（1）系統是否穩定；（2）有無自持振蕩；（3）若存在自持振蕩，確定自持振蕩的頻率和振幅；（4）研究消除或減弱自持振蕩的方法。第三頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四自持振蕩第四頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四二、典型非線性系統及對系統性能的影響1、死區非線性伺服電機的死區電壓（啟動電壓），測量元件的不靈敏區等都屬于死區非線性特性。由于有死區特性存在，將使系統產生靜態誤差，特別是測量元件的不靈敏區影響最為突出，且用提高增量的方法也無法消除。

當x(t)>0時，sgnx(t)=+1；當x(t)<0時，sgnx(t)=-1

a為死區寬度，k=tgβ斜率第五頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四2、飽和非線性常見于放大器中，在大信號作用下，放大倍數小，因而降低了穩態精度。

在控制系統中若存在飽和特性，將使系統在大信號作用下的等效放大倍數降低，從而引起瞬態過程時間的延長和穩態誤差的增加。對于條件穩定系統，甚至可能出現小信號時穩定，而大信號時不穩定的情況。當x(t)>0時，sgnx(t)=+1；當x(t)<0時，sgnx(t)=-1

a為線性區寬度k為線性區特性的斜率k=tgβ第六頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四3、間隙非線性齒輪傳動的齒隙特性，液壓傳動的的油隙特性、鐵磁元件的磁滯現象等均屬于這類特性。間隙非線性特性包含了死區非線性、飽和非線性、回環非線性等多種非線性因素。當系統中有間隙特性存在時，將使系統輸出信號在相位上產生滯后，從而使系統的穩定裕度減少、穩態誤差增大、動態特性變壞，相對穩定性變差。

間隙的存在常常是系統產生自持振蕩的主要原因。a為間隙寬度k為線性輸出特性的斜率，k=tgβ第七頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四4、繼電器特性繼電器特性中包含了死區、回環和飽和特性，因此對系統的穩態性能、暫態性能和穩定性都有不利影響。a—繼電器吸合電壓

ma—釋放電壓

M—飽和輸出

由于繼電器元件在控制系統中常用來作為改善系統品質的切換元件，因此繼電器特性在非線性系統的分析中占有重要地位。第八頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四m=1單值繼電器m=-1僅含滯環的繼電器m=a=0理想繼電器特例第九頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四5.變放大系數特性

變放大系數特性使系統在大誤差信號時具有較大的放大系數，系統響應迅速。而在小誤差信號時具有較小的放大系數，使系統響應既緩且穩。具有這種特性的系統，其動態品質較好。第十頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四其它類型非線性第十一頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四三、非線性系統的分析和設計方法1.相平面法相平面法是求解一階或二階非線性系統的圖解法。這種方法既能提供的穩定性信息，又能提供時間響應信息。其缺點是只限于一階和二階系統。2.描述函數法

描述函數法是基于頻率域的等效線性化方法。該法不受系統階次的限制，但系統必須滿足一定的假設條件，且只能提供系統穩定性和自激振蕩的信息。3.波波夫法波波夫法是一個關于系統漸近穩定充分條件的頻率域判據。它可以應用于高階系統，并且是一個準確判定穩定性的方法。第十二頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四7.4描述函數描述函數法是達尼爾(P．LDaniel)于1940年首先提出的，其基本思想是：當系統滿足一定的假設條件時，系統中非線性環節在正弦信號作用下的輸出可用一次諧波分量來近似，由此導出非線性環節的近似等效頻率特性，即描述函數。這時非線性系統就近似等效為一個線性系統，并可應用線性系統理論中的頻率法對系統進行頻域分析。第十三頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四描述函數法主要用來分析在無外作用的情況下，非線性系統的穩定性和自振蕩問題，并且不受系統階次的限制，一般都能給出比較滿意的結果，因而獲得了廣泛的應用。但是由于描述函數對系統結構、非線性環節的特性和線性部分的性能都有一定的要求，其本身也是一種近似的分析方法，因此該方法的應用有一定的限制條件。另外，描述函數法只能用來研究系統的頻率響應特性，不能給出時間響應的確切信息。第十四頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四

總之：

1、描述函數是非線性特性的一種線性近似方法。它是線性系統理論中的頻率特性法在一定假設條件下，在非線性系統中的應用。

2、它主要用來分析非線性系統的穩定性，以及確定非線性系統在正弦函數作用下的輸出響應特性。應用這種方法時非線性系統的階數不受限制。

3、描述函數的最基本思想是用輸出信號中的基波分量來代替非線性元件在正弦輸入信號作用下的實際輸出。

第十五頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四N(A)G(s)r(t)=0x(t)y(t)c(t)-非線性系統方框圖如下：系統由兩部分組成：N(A)代表非線性元件，G(s)代表線性部分。對線性環節G(s)的要求：①最小相位傳遞函數；②具有較好的低通濾波特性。對非線性環節的要求：①非線性特性與時間無關；②非線性輸出可以只考慮基波分量。③非線性環節具有奇對稱性上述要求的目的使分析簡化，一般系統均能滿足。第十六頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四雖然非線性控制系統的參考輸入r(t)=0，但是系統在干擾信號的激勵下，非線性元件的出信號y(t)將是一個非正弦的周期函數，若滿足傅氏分解條件，可分解為直流分量y0(t)、一次諧波分量y1(t)、二次諧波分量y2(t)、…，其幅值取決于y(t)中各諧波分量的大小及系統線性部分的頻率特性G(jω)。

很多非線性元件的特性是奇對稱的，則y(t)中的直流分量y0(t)=0。G(jω)一般具有良好的低通性能，因此，y(t)中的高次諧波幅值不大，略去這些較小分量，得到y(t)≈y1(t)。一次諧波分量又稱為基波分量。因此，非線性的輸出可只考慮基波分量y1(t)起作用，從而引出描述

函數的定義：第十七頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四式中由于y的高次諧波幅值小于基波幅值，且系統的線性部分具有低通濾波性質，可以假設只有基波分量起作用，而將高次諧波忽略不計。設非線性環節的輸入為：輸出y(t)可以展開成下列傅氏級數：第十八頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四設非線性特性為對稱型，則傅氏級數中的直流分量y的基波為：假設非線性系統滿足上述條件，則：第十九頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四

非線性特性的描述函數定義為：輸出的基波分量y1(t)與正弦輸入信號x(t)的復數比：這是一個復函數，模為輸出基波幅值與輸入幅值之比，相角是輸出基波對輸入的相位移。

描述函數N(X)表示了當X為正弦信號時，輸出基波分量與X在幅值和相位上的關系，類似于線性環節的頻率特性。一、描述函數的定義第二十頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四二、典型非線性特性的描述函數1、飽和非線性的描述函數當輸入信號為正弦信號：則輸出為：第二十一頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四第二十二頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四非線性環節的輸出基波分量為：因此，飽和特性的描述函數為：顯然，只有當X>a時研究飽和特性才有意義。第二十三頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四對于飽和特性，習慣上將稱為相對描述函數。兩者之間關系為：將其寫成與線性系統中幅相頻率特性類似的形式：負倒相對描述函數定義：簡稱“負倒幅相特性”第二十四頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四式中：第二十五頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四

這里需要注意：描述函數雖然可以寫成與頻率特性類似的形式，但其變量不是頻率，而是非線性特性的參量及輸入正弦信號的振幅。在圖7-5-2所示的負倒幅相平面上，當X/a=1時，特性曲線從(-1，j0)點開始，隨著X/a增大，特性曲線負實軸向左延伸，當X/a—∞,特性曲線伸向負無限遠處。飽和特性的負倒幅相特性為：第二十六頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四

與線性系統的對數頻率特性類似，也可以繪制負倒對數幅相特性，如圖7-5-3所示。中橫坐標是變量X／a，并按對數分度。表示幅值的縱坐標是分貝值，表示相角的縱坐標位為度。如將非線性特性的描述函數視為復數增益，則飽和特性的描述函數是一個實數增益，值總小于1，或者說飽和特性的增益總是小于其線性段的增益K0，隨著輸入信號幅值增加，其等效增益愈低。第二十七頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四2、死區非線性的描述函數具有死區特性的非線性環節如圖7-5-4所示。當輸入為正弦信號：輸出信號為：第二十八頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四根據（7-4-14）可以得到：由于：所以：第二十九頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四死區特性的相對描述函數為：負倒相對描述函數為：第三十頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四表７-５-２列出了死區特性的負倒相對描述函數的幅值、相角與變量Ｘ／ａ之間的數值關系。第三十一頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四圖7-5-5是死區特性的負倒幅相特性，當X/a=１時，它起始于負實軸上無限遠處，隨著X/a增加，它沿著負實軸趨向于(-1,j0)點.第三十二頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四圖7-5-6是死區特性的負倒對數幅相特性第三十三頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四間隙特性的描述函數為：第三十四頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四繼電器特性的描述函數為：第三十五頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四１、m=12、m=-1第三十六頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四3、理想繼電器特性(7-5-18)式（7-5-18)說明理想繼電器特性的負倒相對幅頻特性是以X/M為變量，完全與負實軸重合的直線。第三十七頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四7.5非線性環節的串、并聯及系統的變換用諧波平衡法分析非線性系統須使系統具有如圖所示結構形式。通常的情況是系統結構較為復雜，例如有多個非線性環節串聯或者并聯于系統線性環連接點處，為便于應用描述函數法，就須將系統變換成如上圖所示典型結構形式。由于諧波平衡法只分析含有數種典型非線性環節的系統是否存在自持振蕩，而不去詳細研究非線性系統在不同輸入下的響應及系統內部各處的狀態，可以令輸入信號為零，在不改變系統信號傳遞規律的前提下，進行系統簡化和變換。N(A)G(s)r(t)=0x(t)y(t)c(t)-第三十八頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四圖7-5-1是多個線性環節和一個非線性環節組成的非線性系統。如將匯合點移動之后，最后可以變換為如圖7-5-1c所示系統。由于感興趣的只是分析非線性系統是否存在自持振蕩，則實際上圖7-7-1c中最后一個線性環節1／G3(s)是不必要的，亦即此非線性系統中的線性環節集中后的傳遞函數應是:一、系統線性部分的變換與集中圖7-5-1非線性系統中線性部分的變換與集中第三十九頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四R(s)=0非線性環節被線性環節包圍的情況第四十頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四線性環節被非線性環節包圍的情況R(s)=0第四十一頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四二、非線性環節串聯的特性兩個非線性環節串聯，與線性環節串聯的性質類似，前一環節的輸出為后一環節的輸入，圖7-5-2給出了兩個非線性環節串聯組成的情況。圖7-5-2兩個非線性環節串聯y1x2第四十二頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四y1根據前述串聯的原理，可以用作圖方法求得串聯后的非線性特性，如圖7-5-3所示。圖7-5-3環節串聯由圖不難看出，死區參量：線性部分增益：飽和值：第四十三頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四等效非線性的不靈敏區：輸出為：M描述函數為：第四十四頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四三、非線性環節并聯的特性圖7-5-4表示兩個非線性環節的并聯情況，如輸入為x，則輸出為y=y1+y2，這與線性環節并聯情況一樣。兩個非線性環節并聯后的等效非線性特性將因兩個環節的死區參量a1和a2不同而有差異。當a1<a2時，兩環節并聯后的等效非線性特性如圖a所示。圖7—7-4兩個非線性環節的并聯第四十五頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四當al=a2=a時，兩環節并聯后的等效非線性特性如圖b所示。第四十六頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四當a1>a2時，兩環節并聯后的等效非線性特性如圖c所示。第四十七頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四7.6非線性系統的諧波平衡法分析和相平面法不同，諧波平衡法對非線性環節進行諧波線性化處理，允許線性部分是任意階次。非線性系統的特征方程為：即：第四十八頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四如果滿足上式，表示與有交點，此時非線性系統將出現自持振蕩，這相當于線性系統的極坐標圖在復平面中穿過（-1，j0）點。將非線性的負倒幅特性和線性部分的極坐標圖繪制在一個復平面中，根據二者的相對位置可分析非線性系統的穩定性。一、非線性系統穩定第四十九頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四三、非線性系統產生自持振蕩圖示系統在a點產生穩定的自持振蕩。由交點可確定自持振蕩的頻率和幅值。二、非線性系統不穩定第五十頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四例題1

非線性系統方框圖如圖所示，問：系統穩定與否？若產生自持振蕩，試確定自持振蕩的頻率和振幅。解：理想繼電器的描述函數為：在M=1的情況下，理想繼電器的負倒幅特性為：當A=0時，；當A=∞時，所以特性為整個負實軸第五十一頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四系統線性部分的頻率特性為：令得（1）帶入（1）式得：的交點有：即：-1.67第五十二頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四由上述乃奎斯特穩定判據判斷非線性系統的穩定性和確定系統是否存在自持振蕩的結論可知，系統產生穩定的自持振蕩，振蕩頻率和振幅分別為：例2具有飽和非線性的控制系統如下圖所示，試分析系統的穩定性；為了使系統不產生自持振蕩，系統應該如何調整？解：飽和非線性的描述函數為：式中K=2,s=1，則：第五十三頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四起點為A=1時，當時因此曲線位于-0.5~-∞這短負實軸上。系統線性部分的頻率特性為：令即得曲線與負實軸焦點的頻率為：第五十四頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四代入求得曲線與負實軸交點為：1、將k=15代入上式，得：左圖繪出了k=15時的曲線與曲線，兩曲線交于（-1，j0)點，顯然交點對應的是一個穩定的自持振蕩，根據交點處幅值相等，得：第五十五頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四求得與交點對應的幅值A=2.5。因此當k=15時，系統處于自持振蕩狀態，振幅為A=2.5,頻率為2、欲使系統穩定地工作，不出現自持振蕩，由于G(s)極點均在s平面左半部分，根據乃氏判據，非線性系統穩定性和確定系統是否存在自持振蕩的結論，應該使曲線不包圍曲線既：故k的臨界值為：因此為了使系統不產生自持振蕩而穩定工作，系統的k值最大調整到7.5第五十六頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四例3有繼電控制系統如圖所示.線性部分的傳遞函數為:為使系統不產生自振,試用描述函數法確定繼電特性參數h,M的值.提示:繼電特性描述函數為第五十七頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四解:描述函數：第五十八頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四可以求得第五十九頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四即和實軸交點為。為使系統不產生自持振蕩，應使和兩曲線無交點。所以有：第六十頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四7.7利用非線性特性改善系統的性能

在線性系統中，為了提高系統穩定精度則希望增大系統的開環放大系數，或者在系統的開環傳遞函數中增添s=0極點，但由此可能導致系統的相對穩定性能降低，使暫態性能惡化；又如，在暫態性能中，響應的快速性與超調量之間也有矛盾。因此，在系統設計時，往往采取折衷方案。但是，如果人為有目的的地在線性系統中加入某些非線性環節，卻有可能使系統的性能大幅度地提高，以達到單純線性系統根本無法實現的預期效果。第六十一頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四開環傳遞函數為閉環傳遞函數為

1.具有微分反饋的二階系統

第六十二頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四開環傳遞函數為閉環傳遞函數為

2.當未引入局部微分反饋（β=0）時

曲線①為未引入微分反饋時系統的階躍響應，超調量過大。曲線②為引入微分反饋后系統的階躍響應，雖無超調，但響應過慢。曲線③則較為理想，即輸出口向應能較快地跟蹤輸入，同時又無超調。

加入輸出微分反饋后，相當于使系統的阻尼比增大了。第六十三頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四若在輸出微分反饋通道中引入一個非線性特性環節，如圖所示，就可以實現上述要求。此非線性環節有兩個輸入，一個是系統的輸出c(t)，另一個輸入則是系統的誤差e(t)。此非線性環節具有以下特性：即當與輸出c(t)成比例的信號小于與誤差e(t)成比例的信號時，此環節無輸出；當與輸出c(t)成比例的信號大于與誤差e(t)成比例的信號時，則此環節有輸出，且輸出與系統的輸出c(t)成比例。特性：Kcc(t)<Kee(t)時，N(·)=0Kcc(t)>Kee(t)時，N(·)∝c(t)第六十四頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四

此非線性環節具有死區特性，但又不是一般的死區特性，而是其死區大小隨系統的誤差信號成比例變化的死區特性。此非線性環節的原理圖如下圖所示。第六十五頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四圖中Ke和Kc分別是兩輸入端的比例系數。檢測的誤差信號e(t)經過比例環節Ke后加于橋式整流器，整流器輸出則加于電位器兩端，由于有兩個二極管隔離，故與e(t)成比例的信號不可能輸出，只是在電位器上形成與e(t)成比例的電位。從系統輸出端檢測到的信號c(t)，經比例器Kc后，再經過二極管加于電位器的滑動點上，只有當加于電位器滑動點之與c(t)成比例的信號超過加于電位器上與誤差e(t)成比例的電位后，則有與系統輸出c(t)成比例的信號輸出到微分反饋環節的輸入端。第六十六頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四

在階躍信號剛作用時，e(t)很大，c(t)很小，微分反饋環節不起作用，相當于系統傳遞函數中β等于零；隨著時間推移，e(t)減小，c(t)增長，適當地整定此非線性環節的參數，可以在接近于穩態值時，使微分反饋環節具有輸入信號，因而使系統處于附加有輸出微分反饋的狀態。曲線③

在線性系統中，正確地引入非線性特性能使系統的性能大為改善。

第六十七頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四如果希望前述二階系統有較高的穩態跟蹤精度(即穩態誤差很小)，同時又有較高的相對穩定性，就可以在系統中采用串聯非線性校正裝置，如圖所示。第六十八頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四

該串聯非線性校正裝置的原理圖如圖所示。此校正裝置由電子運算放大器組成，在此有兩點需要指出：第一，它使用的是同相輸入端；第二，在其輸出端附加了限幅電路，使其靜特性成為飽和值可調的飽和特性。描述這一校正裝置的傳遞函數可以求得。當放大器未處于飽和輸出時，有：式中Ｋ為放大器增益第六十九頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四令整理化簡得：第七十頁，共七十七頁，編輯于2023年，星期四

（1）當運算放大器輸出未達到飽和值時，K→∞

（2）當運算放大器輸出達到飽和值時，K<<1系統開環傳遞函數系統開環傳