2024屆福建省莆田四中、莆田六中高二上數學期末教學質量檢測模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．拋物線的焦點到直線的距離（）A. B.C.1 D.22．在等差數列中，，且，，，構成等比數列，則公差（）A.0或2 B.2C.0 D.0或3．已知直線過點，當直線與圓有兩個不同的交點時，其斜率的取值范圍是（）A. B.C. D.4．已知橢圓方程為，點在橢圓上，右焦點為F，過原點的直線與橢圓交于A，B兩點，若，則橢圓的方程為（）A. B.C. D.5．已知事件A，B相互獨立，，則（）A.0.24 B.0.8C.0.3 D.0.166．某學校隨機抽取了部分學生，對他們每周使用手機的時間進行統計，得到如下的頻率分布直方圖.則下列說法：①；②若抽取100人，則平均用時13.75小時；③若從每周使用時間在，，三組內的學生中用分層抽樣的方法選取8人進行訪談，則應從使用時間在內的學生中選取的人數為3.其中正確的序號是（）A.①② B.①③C.②③ D.①②③7．若直線與圓相切，則（）A. B.或2C. D.或8．若雙曲線的一條漸近線方程為.則（）A. B.C.2 D.49．若圓與圓相切，則的值為（）A. B.C.或 D.或10．已知平面內有一點，平面的一個法向量為，則下列四個點中在平面內的是（）A. B.C. D.11．中國古代數學著作《算法統宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數，請公仔細算相還．”其意思為：有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地，請問第二天走了（）A.192

里 B.96

里C.48

里 D.24

里12．試在拋物線上求一點，使其到焦點的距離與到的距離之和最小，則該點坐標為A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知是雙曲線的左、右焦點，若為雙曲線上一點，且，則__________.14．已知集合，，將中的所有元素按從大到小的順序排列構成一個數列，則數列的前n項和的最大值為___________.15．已知，，若x，a，b，y成等比數列，x，c，d，y成等差數列，則的最小值為_____________.16．若曲線在處的切線平行于x軸，則___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線的焦點為，且為圓的圓心．過點的直線交拋物線與圓分別為，，，（從上到下）（1）求拋物線方程并證明是定值；（2）若，的面積比是，求直線的方程18．（12分）已知函數.（1）討論的單調性；（2）當時，求函數在內的零點個數.19．（12分）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點與橢圓M：＝1的右焦點重合.（1）求拋物線C的方程；（2）直線y＝x+m與拋物線C交于A，B兩點，O為坐標原點，當m為何值時，＝0.20．（12分）已知數列的前項和為，，.（1）求的通項公式；（2）求數列的前項和；（3）若數列，，求前項和.21．（12分）若函數在區間上的最大值為9，最小值為1.（1）求a，b的值；（2）若方程在上有兩個不同的解，求實數k的取值范圍.22．（10分）已知函數（1）求函數的圖象在點處的切線方程；（2）求函數的極值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】由拋物線可得焦點坐標，結合點到直線的距離公式，即可求解.【題目詳解】由拋物線可得焦點坐標為，根據點到直線的距離公式，可得，即拋物線的焦點到直線的距離為.故選：B.2、A【解題分析】根據等比中項的性質和等差數列的通項公式建立方程，可解得公差d得選項.【題目詳解】解：因為在等差數列中，，且，，，構成等比數列，所以，即，所以，解得或，故選：A.3、A【解題分析】設直線方程，利用圓與直線的關系，確定圓心到直線的距離小于半徑，即可求得斜率范圍.【題目詳解】如下圖：設直線l的方程為即圓心為，半徑是1又直線與圓有兩個不同的交點故選：A4、A【解題分析】根據橢圓的性質可得，則橢圓方程可求.【題目詳解】由點在橢圓上得，由橢圓的對稱性可得，則，故橢圓方程為.故選：A.5、B【解題分析】利用事件獨立性的概率乘法公式及條件概率公式進行求解.【題目詳解】因為事件A，B相互獨立，所以，所以故選：B6、B【解題分析】根據頻率分布直方圖中小矩形的面積和為1可求出，再求出頻率分布直方圖的平均值，即為抽取100人的平均值的估計值，再利用分層抽樣可確定出使用時間在內的學生中選取的人數為3.【題目詳解】，故①正確；根據頻率分布直方圖可估計出平均值為，所以估計抽取100人的平均用時13.75小時，②的說法太絕對，故②錯誤；每周使用時間在，，三組內的學生的比例為，用分層抽樣的方法選取8人進行訪談，則應從使用時間在內的學生中選取的人數為，故③正確.故選：B.7、D【解題分析】根據圓心到直線的距離等于半徑列方程即可求解.【題目詳解】由圓可得圓心，半徑，因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離，整理可得：，所以或，故選：D.8、C【解題分析】求出漸近線方程為，列出方程求出.【題目詳解】雙曲線的漸近線方程為，因為，所以，所以.故選：C9、C【解題分析】分類討論:當兩圓外切時，圓心距等于半徑之和；當兩圓內切時，圓心距等于半徑之差，即可求解.【題目詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為.①當兩圓外切時，有，此時.②當兩圓內切時，有，此時.綜上，當時兩圓外切；當時兩圓內切.故選：C【題目點撥】本題考查了圓與圓的位置關系，解答兩圓相切問題時易忽略兩圓相切包括內切和外切兩種情況.解答時注意分類討論，屬于基礎題.10、A【解題分析】設所求點的坐標為，由，逐一驗證選項即可【題目詳解】設所求點的坐標為，則，因為平面的一個法向量為，所以，，對于選項A，，對于選項B，，對于選項C，，對于選項D，故選：A11、B【解題分析】由題可得此人每天走的步數等比數列，根據求和公式求出首項可得.【題目詳解】由題意可知此人每天走的步數構成為公比的等比數列，由題意和等比數列的求和公式可得，解得，第此人第二天走里.故選：B12、A【解題分析】由題意得拋物線的焦點為，準線方程為過點P作于點，由定義可得,所以，由圖形可得，當三點共線時，最小，此時故點的縱坐標為1，所以橫坐標．即點P的坐標為．選A點睛：與拋物線有關的最值問題的解題策略該類問題一般解法是利用拋物線的定義，實現由點到點的距離與點到直線的距離的轉化(1)將拋物線上的點到準線的距離轉化為該點到焦點的距離，構造出“兩點之間線段最短”，使問題得解；(2)將拋物線上的點到焦點的距離轉化為點到準線的距離，利用“與直線上所有點的連線中的垂線段最短”解決二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、17【解題分析】根據雙曲線的定義求解【題目詳解】由雙曲線方程知，，，又．，所以（1舍去）故答案為：1714、【解題分析】由題意設，，根據可得，從而，即可得出答案.【題目詳解】設，由，得，由，得中的元素滿足，即，可得所以，由,所以所以，要使得數列的前n項和的最大值，即求出數列中所以滿足的項的和即可.即，得，則所以數列的前n項和的最大值為故答案為：147215、4【解題分析】根據等差數列和等比數列性質把用表示，然后由基本不等式得最小值【題目詳解】由題意，，所以，當且僅當時等號成立故答案為：416、【解題分析】求出導函數得到函數在時的導數，由導數值為0求得a的值【題目詳解】由，得，則，∵曲線在點處的切線平行于x軸，∴，即.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），證明見解析（2）【解題分析】（1）根據，結合韋達定理即可獲解（2），再結合焦點弦公式即可獲解【小問1詳解】由題知，故，拋物線方程為，設直線的方程為，，，，，，得，，，，【小問2詳解】，由（1）知，可求得，，故的方程為，即【題目點撥】關鍵點點睛：本題第二問的關鍵是要把面積的比例關系轉為為邊的比例關系18、（1）當，在單調遞增；當，在單調遞增,在單調遞減.（2）0.【解題分析】（1）求得，對參數分類討論，即可由每種情況下的正負確定函數的單調性；（2）根據題意求得，利用進行放縮，只需證即，再利用導數通過證明從而得到恒成立，則問題得解.【小問1詳解】以為，其定義域為，又，故當時，，在單調遞增；當時，令，可得，且令，解得，令，解得，故在單調遞增，在單調遞減.綜上所述：當，在單調遞增；當，在單調遞增，在單調遞減.【小問2詳解】因為，故可得，則，；下證恒成立，令，則，故在單調遞減，又當時，，故在恒成立，即；因為，故，令，下證在恒成立，要證恒成立，即證，又，故即證，令，則，令，解得，此時該函數單調遞增，令，解得，此時該函數單調遞減，又當時，，也即；令，則，令，解得，此時該函數單調遞減，令，解得，此時該函數單調遞增，又當時，，也即；又，故恒成立，則在恒成立，又，故當時，恒成立，則在上的零點個數是.【題目點撥】本題考察利用導數研究含參函數的單調性，以及函數零點問題的處理；本題第二問處理的關鍵是通過分離參數和構造函數，證明恒成立，屬綜合困難題.19、（1）y2＝4x（2）m＝﹣4或m＝0【解題分析】（1）由橢圓的右焦點得出的值，進而得出拋物線C的方程；（2）聯立直線和拋物線方程，利用韋達定理結合數量積公式證明即可【小問1詳解】由題意，橢圓＝1的右焦點為（1，0），拋物線y2＝2px的焦點為（，0），所以，解得p＝2，所以拋物線的方程為y2＝4x；【小問2詳解】因為直線y＝x+m與拋物線C交于A，B兩點，設A（x1，y1），B（x2，y2），聯立方程組，可得x2+2（m﹣2）x+m2＝0，由Δ＝4（m﹣2）2﹣4m2＞0，解得m＜1，所以x1+x2＝﹣2m+4，x1x2＝m2，又因為，又＝（x1，y1），＝（x2，y2），可得x1x2+y1y2＝x1x2+（x1+m）（x2+m）＝2x1x2+m（x1+x2）+m2＝m2+4m＝0，解得m＝﹣4＜1或m＝0＜1，故m＝﹣4或m＝0.20、（1）（2）（3）【解題分析】（1）由可求得的值，令，由可得，兩式作差可推導出數列為等比數列，確定該數列的首項和公比，即可求得數列的通項公式；（2）求得，利用錯位相減法可求得；（3）利用奇偶分組法，結合等差數列和等比數列的求和公式可求得.【小問1詳解】解：當時，，可得，當時，由可得，上述兩個等式作差得，可得，所以，數列是以為首項，以為公比的等比數列，故.【小問2詳解】解：，所以，，所以，，上述兩個等式作差得，因此，.【小問3詳解】解：由題意可得，，所以，.21、（1）（2）【解題分析】（1）令，則，根據二次函數的性質即可求出；（2）令，方程化為，求出的變化情況即可求出.【小問1詳