【必考題】高一數學上期中試題(及答案)一、選擇題1．已知函數，則不等式的解集為（）A． B． C． D．2．設奇函數在上為增函數，且，則不等式的解集為（）A． B．C． D．3．關于函數有下述四個結論：①f(x)是偶函數②f(x)在區間（,）單調遞增③f(x)在有4個零點④f(x)的最大值為2其中所有正確結論的編號是A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③4．的零點所在的區間是（）A． B． C． D．5．設集合，則A． B． C． D．6．設x∈R，若函數f（x）為單調遞增函數，且對任意實數x，都有f（f（x）-ex）=e+1（e是自然對數的底數），則f（ln1.5）的值等于（）A． B． C． D．7．已知函數，若，則此函數的單調減區間是（）A． B． C． D．8．定義在上的奇函數滿足，且在上，則（）A． B． C． D．9．函數則函數的零點個數是（）A． B． C． D．10．已知，則（）A．7 B． C． D．11．函數的定義域為（）A． B． C． D．12．已知函數，若實數滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題13．已知函數的最小值為0，則實數_________.14．，則f（f（2））的值為____________．15．已知對一切上恒成立，則實數a的取值范圍是______．16．已知是定義在上的奇函數，當，的圖象如圖所示，那么的值域是______．17．非空有限數集滿足：若，則必有．請寫出一個滿足條件的二元數集S＝________．18．已知函數，若函數是偶函數，且，則函數的零點共有________個.19．函數的定義域為________．20．已知函數，若互不相等的實數，，滿足，則的取值范圍是__________．三、解答題21．已知函數f(x)是定義域為R的奇函數，當x<0時，.(1)求f(2)的值；(2)用定義法判斷y＝f(x)在區間(－∞，0）上的單調性．(3)求的解析式22．已知且，求函數的最大值和最小值．23．已知函數對任意的實數m,n都有,且當時,有.(1)求;(2)求證:在R上為增函數;(3)若,且關于x的不等式對任意的恒成立,求實數a的取值范圍.24．計算下列各式的值：（Ⅰ)（Ⅱ）25．函數是奇函數．求的解析式；當時，恒成立，求m的取值范圍．26．有一種候鳥每年都按一定的路線遷陟，飛往繁殖地產卵．科學家經過測量發現候鳥的飛行速度可以表示為函數，單位是，其中表示候鳥每分鐘耗氧量的單位數，表示測量過程中候鳥每分鐘的耗氧偏差．（參考數據：，，）（1）若，候鳥每分鐘的耗氧量為個單位時，它的飛行速度是多少？（2）若，候鳥停下休息時，它每分鐘的耗氧量為多少個單位？（3）若雄鳥的飛行速度為，雌鳥的飛行速度為，那么此時雄鳥每分鐘的耗氧量是雌鳥每分鐘的耗氧量的多少倍？【參考答案】***試卷處理標記，請不要刪除一、選擇題1．D解析：D【解析】【分析】根據題意可得函數的奇偶性以及單調性，據此原不等式轉化為，求解可得x的取值范圍，即可得出結論．【詳解】根據題意，函數，則有，解可得，即函數的定義域為，關于原點對稱，又由，即函數為奇函數，設，則，，在上為減函數，而在上為增函數，故在區間上為減函數，，解可得：，即不等式的解集為；故選:D．【點睛】本題考查函數的奇偶性與單調性的綜合應用，解題時不要忽略函數的定義域，屬于中檔題．2．D解析：D【解析】由f(x)為奇函數可知，＝<0.而f(1)＝0，則f(－1)＝－f(1)＝0.當x>0時，f(x)<0＝f(1)；當x<0時，f(x)>0＝f(－1)．又∵f(x)在(0，＋∞)上為增函數，∴奇函數f(x)在(－∞，0)上為增函數．所以0<x<1，或－1<x<0.選D點睛：解函數不等式：首先根據函數的性質把不等式轉化為的形式，然后根據函數的單調性去掉“”，轉化為具體的不等式(組)，此時要注意與的取值應在外層函數的定義域內3．C解析：C【解析】【分析】化簡函數，研究它的性質從而得出正確答案．【詳解】為偶函數，故①正確．當時，，它在區間單調遞減，故②錯誤．當時，，它有兩個零點：；當時，，它有一個零點：，故在有個零點：，故③錯誤．當時，；當時，，又為偶函數，的最大值為，故④正確．綜上所述，①④正確，故選C．【點睛】畫出函數的圖象，由圖象可得①④正確，故選C．4．B解析：B【解析】函數f（x）=ex﹣是（0，+∞）上的增函數，再根據f（）=﹣2＜0，f（1）=e﹣1＞0，可得f（）f（1）＜0，∴函數f（x）=ex﹣的零點所在的區間是（，1），故選B．點睛：判定函數的零點所在區間，只需計算區間端點處的函數值，并判斷是否異號，只要異號，則區間內至少有一個零點存在.5．A解析：A【解析】由題意，故選A.點睛:集合的基本運算的關注點：(1)看元素組成．集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構成入手是解決集合運算問題的前提．(2)有些集合是可以化簡的，先化簡再研究其關系并進行運算，可使問題簡單明了，易于解決．(3)注意數形結合思想的應用，常用的數形結合形式有數軸、坐標系和Venn圖．6．D解析：D【解析】【分析】利用換元法將函數轉化為f（t）=e+1，根據函數的對應關系求出t的值，即可求出函數f（x）的表達式，即可得到結論【詳解】設t=f（x）-ex，則f（x）=ex+t，則條件等價為f（t）=e+1，令x=t，則f（t）=et+t=e+1，∵函數f（x）為單調遞增函數，∴t=1，∴f（x）=ex+1，即f（ln5）=eln1.5+1=1.5+1=2.5，故選：D．【點睛】本題主要考查函數值的計算，利用換元法求出函數的解析式是解決本題的關鍵．7．D解析：D【解析】【分析】求得函數的定義域為，根據二次函數的性質，求得在單調遞增，在單調遞減，再由，得到，利用復合函數的單調性，即可求解.【詳解】由題意，函數滿足，解得，即函數的定義域為，又由函數在單調遞增，在單調遞減，因為，即，所以，根據復合函數的單調性可得，函數的單調遞減區間為，故選D.【點睛】本題主要考查了對數函數的圖象與性質，以及復合函數的單調性的判定，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.8．D解析：D【解析】【分析】由題意結合函數的性質整理計算即可求得最終結果.【詳解】由題意可得：，則，且，由于，故，據此可得：，.本題選擇D選項.【點睛】本題主要考查函數的奇偶性，函數的周期性及其應用等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.9．A解析：A【解析】【分析】通過對式子的分析，把求零點個數轉化成求方程的根，結合圖象，數形結合得到根的個數，即可得到零點個數．【詳解】函數的零點即方程和的根，函數的圖象如圖所示：由圖可得方程和共有個根，即函數有個零點,故選：A.【點睛】本題考查函數的零點與方程的根的個數的關系，注意結合圖象，利用數形結合求得結果時作圖很關鍵，要標準．10．C解析：C【解析】【分析】根據函數的周期性以及分段函數的表達式，結合對數的運算法則，代入即可得到結論．【詳解】，，.故選：.【點睛】本題主要考查函數值的計算，根據分段函數的表達式以及函數的周期性進行轉化是解決本題的關鍵．11．C解析：C【解析】要使函數有意義，需使，即，所以故選C12．B解析：B【解析】【分析】求出函數的定義域，分析函數的單調性與奇偶性，將所求不等式變形為，然后利用函數的單調性與定義域可得出關于實數的不等式組，即可解得實數的取值范圍.【詳解】對于函數，有，解得，則函數的定義域為，定義域關于原點對稱，，所以，函數為奇函數，由于函數在區間上為增函數，函數在區間上為減函數，所以，函數在上為增函數，由得，所以，，解得.因此，實數的取值范圍是.故選：B.【點睛】本題考查函數不等式的求解，解答的關鍵就是分析函數的單調性和奇偶性，考查計算能力，屬于中等題.二、填空題13．【解析】【分析】設計算可得再結合圖象即可求出答案【詳解】解：設則則由于函數的最小值為0作出函數的大致圖象結合圖象得所以故答案為：【點睛】本題主要考查分段函數的圖象與性質考查轉化思想考查數形結合思想屬解析：.【解析】【分析】設，計算可得，再結合圖象即可求出答案．【詳解】解：設，則，則，由于函數的最小值為0，作出函數，的大致圖象，結合圖象，，得，所以，故答案為：．【點睛】本題主要考查分段函數的圖象與性質，考查轉化思想，考查數形結合思想，屬于中檔題．14．2【解析】【分析】先求f（2）再根據f（2）值所在區間求f（f（2））【詳解】由題意f（2）=log3（22–1）=1故f（f（2））=f（1）=2×e1–1=2故答案為：2【點睛】本題考查分段函數解析：2【解析】【分析】先求f（2），再根據f（2）值所在區間求f（f（2））.【詳解】由題意，f（2）=log3（22–1）=1，故f（f（2））=f（1）=2×e1–1=2，故答案為：2．【點睛】本題考查分段函數求值，考查對應性以及基本求解能力.15．【解析】【分析】根據題意分離出參數a后轉化為求函數的最值即可通過換元后利用二次函數的性質可求得最大值【詳解】可化為令由得則在上遞減當時取得最大值為所以故答案為【點睛】本題考查二次函數的性質函數恒成立解析：【解析】【分析】根據題意分離出參數a后轉化為求函數的最值即可，通過換元后利用二次函數的性質可求得最大值．【詳解】可化為，令，由，得，則，在上遞減，當時取得最大值為，所以．故答案為．【點睛】本題考查二次函數的性質、函數恒成立問題，考查轉化思想，考查學生解決問題的能力．屬中檔題.16．【解析】【分析】先根據函數的奇偶性作出函數在y軸左側的圖象欲求的值域分兩類討論：；結合圖象即可解決問題【詳解】是定義在上的奇函數作出圖象關于原點對稱作出其在y軸左側的圖象如圖由圖可知：的值域是故答案解析：【解析】【分析】先根據函數的奇偶性作出函數在y軸左側的圖象，欲求的值域，分兩類討論：；結合圖象即可解決問題．【詳解】是定義在上的奇函數，作出圖象關于原點對稱作出其在y軸左側的圖象，如圖．由圖可知：的值域是．故答案為．【點睛】本題考查函數的圖象，考查同學們對函數基礎知識的把握程度以及數形結合的思維能力．17．{01}或{－11}【解析】【分析】因中有兩個元素故可利用中的元素對乘法封閉求出這兩個元素【詳解】設根據題意有所以必有兩個相等元素若則故又或所以（舎）或或此時若則此時故此時若則此時故此時綜上或填或【解析：{0,1}或{－1,1}，【解析】【分析】因中有兩個元素，故可利用中的元素對乘法封閉求出這兩個元素．【詳解】設，根據題意有，所以必有兩個相等元素．若，則，故，又或，所以（舎）或或，此時．若，則，此時，故，此時．若，則，此時，故，此時．綜上，或，填或．【點睛】集合中元素除了確定性、互異性、無序性外，還有若干運算的封閉性，比如整數集，對加法、減法和乘法運算封閉，但對除法運算不封閉（兩個整數的商不一定是整數），又如有理數集，對加法、減法、乘法和除法運算封閉，但對開方運算不封閉．一般地，若知道集合對某種運算封閉，我們可利用該運算探究集合中的若干元素．18．2【解析】因為是偶函數則解得又所以故令所以故有2個零點點睛：本題涉及函數零點方程圖像等概念和知識綜合性較強屬于中檔題一般討論函數零點個數問題都要轉化為方程根的個數問題或兩個函數圖像交點的個數問題本題解析：2【解析】因為是偶函數，則，解得，又，所以，故，令，，所以，故有2個零點.點睛：本題涉及函數零點，方程，圖像等概念和知識，綜合性較強，屬于中檔題.一般討論函數零點個數問題，都要轉化為方程根的個數問題或兩個函數圖像交點的個數問題，本題由于涉及函數為初等函數，可以考慮方程來解決，轉化為方程根的個數，同時注意偶函數性質在本題中的應用.19．2+∞）【解析】分析：根據偶次根式下被開方數非負列不等式解對數不等式得函數定義域詳解：要使函數有意義則解得即函數的定義域為點睛：求給定函數的定義域往往需轉化為解不等式（組）的問題解析：[2，+∞）【解析】分析：根據偶次根式下被開方數非負列不等式，解對數不等式得函數定義域.詳解：要使函數有意義，則，解得，即函數的定義域為.點睛：求給定函數的定義域往往需轉化為解不等式（組）的問題.20．【解析】【分析】畫出分段函數的圖像由圖像結合對稱性即可得出【詳解】函數的圖像如下圖所示不妨設則關于直線對稱所以且滿足則故的取值范圍是【點睛】解決本題的關鍵是要會畫分段函數的圖像由圖像結合對稱性經過計解析：【解析】【分析】畫出分段函數的圖像，由圖像結合對稱性即可得出。【詳解】函數的圖像如下圖所示，不妨設，則、關于直線對稱，所以，且滿足則故的取值范圍是。【點睛】解決本題的關鍵是要會畫分段函數的圖像，由圖像結合對稱性經過計算得出的取值范圍。三、解答題21．（1）；（2）見解析；（3）【解析】【分析】(1)利用函數的奇偶性求解.(2)函數單調性定義，通過化解判斷函數值差的正負；（3）函數為R奇函數，x〈0的解析式已知，利用奇函數圖像關于原點對稱，即可求出x〉0的解析式.【詳解】（1）由函數f(x)為奇函數，知f(2)＝-f(－2)＝·(2)在(－∞，0）上任取x1，x2，且x1<x2，則由x1－1<0，x2－1<0，x2－x1>0，知f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．由定義可知，函數y＝f(x)在區間(－∞，0]上單調遞減．·（3）當x>0時，－x<0，由函數f(x)為奇函數知f(x)＝-f(－x)，【點睛】本題考查了函數奇偶性的應用和單調性的定義，利用奇偶性求函數值和解析式主要應用奇偶性定義和圖像的對稱性；利用定義法證明函數單調性關鍵是作差后式子的化解，因為需要判斷結果的正負，所以通常需要將式子化成乘積的形式.22．最小值為，最大值為2.【解析】【分析】由已知條件化簡得，然后化簡求出函數的最值【詳解】由得，即.當，當．【點睛】熟練掌握對數的基本運算性質是轉化本題的關鍵，將其轉化為二次函數的值域問題，較為基礎．23．(1)1(2)見解析(3)【解析】【分析】(1)令，代入計算得到答案.(2)任取，，且，計算得到得到證明.(3)化簡得到，根據函數的單調性得到對任意的恒成立，討論和兩種情況計算得到答案.【詳解】(1)令，則.(2)任取，，且，則，.，，在上為增函數.(3)，即，.又在上為增函數，對任意的恒成立.令，只需滿足即可當，即時，在上遞增，因此，由得，此時；當，即時，，由得，此時.綜上，實數a的取值范圍為.【