一、單項選擇題(本大題有4小題，每小題

4分，共16分)

設/'(x)=cosx(x+|sinx|),貝在x=0處有().D

(A)八°)=2(B)r(°)=i(C)r(°)=°(D)

/(x)不可導.

設a(x)=^~,尸(x)=3-3匹，貝(J當xf1時()八

1+x.A

(A)a(x)與￡(x)是同階無窮小，但不是等價

無窮小；(B)a(x)與夕(%)是等價無窮小；

(C)。⑸是比以X)高階的無窮小；

(D)以處是比。⑴高階的無窮小.

若尸(*)=-2—)/?)力，其中/⑴在區間上T1)二階

可導且，(x)＞。，則(),

(A)函數F3必在尤=。處取得極大值；

(B)函數/⑴必在，=。處取得極小值;

(C)函數小)在“。處沒有極值，但點(01(0))為

曲線產內)的拐點；

(D)函數取)在』處沒有極值，點(0,F(0))也不

是曲線產飛)的拐點。

設/1(%)是連續函數，且/(x)=x+2[/?)比，貝(]/(x)=()

(A)T(B)T+2(C)1(D)x+2.

二、填空題(本大題有4小題，每小題4分,

共16分)

2

lim(l+3x)sinx=

x—>0.

已知上空是/(X)的一個原函數，則[/(X)?七dx=

XJX

4,2422左2〃—1、

lim一(cos——i-cos---1----------Feos----〃)=

〃fgnnnn

Vx2arcsinx+1.

-----/——dx=

37i-x2

2?

三、解答題（本大題有5小題，每小題8分,

共40分）

設函數y=y（"）由方程e"'+sin（"）=1確定，求V（*）以

及

求匕黑亡

設、1_/'（*）=<\xe-~-x,--x<0求4[c/（*）&

V2x-x2,O<x<1*3

站n,、出招g（x）=]/3）由iimZ<￡）=A

設函數/（X）連續，o,且一x,A

為常數.求,⑴并討論小）在*=。處的連續性.

求微分方程盯'+2'=*加工滿足>⑴=4的解.

四、解答題（本大題10分）

已知上半平面內一曲線y=j(x)(xNO),過點(時,

且曲線上任一點MOWo)處切線斜率數值上等

于此曲線與,軸、y軸、直線x"，所圍成面積

的2倍與該點縱坐標之和，求此曲線方程.

五、解答題(本大題10分)

過坐標原點作曲線尸心的切線，該切線與

曲線＞=加工及x軸圍成平面圖形D.

求D的面積A；(2)求D繞直線x=e旋轉

一周所得旋轉體的體積V.

六、證明題(本大題有2小題，每小題4分,

共8分)

設函數/⑺在［。川上連續且單調遞減，證明對

q1

任意的”“1。?0.

兀

設函數小）在［。㈤上連續，且?⑺八

卜⑺c°s"x=0.證明：在（0㈤內至少存在兩個不

同的點心2,使/值）=/怎）=0.（提示：設

X

尸（X）=jf（x）dx

。）

一、單項選擇題（本大題有4小題，每小題4

分，共16分）

1、D2、A3、C4、C

二、填空題（本大題有4小題，每小題4分,

共16分）

1COSX2冗兀

/.6./丁）+二7.I.8.I.

三、解答題（本大題有5小題，每小題8分,

共40分）

解：方程兩邊求導

ex+J(l+jr)+cos(xy)(xjz+j)=0

x+y

>(x)_e+ycos(xy)

ex+y+xcos(xy)

X=O,y=0,jr(0)=-l

?u—x1lx6dx-du

2

原式」《一)du

=31^^“=91〃+l

=1(lnlwl-21nlw+ll)+c

12

=-Inlx71——lnll+x7l+C

77

.jJ(x)dx=1°xe-xJx+jy/2x-x2dx

=1xd(-e*)+[2dx

[-xe-x-ex]]+cos2gde(令—]=sin8)

解：由八。）=。，知g（o）=。。

x

LXt=U

g(x)=jf(xt)dt=0

0X(x，0)

X

xf(x)-jf(u)du

g'(x)=---------------------(x^O)

X

jf(u)du

Hm?A

g，(O)=%丁I。2x7

xf(x)-jf(u)du

1吧g，(x)已吧--卞----------=A-y=7,g，(x)在“0處連

續。

dy2

解：石+7加

-(-dx廣f-rfr

y=e〃(jeJxInxdx+C)

=—xlnx-—x+Cx~2

39

v(l)=~-,C=0y=-xlnx--x

八9,,39

四、解答題(本大題10分)

解：由已知且，'=20dx+y,

將此方程關于,求導得

特征方程：r~-r-2=0解出特征根：。=-1，G=2.

其通解為

21

代入初始條件，（。）=火。）=1,得C，=3,^=3

2712x

故所求曲線方程為：尸丁十丁

五、解答題（本大題10分）

解：（1）根據題意，先設切點為（EW）,切

線方程：…叫=3…。）

由于切線過原點，解出*。=一從而切線方程

1

為一7

11

則平面圖形面積心產3以5一

（2）三角形繞直線x=e一周所得圓錐體體

積記為VI,則匕=*

曲線y=lnx與X軸及直線X=e所圍成的圖形

繞直線X=e一周所得旋轉體體積為V2

y2

V2=j^r(e-e)dy

0

D繞直線x=e旋轉一周所得旋轉體的體積

2

V=Vt-V2=-(5e-12e+3)

六、證明題（本大題有2小題，每小題4分,

共12分）

夕14<71

^f(x)dx-q^f(x)d=>

證明:00ooq

。1

=(1-^)\fMdx-qJ/(x)J

0q

芻WO,川會€%，1]/(^)>/?2)

4(1—4)/(芻)—4(1—4)/(4)>0

故有:

J/(x)dx”J/(x)d.

00證畢。

證：構造輔助函數：小)=]"辿，。―。其滿

足在[0/]上連續，在(0,%)上可導。F'(x)=f(x)9且

F(0)=FU)=0

由題設，有

nnn

0=J/(x)cosxJx=JcosxJF(x)=F(x)cosx|+Jsinx-F(x)dx

000,

n

有/⑴w=",由積分中值定理，存在欠(。，*

使/e)sin"0艮|]/修)=0

綜上可知F(0)=F(^)=FU)=0,"(0,〃).在區間[0,目,修,萬]

上分別應用羅爾定理，知存在

寸)和”(△%),使/?)=0及尸(昆)=0,即

/?)=/心)=。.高等數學I解答

一、單項選擇題(在每個小題四個備選答案

中選出一個正確答案，填在題末的括號中)

(本大題有4小題，每小題4分，共16分)

當2%時，皿）風）都是無窮小，則當―為時

（D）不一定是無窮小.

(A)網”+及)(B)a，(x)+￡?(x)

a2(x)

(C)ln[l+a(x)?伙x)](D)隊x)

?

（sinxV-?

極限網嬴d的值是（c）.

(A)1(B)e(C)

(D)產

sinx+e2<,x-1_

(x)=?xxH

ax=0在x=0處連續，則a=

(D).

(A)1(B)0(C)e

(D)-i

設/a）在點…處可導，那么A-?oh

(A).

(A)3/⑷(B)2/⑷

(C)/⑷(D)⑷

二、填空題(本大題有4小題，每小題4分,

共16分)

..ln(x+6r)-lntz.八、1

極限物一—叱①的值是

由exy+yInx=cos2x確定函數y(x),則導函數上

2sin2x+"+ye"

___________X______

xexy+Inx.

直線/過點M(l,2,3)且與兩平面x+2y-z=0,2x-3y+5z=6

都平行，則直線/的方程為

x-1y—2z-3

-1—--1-_].

求函數k21n(4獷的單調遞增區間為(一

,0)和(L+).

三、解答題(本大題有4小題，每小題8分,

共32分)

..(l+x)*-e

計算極限颼「一

—ln(l+x)-i

(l+x)x-eex-1..ln(1+x)-xe

=elim=ehm----------=——

2

解.期XTOXTOx2

/UT?xx

已知:團=3,⑸=26,屐5=30,求1/引。

cos0=&,sin8=71-cos20--..

1313

解：同W,\axb\=72

設〃x)在?b］上連續，且…卜3?

試求出仆)。

XX

解：""

XX

F'(x)=jf(t)dt+xf(x)-xf(x)=

尸'(x)=/(x)

fCOSX,

-4\x---ax.

'sinx

解：「器》=

=--xsin-2x+—fsin_2xd=-ixsin-2x--cotx+C

22J22

四、解答題（本大題有4小題，每小題8分,

共32分）

「ax

」*2xy/x2-1

求忑.

=2"戶_=arcsinr。?冗

2x

求函數八中的極值與拐點.

解：函數的定義域（一，+）

2

,2(1—x)(l+x)N~~4x(3-%)

y(i+x2)2y(i+x2)3

令y=o得x1=1,x2=-1

),〃⑴<0x1=1是極大值點，y"(T)>0x2=」是

極小值點

極大值y(D=i,極小值y(-D=-i

令y'=o得x3=0,x4=65=

X（■廣百）(2)（0,百）（百,十）

y—+—+

故拐點（?凡?亨），（0,0）（鳥日）

X3__

求由曲線”彳與y=3x*所圍成的平面圖形的

面積.

解:二=3x-x2,x3-12x+4x2=0,

4

x(x+6)(x-2)=0,x,=-6,x2=0,x3=2.

S=^(—―3x+/)dx+J-(3x-%2——)dx

x4c32%3、I。/3c)k34x.i2

=(z------x+——)|<+(-jc---------)L

1623k62316lo

=45+2-=47-

33

設拋物線y=4”上有兩點A(-l,3),8(3,—5),在弧A

B±,求一點P(x,y)使AA8P的面積最大.

解：

A8連線方程：y+2x-\=0\AB\=445

點P到A8的距離R'+r"=一/+產+3_1<<3)

V5V5(x

A48P的面積

S(x)=—4A/5-----；=----=2(—x~+2x+3)

2V5

Sf(x)=-4x+4當x=lSf(x)=0

S"(x)=—4<0

當x=1時S(x)取得極大值也是最大值

此時y=3所求點為(1,3)

另解：由于A48C的底一定，故只要高最大而過C點的拋物線

的切線與A8平行時，高可達到最大值，問題轉為求C(x0,4-焉)

，使/''(X。)=-24=一5-%+1=-2,解得4=1,所求C點為(1,3)

六、證明題(本大題4分)

設x〉0,試證e2x(1-x)<1+x.

證明：設/(x)=e2v(l-x)-(l+x),x>0

lx2x

f'M=e(\-2x)-\9f(x)=-4xe,

x〉0,/ffU)<0,因此八X)在(0,+)內遞減。

在(0,+)內，尸。)<尸(0)=0，/。)在(0,+)

內遞減，

在(0,+)內，/(x)</(0),gpe2r(l-x)-(l+x)<0

亦即當X>0時，e2（j）<l+xo

高等數學IA

一、單項選擇題（在每個小題四個備選答案

中選出一個正確答案，填在題末的括號中）

（本大題有4小題，每小題4分，共16分）

函數

ln(x+1)

x-l

tan—x,0<x<1

x+sinx,x<0

的全體連續點的集合是

(A)(J)u(l,+

(C)(-00,0)U(0,4-00)(D)(-8,0)U

U

(0,1)(1,+8)

尤2+1

設㈣-)=。，則常數a,b的值所組成的數

組(a,b)為()

(A)(1,0)(B)(0,1)(C)(1,

1)(D)(1,-1)

設在［0,1］上小)二階可導且廣。)>。，則

()

(A)/⑼〈尸⑴〈/⑴-/(。)(B)

/,(0)</(1)-/(0)<7,(1)

(C)/，(1)</，(0)</(1)-/(0)(D)/(1)-/(0)</，(1)</，(0)

71717C

2?4~2~2

CSinXCOSX,..f/?34、Jnf/2?34、」

M=I----——ax,N=I(sin*x+cosx)dxP=\(xsin'x-cosx)ax

-I1+x-I-I則

()

(A)M<N<P(B)P<N<M

(C)P<M<N(D)N<M<P

二填空題(本大題有4小題，每小題4分,

共16分)

x>1d(x2arctanJx-l)=

(

)

設J/(x)dx=sinx+c,貝⑹(x)dx=

(

)

x-4_y_z-5

直線方程2-mn6+p,與xoy平面,yoz平面

都平行，

那么m,n,p的值各為

()

limf-U'T

()

三解答題（本大題有3小題，每小題8分,

共24分）

計算理（siMxX2）

2|

c、xcos—,X>0

fM=\x

設I、黑。試討論巾）的可導性，并在可

導處求出尸（，）

設函數y=/（劃在（-8,+8）連續，在X0時二階可導,

且其導函數八）的圖形如圖所示，給出

小）的極大值點、極小值點以及曲線尸,⑴的拐

點。

四解答題（本大題有4小題，每小題9分,

共36分）

求不定積分Jx-\X

||lnx|dx

計算定積分：

.xyz-1.x-1y—2z—3

已知直線「片亍"F=/='，求過直線

11且平行于直線12的平面方程。

過原點的拋物線丫=?及y=O,x=l所圍成的平

81

面圖形繞X軸一周的體積為匚)，確定拋物線

方程中的a,并求該拋物線繞y軸一周所成

的旋轉體體積。

五、綜合題(本大題有2小題，每小題4分,

共8分)

設F(x)=(x-l)2/a),其中小)在區間［1,2］上二階可

導且有〃2)=。,試證明存在《＜興2)使得〃飛)=。。

f(x)=j(r-r2)sin2z,tdt(x>0)

o

求小)的最大值點；

證明："幻"(2〃+2)(2”+3)

一、單項選擇題BDBC.

二、填空題(本大題有4小題，每小題4分,

共16分)

XI____

一(―/+4arctanJx-1)dx

dy—2Vx—1.

J/(〃)*)dx=Jcos(xH——)dx—sin(x4——)+c

m=2,p=-6,〃w0.

g(e—l)

三、解答題（本大題有3小題，每小題8分,

共24分）

11、

（8分）計算極限理v（z打下）

2

1、x-sin2x

—)=11m----------

解：盛相?…。x2sin2x

..x-sinxx+sinx

=lim----------------

XT。XX

一.1-cosx1

=2lim---；—=-

3廠3

21

xcos—,x>0

/（X）=,x

xX

（8分）設~0,試討論〃x)的可導性,

并在可導處求出尸（x）.

解：當x>0/(x)=2xcosl+sini；當*<。，]⑴=]

cos----0An

x=0f*(0)=lim-------組一=0廣(0)=lim絲」=1

+3+M」…-AX

2xcos—+sin—x>0

<(6=,xx

故f（x）在x=0處不可導。ix<0

(8分)設函數y=/。)在s，+8)連續，在"0時二階

可導，且其導函數廣⑴的圖形如圖.給出小)的

極大值點、極小值點以及曲線⑶的拐點.

解：極大值點：x="x=d極小值點：x

拐點(0,7(0)),(c,/(c))

四解答題(本大題有4小題，每小題9分,

共36分)

(9分)求不定積分,黑等?

解：原式=(+出+言心

_4111H31n|x-l|+c

X—1

(9分)計算定積分上乂，

解：原式/EMx+fmxdx

=[-(xlnx-x)]i+[xlnx-x][

e

二2二

e

；xyz-1,x-1y-2z-3

(9分)已知直線’:「廠丁，2丁='=工,求過

直線11且平行于直線12的平面方程.

解：n=?,x?2=(1,2,3)x(2,5,4)=(-7,2,1)

取直線11上一點M1(O,O,1)于是所求

平面方程為

-7x+2y+(z-l)=0

(9分)過原點的拋物線)=?3＞。)及y=0,

x=l所圍成的平面圖形繞x軸一周的體積為

81

丁.求a,并求該拋物線繞y軸一周所成的

旋轉體體積.

Ip，，2

丫=\niax1^dx-na1—_na

解：/5］

71a281萬

由已知得丁丁故a=9拋物線為…=9/

繞y軸一周所成的旋轉體體積：

,r419

V=12^X-9X2JX=18%—=—九

o402

五綜合題(每小題4分，共8分)

(4分)設F(x)=(x-l)2/(x),其中小)在區間［1,2］上二

階可導且有八2)=。.證明：存在歲。＜4＜2)使得

證明：由小)在［1,2］上二階可導，故F(x)

在［1,2］二階可導,因f(2)=0,故F(1)=F(2)

=0

在［1,2］上用羅爾定理，至少有一點"1氣＜2)

使〃(%)=0

尸(x)=2(x+得F⑴=0

在［1,xO］上對尸⑺用羅爾定理，至少有點

久1＜看＜/＜2）尸（。）=0

(4分).

解：(1)x=l為/⑴的最大值點。

,2222

/(x)=(x-x)sin"x?當0<x<l,f'(x)=(x-x)sin"x>0.當x>l,

fr(x)=(x-x2)sin2nx<00/⑴為極大值，也為最大值。

(2)/(x)=￡(r-r2)sin21,^</(l)

]

/(1)=一產)sir?”團4

(2〃+2)(2〃+3)

高等數學上B(07)解答

填空題：(共24分，每小題4分)

dy_

2-22

1.y=sin[sin(x)]f|j||]2xcos[sin(x)]cosxQ

2.已知'1+犬2八-",a=1

jlnx|dx=2二

J.eeo

4.y=e'過原點的切線方程為y=3

5.已知"x）=*貝！JJX'二X+C。

_39

6.a=2,b=2

時，點（L3）是曲線y=ax3+bx1的拐點。

二、計算下列各題：（共36分，每小題6分）

1.求y=（sinx）cost的導數。

解：y'=^cosAlnsinxy=*sxlnsinx（一如工gSinX+COtXCOSX）

2|sinInxdx

解:jsinInxdx=xsinlnx-jcosInxdx

=xsinlnx-xcosInx-sinInxdx

—(xsinlnx-xcosInx)4-C

=J廠_]+5InIx+A/X2—11+C

x

fe9x>0

4.設仆「八1，x<。在點x=。處可導，貝h為

何值？

k

hjj￡(0)=lim—x=lim

mAt?x->o-xio-

470)=lim—=1

XT0+x

k=1

5.求極限蚓E+R+…+了彳）。

解:

lim

-J之

—In(九+Jl+x，)4=ln(l+V2)

x+2y-z+l=0

6.求過點(2,2,0)且與兩直線ix-y+z-l=0和

2x-y+z=0

上".0平行的平面方程。

解：兩直線的方向向量分別為

電=(1,2,-1)x(1,-1,1)=(1,-2,-3),S2=(2,-1,1)x(1,-1,1)=,平面的

法向量?=(1,-2,-3)x(0,-1,-1)=(-1,1,-1)0

平面方程為x-y+z=。。

三、解答下列各題：(共28分,每小題7分)

Jx=7?cosrd2y

1=HsinJ求而。

dy

解：:

dx2-/?sinrRsin3f

2.求"x)=「"D"在T2］上的最大值和最小值。

解：E'(x)=x(x—l)=O,x=O,x=l

尸(0)=0,夕(1)==

F(-l)=(①一1)力=—|,口2)=p(I)力=|

25

最大值為"最小值為七

3.設y=ya)由方程x(l+y2)-ln(x2+2y)-0確定，求v⑼。

解：方程Xl+y2)-ln(x2+2y)=0兩邊同時對X求導

(1+.)+2XW-2：+”O

x+2y

?1

將代入上式

y,（o）=：

O

4.求由k/與A*圍成的圖形繞,軸旋轉所得

的旋轉體的體積。

解：丫=卜（〉->4）力

3

=—71

10

四、證明題：（共12分，每小題6分）

1.證明過雙曲線所I任何一點之切線與。X"

二個坐標軸所圍成的三角形的面積為常數。

證明：雙曲線。口上任何一點0）的切線方程

為

Y-y=-^X-X）

切線與，軸、，軸的交點為。七心0

故切線與。X。二個坐標軸所圍成的三角形

的面積為SE+2

2.設函數/（X）與g（x）在閉區間〔。，勿上連續，證明:

至少存在一點4使得

/（4）1g（x）dx=ge）ff（x）dx

證明：令網》）=11（幻句,/（加

1

尸g）=Fs）=o,由Rolle定理，存在一

點3。向,使尸⑹=°,即

/《）1g（x）dx=g?ff（x）dx

高等數學上解答（07）

單項選擇題（每小題4分，共16分）

L/（x）=xcos^'IS，nAl（-°°<x<4-00）Ao

（A）奇函數；（B）周期函數；（C）

有界函數；（D）單調函數

2.當口。時，f(x)=(1-cosx)ln(1+2x2)與B是同階

無窮小量。

(A)%(B)心(C)

x,(D)/

Jx-2y+z=0

3首jx+y_2z=0與平面x+)+z=l的位置關系是

Co

(A)直線在平面內；(B)平行；(C)

垂直；(D)相交但不垂直。

4.設有三非零向量7日。若、=。，axc=0f則“=

Ao

(A)0；(B)-1；(C)

1；(D)3

填空題(每小題4分，共16分)

1.曲線vTnx上一點P的切線經過原點(0,0),

點P的坐標為⑥)。

..tanx-xi

2.智高』二5。

3.方程ey+6xy+x2-1=0確定隱函數y=火幻,則）/（0）=

0o

4.曲線—2、I與1軸所圍圖形繞、軸旋轉一

71

周所得旋轉體的體積為人

解下列各題（每小題6分，共30分）

?->

r,、../-sin-x.,

1.已知"小照（一），求八3

.2

c,、「/—SIFTX[-sidx

用AS牛：/（X）='lTi田m（-----'------）=e

r(x)=—e』*in2x

2.求不定積分網n，）+白弋

.j[ln(lnx)+~^—\dx=jln(lnx)dx+^-^—dx

=xln(lnx)-dx+dx

=xln（lnx）+C

3.計算定積分上（瀉.忘7"

［產2（；n：+“一x2）dx=JjYJl-x，）dx+『產2:in：dx

解:

=L（x2J1-X、）dx+O

x=sin/￡

=2Psin2rcos2zJz

_71

~~8

r1+sinx

4.求不定積分JR。，

rl+sinx.r1.rsinx.

----------dx-----------ax+----------ax

WP?J1+cosxJ1+cosxJ1+cosx

1rx,rdCOSx

=—sec2-ax-----------

2J2Jl+cosx

x

=tan——In11+cosxI+C

2

5.已知，'（lnx）=x,且/（l）=e+l,求/（X）。

解：^*Inx=r,f'（t）=e'

f(x)=ex+C

/⑴=e+l,/(x)=e，+l

(8分)設小)對任意x有/(x+l)=2/(x),且廣⑼V。

八1)o

解：由/(x+l)=2/(x),/⑴=2/(0)

/⑴如/⑴一⑴

XT1X-1

z->0t

N=limw)zw

10t

輯

=2/(0)=-1

22

五、(8分)證明：當m時，(x-l)lnx>(x-l)o

掰

笈

嫩

徐證明：只需證明a+Dlnmo

圖

/(x)=(x+1)Inx-x+1

/⑶—海，/⑴在U，+8)單調遞增。

22

"1)=0,當X>1時，/W>0ogp(x-l)lnx>(x-l)Q

（8分）

已知小）="—（/小）連續,且當x.O時,FV）

與一

為等價無窮小量。求/,⑼。

..?（x）.

解：I吧丁=1

F（X）=［（x2-r2）/W?=x2f/W/-fr/W/

F'(x)=2x[f/Wt+x2f\x)-x2f\x)=2x^f(t)dt

F'M

lim2lim—-----=2/〃(0)

10Xiox-

八0)=g

（8分）

2

設有曲線y-4x(0<x<1)和直線y=c(0<c<4)o記它們

與>軸所圍圖形的面積為A,它們與直線e所

圍圖形的面積為4。問c為何值時,可使A=A+a

最小？并求出A的最小值。

A'(c)=Vc-1

A(c)=7?-1=0,^^c=l0

A"⑴=：>0

2,c=l為最小值點。

minA=傳辦+2坐吁

八、設小)在"內的點”處取得最大值，且

\f'\x)\<K(a<x<h)Q

證明：\f'(a)\+\f'(b)\<K(b-a)

證明：/U)=o

在對r(X)應用拉格朗日定理

fXx0)-f'(a)=1m)(%-a)(a<芻<%)

尸(a)=/"&)(a-x0),\f\a)\<K(xO-a)

在對尸(x)應用拉格朗日定理

/⑶―/(%)=/〃&)3-玉))(=<“)

f\b)=/④)do)，l<K(I°)

一、單項選擇題(在每個小題四個備選答案

中選出一個正確答案，填在題末的括號中)

(本大題分5小題，每小題2分，共10分)

1、

設/=C日Tdx,則/=

Jex+\

(A)ln(e*—l)+c⑻ln(e'+l)+c;

(C)21rl(e、+1)—x+c;

(D)九一21n(e'+l)+c.

答()

2、

/12n-y

lim\e〃?e"???e〃-e=

"T8

(A)l(B)&(C)e(D)e2

答()

3、

f(x)=j三的〃階麥克勞林展開式的拉格朗日型余項R.(x)=()(式中0<0<1)

(A)--------------------xn+l(B)----------------x),+1

(7j+l)(l-0x)n+l(n+l)(l-9x)n+l

(C)-------------xn+i(D}——(T)-----x"+i

)(l-0x)n+2(l-0x),,+2

答()

4、

設/?(外在苫=0的某鄰域內連續，且/XO)=0,lim,八'=2,則點x=0

101-cosX

(A)是/'(X)的極大值點(B)是/'(X)的極小值點

(C)不是/1(x)的駐點(D)是/'(x)的駐點但不是極值點

答()

5、

曲線y=/-2x+4上點%(0,4)處的切線也7與曲線V=2(x-1)所圍成的平面

圖形的面積A=

214913

(A)—⑻一(C)—(￡>)——

49412

答（）

二、填空題（將正確答案填在橫線上）

（本大題分5小題，每小題3分，共15分）

（設y=lnA/l+tan（x+—）,則）/=________

1>VX

2、

用切線法求方程/—2--5x-l=0在（-1,0）內的近似根時，選我并相應求得下

一個近似值XI。貝卜°,為分別為。

x-ly+1-1

3、設空間兩直線丁=亍17與x+l=y-l=z相交

于一點，則心

sinx+e?"-1.當』

,在x0處連續，則。=

4、，當x=0

5,其中b是實數.

三、解答下列各題

（本大題4分）

設平面兀與兩個向量，=37+'和/；=『+了—“平行,證

明：向量0=2『-6]-E與平面兀垂直。

四、解答下列各題

（本大題8分）

討論積分，當的斂散性.

五、解答下列各題

（本大題11分）

導出計算積分/■=f一的遞推公式，其中〃為自然數。

JxYx?+l

六、解答下列各題

（本大題4分）

求過綜（4,2,一3）與平面m+y+z-10=0平行且與直線

jx+2y-z-5=0

3一。=。垂直的直線方程。

七、解答下列各題

(本大題6分)

計算極限limJ".."2土

ioxtanx

八、解答下列各題

(本大題7分)

試求="lnx)ZA的遞推公式(〃為自然數)，并計算積分/(Inx)3dx.

九、解答下列各題

(本大題8分)

設f(x)在(a,6)內可微，但無界，試證明/<x)在(a,b)內無界。

十、解答下列各題

(本大題5分)

設lim(p(x)=M0,limf(u)=/(M0),證明：lim/[(p(x)]=/(M0)

XTXOXT"。o

H^一、解答下列各題

(本大題4分)

在半徑為R的球內，求體積最大的內接圓柱體的高

十二、解答下列各題

（本大題5分）

重量為，的重物用繩索掛在m兩個釘子上，

12°4

如圖。設2i0求國所受的拉力力公

十三、解答下列各題

（本大題6分）

?質點，沿拋物線y=x（10-x）運動,其橫坐標隨著

時間f的變化規律為x=的單位是秒,x的單位是米）,

求該質點的縱坐標在點M（8,6）處的變化速率.

十四、解答下列各題

（本大題7分）

設曲線x=6，x=,2_y2及y=o,圍成一平面圖形.⑴求這個平面圖形的面積；

（2）求此平面圖形繞x軸旋轉而成的立體的體積.

、單項選擇題（在每個小題四個備選答案中

選出一個正確答案，填在題末的括號中）

（本大題分5小題，每小題2分，共10分）

1、C

2、答：B

3、c10分

4、（B）

5、C

二、填空題（將正確答案填在橫線上）

(本大題分5小題，每小題3分，共15分)

1,1

(1—sec-(14—)

廣X

1、2(l+tan(x+：))I。分

2、5分

1

X，=-510分

5

3、4

4、-1

b<0

2

<0,b=Q

b2,

5、t'''Tno分

三、解答下列各題

（本大題4分）

Jk

n=axb=310={-4,12,2}

1-4

平面法向量I4分

萬與中行8分

從而平面與?垂直。10分

四、解答下列各題

（本大題8分）

當pH1時，

f—=limf—=lim(--------

J)X，￡T+OX。￡T+O\—p

=lim—'—(l-工)

+0J-p￡P

=<I—P

4-oo,p>15分

當P=i時，

f1dxcidx..,

——=—=limIn.xl=+oo

J)PJ)x￡->+°I

X7分

if當P<1時收斂，當p21時發散.10.分

五、解答下列各題

（本大題11分）

解:〈法一)

/“=j/rd，4+1

\lx2+1

x"+'+5+1)J:"+2dx3分

+5+1)j1+x

xn+2>Jx2+

+(n+l)J-----x+(〃+1)J——7==

:I+2:d

xn+lJXII77TTJxn777T

+(〃+l)&2+(?+1)/?

-x/x2+1n/

(n+l)x,,+1-n+7"7分

fix2+1