第一節(jié)點(diǎn)估計(jì)問題概述第一頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四在實(shí)際問題中,當(dāng)所研究的總體分布類型已知,但分布中含有一個(gè)或多個(gè)未知參數(shù)時(shí),如何根據(jù)樣本來估計(jì)未知參數(shù)，這就是參數(shù)估計(jì)問題.參數(shù)估計(jì)問題分為點(diǎn)估計(jì)問題與區(qū)間估計(jì)問題兩類.所謂點(diǎn)估計(jì)就是用某一個(gè)函數(shù)值作為總體未知參數(shù)的估計(jì)值；區(qū)間估計(jì)就是對(duì)于未知參數(shù)給出一個(gè)范圍，并且在一定的可靠度下使這個(gè)范圍包含未知參數(shù).第二頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四例如,燈泡的壽命X是一個(gè)總體,根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)知道,X服從,但對(duì)每一批燈泡而言,參數(shù)是未知的,要寫出具體的分布函數(shù),就必須確定出參數(shù).此類問題就屬于參數(shù)估計(jì)問題.第三頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四參數(shù)估計(jì)問題的一般提法:設(shè)有一個(gè)統(tǒng)計(jì)總體,總體的分布函為,其中為未知參數(shù)(可以是向量).現(xiàn)從該總體中隨機(jī)地抽樣,得一樣本再依據(jù)該樣本對(duì)參數(shù)作出估計(jì),或估計(jì)參數(shù)的某已知函數(shù)第四頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四第一節(jié)點(diǎn)估計(jì)問題概述內(nèi)容分布圖示

★引言★點(diǎn)估計(jì)的概念★例1★評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)★無偏性★例2★例3★有效性★例4★例5★例6★相合性★例7★例8★內(nèi)容小結(jié)★課堂練習(xí)★習(xí)題6-1第五頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四內(nèi)容要點(diǎn)：一、點(diǎn)估計(jì)的概念設(shè)是取自總體X的一個(gè)樣本,是相應(yīng)的一個(gè)樣本值.是總體分布中的未知參數(shù),為估計(jì)未知參數(shù),需構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量然后用其觀察值來估計(jì)的值.稱為的估計(jì)量.稱為的估計(jì)值.在不致混淆的情況下,估計(jì)量與估計(jì)值統(tǒng)稱為點(diǎn)估計(jì),簡稱為估計(jì),并簡記為.第六頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四注:估計(jì)量是一個(gè)隨機(jī)變量,是樣本的函數(shù)，即是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量,對(duì)不同的樣本值,的估計(jì)值一般是不同的.第七頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四二、評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)從例1可見,參數(shù)點(diǎn)估計(jì)的概念相當(dāng)寬松,對(duì)同一參數(shù),可用不同的方法來估計(jì),因而得到不同的估計(jì)量,故有必要建立一些評(píng)價(jià)估計(jì)量好壞的標(biāo)準(zhǔn).估計(jì)量的評(píng)價(jià)一般有三條標(biāo)準(zhǔn):1.無偏性;2.有效性;3.相合性（一致性）.在本節(jié)的后面將逐一介紹之.第八頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四在具體介紹估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)之前,需指出:評(píng)價(jià)一個(gè)估計(jì)量的好壞,不能僅僅依據(jù)一次試驗(yàn)的結(jié)果,而必須由多次試驗(yàn)結(jié)果來衡量.因?yàn)楣烙?jì)量是樣本的函數(shù),是隨機(jī)變量.故由不同的觀測結(jié)果,就會(huì)求得不同的參數(shù)估計(jì)值.因此一個(gè)好的估計(jì),應(yīng)在多次重復(fù)試驗(yàn)中體現(xiàn)出其優(yōu)良性.第九頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四1．無偏性估計(jì)量是隨機(jī)變量,對(duì)于不同的樣本值會(huì)得到不同的估計(jì)值.一個(gè)自然的要求是希望估計(jì)值在未知參數(shù)真值的附近,不要偏高也不要偏低.由此引入無偏性標(biāo)準(zhǔn).第十頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四定義1

設(shè)是未知參數(shù)的估計(jì)量,若則稱為的無偏估計(jì)量.注:無偏性是對(duì)估計(jì)量的一個(gè)常見而重要的要求,其實(shí)際意義是指估計(jì)量沒有系統(tǒng)偏差，只有隨機(jī)偏差.在科學(xué)技術(shù)中,稱為用估計(jì)而產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差.例如,用樣本均值作為總體均值的估計(jì)時(shí),雖無法說明一次估計(jì)所產(chǎn)生的偏差,但這種偏差隨機(jī)地在0的周圍波動(dòng),對(duì)同一統(tǒng)計(jì)問題大量重要使用不會(huì)產(chǎn)生系統(tǒng)偏差.第十一頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四對(duì)一般總體而言，我們有定理1設(shè)為取自總體X的樣本,總體X的均值為,方差為.則(1)樣本均值是的無偏估計(jì)量;(2)樣本方差是的無偏估計(jì)量;(3)樣本二階中心矩是的有偏估計(jì)量.第十二頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四2．有效性一個(gè)參數(shù)常有多個(gè)無偏估計(jì)量,在這些估計(jì)量中,自然應(yīng)選用對(duì)的偏離程度較小的為好,即一個(gè)較好的估計(jì)量的方差應(yīng)該較小.由此引入評(píng)選估計(jì)量的另一標(biāo)準(zhǔn)—有效性.第十三頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四定義2

設(shè)和都是參數(shù)的無偏估計(jì)量,若則稱較有效.注:

在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中常用到最小方差無偏估計(jì),其定義如下:設(shè)是取自總體X的一個(gè)樣本,是未知參數(shù)的一個(gè)估計(jì)量,若滿足:(1)即為的無偏估計(jì);(2)是的任一無偏估計(jì).則稱為的最小方差無偏估計(jì)(也稱最佳無偏估計(jì)).第十四頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四3．相合性(一致性)我們不僅希望一個(gè)估計(jì)量是無偏的,并且具有較小的方差,還希望當(dāng)樣本容量無限增大時(shí),估計(jì)量能在某種意義下任意接近未知參數(shù)的真值,由此引入相合性(一致性)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn).第十五頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四定義3

設(shè)為未知參數(shù)的估計(jì)量,若依概率收斂于,即對(duì)任意,有或則稱為的(弱)相合估計(jì)量.第十六頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四例題選講：

點(diǎn)估計(jì)的概念（講義例1）設(shè)X表示某種型號(hào)的電子元件的壽命(以小時(shí)計(jì))，它服從指數(shù)分布：為未知參數(shù),.現(xiàn)得樣本值為168,130,169,143,174,198,108,212,252,試估計(jì)未知參數(shù).第十七頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四解 由題意知,總體的均值為即因此,如用樣本均值作為的估計(jì)量看起來是最自然的.對(duì)給定的樣本值計(jì)算得故與分別為的估計(jì)量與估計(jì)值.第十八頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四 評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)例2（講義例2）設(shè)總體,是來自這一總體的樣本.(1)證明是的無偏估計(jì);(2)求第十九頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四解 (1)故是的無偏估計(jì).(2)因而且它們相互獨(dú)立,故依分布定義

由此知第二十頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四例3（講義例3）設(shè)是總體的一個(gè)簡單隨機(jī)樣本.求使為的無偏估計(jì).第二十一頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四解 由于且相互獨(dú)立,于是當(dāng)時(shí)因?yàn)楫?dāng)時(shí),所以故當(dāng)時(shí),有為的無偏估計(jì).第二十二頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四例4（講義例4）設(shè)為來自總體X的樣本,,均為總體均值的無偏估計(jì)量,問哪一個(gè)估計(jì)量有效?第二十三頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四解 由于所以為和無偏估計(jì)量,但故較更有效.第二十四頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四例5設(shè)總體X在區(qū)間上服從均勻分布,是取自總體X的簡單隨機(jī)樣本,求常數(shù)使均為的無偏估計(jì),并比較其有效性.第二十五頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四解 已知其分布函數(shù)為因故當(dāng)時(shí),為無偏估計(jì),且又所以第二十六頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四故當(dāng)時(shí),即為的無偏估計(jì),且所以比更有效.第二十七頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四

例6（講義例5）設(shè)分別自總體和中抽取容量為的兩獨(dú)立樣本.其樣本方差分別為.試證,對(duì)于任意常數(shù)都是的無偏估計(jì),并確定常數(shù)使達(dá)到最小.第二十八頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四解 由第5章第三節(jié)的定理2,知且相互獨(dú)立,所以故當(dāng)時(shí),即是的無偏估計(jì).由相互獨(dú)立,及第二十九頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四令得駐點(diǎn)又知該點(diǎn)為極小值點(diǎn),所以,當(dāng)時(shí),統(tǒng)計(jì)量具有最小方差.(注:此例結(jié)果表明,第5章第三節(jié)定理4中的統(tǒng)計(jì)量是方差的最佳無偏估計(jì)).第三十頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四

例7（講義例6）設(shè)是取自總體樣本,且存在為正整數(shù),則為的相合估計(jì)量.第三十一頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四

證 事實(shí)上,對(duì)指定的,令由大數(shù)定理知從而是的相合估計(jì)量.作為特例,樣本均值是總體均值的相合估計(jì)量.第三十二頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四例8（講義例7）設(shè)總體,為其樣本.試證樣本方差是的相合估計(jì)量.第三十三頁，共三十五頁，編輯于2023年，星期四

證 由本節(jié)定理1,又由第5章第三節(jié)定理2,知從而