常微分第四章第一頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日第四章

高階微分方程授課教師：胡鵬彥授課對象：10本科第二頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日本章主要討論高階線性微分方程解的結構和常系數線性微分方程的求解問題,同時結合質點振動來體會數學與物理的深刻聯系.第三頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.1線性微分方程的

一般理論一、引言二、齊次線性微分方程解的性質與結構三、非齊次線性微分方程與常數變易法第四頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.1

線性方程的一般理論一、引言

1.線性微分方程的相關定義

形如的方程為n階線性微分方程,其中ai(t)(i

1,2,,n)及f

(t)都是區間a

t

b上的連續函數.第五頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日

若

f

(t)0,則(4.1)變為稱之為n階齊次線性微分方程,簡稱為齊次線性微分方程,而(4.1)稱為n階非齊次線性微分方程,簡稱為非齊次線性微分方程,且通常將(4.2)稱為對應于(4.1)的齊次線性微分方程.§4.1

線性方程的一般理論第六頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日

2.線性微分方程解的存在唯一性定理定理1如果ai(t)(i

1,2,,n)及

f

(t)都是區間a

t

b上的連續函數,則對于任一t0[a,b]及任意的方程(4.1)存在唯一定義在區間a

t

b上的解x

(t),滿足初值條件§4.1

線性方程的一般理論第七頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.1

線性方程的一般理論二、齊次線性微分方程解的性質與結構

1.齊次線性微分方程解的疊加原理定理2(疊加原理)如果x1(t),x2(t),,xk(t)是方程(4.2)的k個解,則它們的線性組合c1x1(t)

c2x2(t)

ckxk(t)也是(4.2)的解,這里c1,c2,,ck是任意常數.該定理可直接利用導數的運算法則證明.第八頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.1

線性方程的一般理論

在定理2中,如果k

n,則(4.2)有解x

c1x1(t)

c2x2(t)

cnxn(t),(4.4)它含有n個任意常數.試問何時(4.4)能夠成為(4.2)的通解?第九頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.1

線性方程的一般理論要使(4.4)成為(4.2)的通解,(4.4)中的c1,c2,,cn須相互獨立.第十頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.1

線性方程的一般理論

2.函數組的線性相關定義

設x1(t),x2(t),,xk(t)在[a,b]上有定義.若存在不全為零的常數c1,c2,,ck,使得恒等式c1x1(t)

c2x2(t)

ckxk(t)

0在[a,b]上成立,則稱x1(t),x2(t),,xk(t)是線性相關的,否則就稱它們在[a,b]上線性無關.

如何判斷函數組線性相關?第十一頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.1

線性方程的一般理論

設x1(t),x2(t),,xk(t)為[a,b]上的k

1次可微函數,稱行列式為函數組x1(t),x2(t),,xk(t)的朗斯基行列式.WronskianWronsky第十二頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.1

線性方程的一般理論定理3設函數x1(t),x2(t),,xk(t)在[a,b]上k

1次可微.若它們在[a,b]上線性相關,則在[a,b]上有W(t)

0.

注定理3的逆一般不成立,例如第十三頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.1

線性方程的一般理論定理4若方程(4.2)的解x1(t),x2(t),,xn(t)在[a,b]上線性無關,則對任意t[a,b],W(t)

0.

證明思路利用反證法構造一個微分方程的滿足一定初值條件的解,然后由解的唯一性推得矛盾.第十四頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.1

線性方程的一般理論定理5n階齊次線性微分方程(4.2)一定存在n個線性無關的解.

證明思路利用解的存在唯一性和定理3.

構造n組初值得到n個解,而這n個解的朗斯基行列式有非零點,由定理3知這n個解線性無關.第十五頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.1

線性方程的一般理論

3.齊次線性微分方程解的結構定理6(通解結構定理)如果x1(t),x2(t),,xn(t)是方程(4.2)的n個線性無關的解,則方程(4.2)的通解可表為x(t)

c1x1(t)

c2x2(t)

cnxn(t),(4.11)其中c1,c2,,cn是任意常數,且(4.11)包括了(4.2)的所有解.第十六頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.1

線性方程的一般理論推論1方程(4.2)的線性無關解的最大個數等于n.推論2方程(4.2)的解構成一個n維線性空間.定義

方程(4.2)的一組n個線性無關解稱為其一個基本解組.滿足W(t0)

1的基本解組稱為標準基本解組.

注基本解組不唯一.第十七頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.1

線性方程的一般理論三、非齊次線性微分方程與常數變易法

1.非齊次線性微分方程解的性質第十八頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.1

線性方程的一般理論性質1如果是方程(4.1)的解,x(t)是方程(4.2)的解,則是是方程(4.1)的解.性質2方程(4.1)的任意兩個解之差必為(4.2)的解.第十九頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.1

線性方程的一般理論定理7設x1(t),x2(t),,xn(t)是方程(4.2)的基本解組,而是方程(4.1)的解,則方程(4.1)的其中c1,c2,,cn為任意常數.而且這個通解包括了方程(4.1)的所有解.

注定理7給出了一種求非齊次線性方程通解的方法:求其一個特解和對應的齊次線性方程的基本解組.通解可表為第二十頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.1

線性方程的一般理論

2.非齊次線性微分方程的常數變易法

設x1(t),x2(t),,xn(t)是方程(4.2)的基本解組,x

c1x1(t)

c2x2(t)

cnxn(t)(4.15)是(4.2)的通解.把(4.15)中的ci看成t的函數,則有x

c1(t)x1(t)

c2(t)x2(t)

cn(t)xn(t),(4.16)通過確定(4.16)中的ci(t)就可以得到(4.1)的通解.這種求非齊次線性微分方程通解的方法稱為常數變易法.第二十一頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.1

線性方程的一般理論

要確定(4.16)中的ci(t)除將其代入方程(4.1)之外還要附加另外的限制條件,其法無窮,為簡便起見,可如下進行.(4.16)兩端對t求導:令得第二十二頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.1

線性方程的一般理論

對(4.18)1重復上述過程得

繼續上述過程可得第二十三頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.1

線性方程的一般理論

將(4.16),(4.18)1,(4.18)2,,(4.18)n代入(4.1)可得

積分得

由(4.17)1,(4.17)2,,(4.17)n可求得第二十四頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.1

線性方程的一般理論

將其代入(4.16)即得(4.1)的通解

在上式中令i

0(i

1,2,,n)可得(4.1)的解

由此可知,在已知對應齊次線性微分方程的基本解組時,非齊次線性微分方程的解可由求積分得到.第二十五頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.1

線性方程的一般理論例1求方程應的齊次線性微分方程的基本解組為cos

t,sin

t.的通解.已知其對第二十六頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.1

線性方程的一般理論例2求方程于域t

0上的所有解.第二十七頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.1

線性方程的一般理論作業P1313(2,5),4,6第二十八頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2常系數線性微分方程的解法一、復值函數與復值解二、常系數齊次線性微分方程和歐拉方程三、非齊次線性微分方程比較系數法與拉普拉斯變換法四、質點振動第二十九頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數線性方程的解法一、復值函數與復值解

1.復值函數概念復值函數設

(t)與

(t)是區間[a,b]的實函數,稱z(t)

(t)

i

(t)為[a,b]上的復值函數,其中i為虛數單位,即i2

1.

復值函數的極限如果實函數

(t)與

(t)都在t0[a,b]存在極限,則稱復值函數

z(t)

(t)

i

(t)在t0存在極限,且有第三十頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數線性方程的解法

復值函數的連續對于t0[a,b],如果則稱復值函數

z(t)

(t)

i

(t)在t0[a,b]連續.如果z(t)在區間[a,b]上每一點都連續,則稱z(t)為區間[a,b]上的連續,也稱z(t)為區間[a,b]上的連續函數.第三十一頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數線性方程的解法

如果極限存在,就稱z(t)在t0[a,b]有導數(可微),且記此極限如果z(t)在區間[a,b]上每一點都有導數,則稱z(t)在區間[a,b]上有導數.為或者第三十二頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數線性方程的解法

容易驗證,復值函數的導數成立下列等式:第三十三頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數線性方程的解法

2.復指數函數及其性質

設

K

i是任一復數,這里

,是實數,而t是實變量,我們定義

由上述定義易知第三十四頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數線性方程的解法

復指數函數有如下性質:第三十五頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數線性方程的解法

3.微分方程的復值解

定義于區間[a,b]上的實變量復值函數

x

z(t)稱為方程(4.1)的復值解,倘若在[a,b]上恒成立.第三十六頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數線性方程的解法定理8

如果方程(4.2)中所有系數ai(t)(i

1,2,,n)都是實值函數,而

x

z(t)

(t)

i

(t)是方程的復值解,則z(t)的實部

(t)

、虛部

(t)和共軛復值函數都是方程(4.2)的解.第三十七頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數線性方程的解法定理9

若方程有復值解

x

U(t)

iV

(t),這里ai(t)(i

1,2,,n)及u(t),v(t)都是實函數,那么U(t)和V(t)分別是方程的解.第三十八頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數線性方程的解法二、常系數齊次線性微分方程和歐拉方程

1.特征方程與特征根

n階常系數齊次線性微分方程形如其中a1,a2,,an為常數.

可以驗證(4.19)具有形如的解.第三十九頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數線性方程的解法

稱方程為(4.19)的特征方程,其根稱為特征根.第四十頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數線性方程的解法

2.基本解組的確定

根據常系數齊次線性微分方程特征方程的特征根的情形來確定其基本解組.

(1)特征根為單根的情形設1,2,,n為特征方程(4.21)的n個互異根,則相應地,方程(4.19)有如下n個線性無關的解從而構成方程(4.19)的基本解組.第四十一頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數線性方程的解法當1,2,,n均為實數時,(4.22)是方程(4.19)的n個線性無關的實值解,其通解為其中c1,c2,,cn為任意常數.當特征方程有復根

i

時,由于特征方程為實系數代數方程,其復根成對出現,因此

i

也是一特征根,這對共軛復根可對應方程(4.19)的兩個實值解第四十二頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數線性方程的解法這樣得到的實值解連同實特征根對應的實值解共同構成方程(4.19)的基本解組,由此可給出方程(4.19)的通解.第四十三頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數線性方程的解法

(2)特征根有重根的情形設為特征方程(4.21)的k重根,則方程(4.19)有如下k個線性無關的解設1,2,,m為特征方程(4.21)的根,其重數分別為k1,k2,,km,k1

k2

km

n,則方程(4.19)n個線性無關解第四十四頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數線性方程的解法若1,2,,m均為實數,則(4.26)就是(4.19)的基本解組.若

i

為k重復特征根,則

i

也是k重復特征根,這對共軛復重根可對應方程(4.19)的2k個線性無關解這樣得到的對應于復根的實值解與實根對應的解共同構成(4.19)的基本解組.第四十五頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數線性方程的解法

例1求方程的通解.第四十六頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數線性方程的解法

例2求解方程第四十七頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數線性方程的解法

例3求方程的通解.第四十八頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數線性方程的解法

例4求解方程第四十九頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數線性方程的解法

3.歐拉方程

形如的方程稱為歐拉方程.這里a1,a2,,an為常數.第五十頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數線性方程的解法

做變量變換則直接計算可得第五十一頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數線性方程的解法一般地,其中1,2,,k1都是常數,于是因此,將其代入方程(4.29)可得其中b1,b2,,bn是常數.第五十二頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數線性方程的解法這樣,就將歐拉方程轉化為常系數齊次線性微分方程,對其求解之后再代回原變量即得歐拉方程的通解.另外,由上述討論易知,歐拉方程具有形如

y

x的解,因此,也可直接求該形式的解.將其代入方程(4.29)易得代數方程可以證明(4.31)正是(4.30)的特征方程,由此可以根據特征根給出歐拉方程的基本解組.第五十三頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數線性方程的解法

m重實根0對應m個實值解,而m重復根

i

對應2m個實值解,第五十四頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數線性方程的解法

例5求解方程第五十五頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數線性方程的解法

例6求解方程第五十六頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數線性方程的解法三、非齊次線性微分方程比較系數法與拉普拉斯變換法

本段討論常系數非齊次線性微分方程其中a1,a2,,an為常數.第五十七頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數線性方程的解法

1.比較系數法

類型I

設其中及b0,b1,,bm為實常數,則方程(4.32)有形如的特解,其中k為特征根的重數(單根相當于k

1;當不是特征根時取k

0),而B0,B1,,Bm為待定的常數,可以通過比較系數確定.第五十八頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數線性方程的解法

例7求方程的通解.第五十九頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數線性方程的解法

例8求方程的通解.第六十頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數線性方程的解法

例9求方程的通解.第六十一頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數線性方程的解法

類型II

設其中,為常數,而A(t),B(t)為t的實系數多項式,一個次數為m,另一個的次數不超過m,則方程(4.32)有形如的特解,其中k為特征根

i

的重數,而P(t),Q(t)均為待定的t的次數不超過m的實系數多項式,可以通過比較系數確定.第六十二頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數線性方程的解法

注當時,可用所謂的復數法求解.或第六十三頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數線性方程的解法

例10求方程的通解.第六十四頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數線性方程的解法第六十五頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數線性方程的解法

2.拉普拉斯變換法由積分定義的復平面(Re

s

)上的復變數s的函數F(s)稱為函數

f

(t)的拉普拉斯變換,其中f

(t)對t

0有定義,且滿足不等式這里M,為兩個正常數.我們稱

f

(t)為原函數,而F(s)稱為像函數.第六十六頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數線性方程的解法由像函數求原函數稱為拉普拉斯反演.可由如下積分表示在已知像函數的情況下,一般采用查表的方法求原函數.第六十七頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數線性方程的解法給定微分方程及初始條件其中a1,a2,,an是常數,而

f

(t)連續且滿足原函數的條件.由于常系數微分方程的任何解及其各階導數都滿足原函數的條件,設x(t)為(4.32)的解,記第六十八頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數線性方程的解法由拉普拉斯變換的定義易知第六十九頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數線性方程的解法對方程(4.32)兩端實施拉普拉斯變換可得第七十頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數線性方程的解法這就是滿足初值條件的解x(t)的像函數,然后直接查拉普拉斯變換表或者有反變換公式計算得到方程(4.32)的滿足初值條件的解.第七十一頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數線性方程的解法例12求方程滿足初值條件x(0)

0的解.第七十二頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數線性方程的解法例13求解方程第七十三頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數線性方程的解法例14求方程滿足初值條件的解.第七十四頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數線性方程的解法例15求解方程其中a,b為非零常數.第七十五頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數線性方程的解法第七十六頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數線性方程的解法四、質點振動

1.無阻尼自由振動數學擺的無阻尼微小自由振動方程為若記其中

0為常數,則(1.9)變為第七十七頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數線性方程的解法其通解為其中c1,c2為常數.若令則有第七十八頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數線性方程的解法從(4.41)可以看出,不論擺的初始狀態如何,擺的運動總是一個正弦函數,它是t的周期函數.這種運動稱為簡諧振動.振動往返一次所需的時注數學擺的周期只依賴于擺長l,而與初值無關.振幅與初相位間稱為周期,記為T,這里動的次數稱為頻率,記作,這里單位時間內振

稱為圓頻率.而第七十九頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數線性方程的解法

2.有阻尼自由振動數學擺的有阻尼的自由振動方程為記其中n,

為正常數,則(1.10)變為第八十頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數線性方程的解法其特征方程為

(1)小阻尼的情形:n

,通解為或特征根為這里A,

為任意常數.第八十一頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數線性方程的解法

(2)大阻尼的情形:n

,通解為其中c1,c2為常數.第八十二頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數線性方程的解法

(3)臨界阻尼的情形:n

,通解為其中c1,c2為常數.第八十三頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數線性方程的解法

3.無阻尼強迫振動數學擺的微小強迫振動方程為無阻尼振動對應

0.若記H為已知常數,p為外力圓頻率,則(1.11)變為第八十四頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數線性方程的解法可以求得(4.48)的通解為如果p

,則(4.48)有通解(4.51)表示,隨著時間的增大,擺的偏離將無限增加,這種現象稱為共振現象.第八十五頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數線性方程的解法

4.有阻尼強迫振動此時擺的運動方程為在小阻尼情形下,即n

,方程(4.52)的通解為第八十六頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數線性方程的解法當時有最大振幅這時的圓頻率稱為共振頻率,所產生的現象也叫共振現象.第八十七頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數線性方程的解法作業P1642(1,4,6,10,12,13,16,18,19),3(2),4(1)第八十八頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.2

常系數線性方程的解法作業P1667第八十九頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.3高階微分方程的降階

與冪級數解法一、可降階的一些方程類型二、二階線性微分方程的冪級數解法三、第二宇宙速度第九十頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.3

降階與冪級數解法一、可降階的一些方程類型

n階微分方程一般可寫為第九十一頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.3

降階與冪級數解法

若令

x(k)

y,則可得如下

n

k

階方程

1.方程(不含未知函數或直到某階導數)

若(4.58)的通解為即第九十二頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.3

降階與冪級數解法經過

k

次積分之后可得(4.57)的通解其中c1,c2,,cn為任意常數.例1求方程的解.第九十三頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.3

降階與冪級數解法

若令

x'

y,以它為新未知函數,而視x為新自變量,則方程就可降低一階.

2.方程(不顯含自變量)第九十四頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.3

降階與冪級數解法例2求解方程第九十五頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.3

降階與冪級數解法例3求數學擺的運動方程的滿足初值條件:當t

0時,

0

0,的解.第九十六頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.3

降階與冪級數解法第九十七頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.3

降階與冪級數解法

可以證明:已知(4.2)的k個線性無關解,則可通過一系列同類型的變換,將方程(4.2)降低k階.設

x1,x2,,xk為(4.2)的k個線性無關解,則

3.齊次線性微分方程第九十八頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.3

降階與冪級數解法

令

x

xk

y,則將這些關系式代入(4.2)并注意到xk

是(4.2)的解,同時令

z

y',則有這樣就得到一個比(4.2)低一階的微分方程.第九十九頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.3

降階與冪級數解法第一百頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.3

降階與冪級數解法

方程(4.2)與(4.67)的解之間的關系:重復上述過程可得比(4.67)低一階的齊次線性方程,其與(4.67)的關系與(4.2)與(4.67)的關系相同.那么,通過這樣一系列的變換可得一比(4.2)低k階的齊次線性方程,通過對新的方程的求解,并利用相應的變換就可得到(4.2)的解.

(1)是(4.67)的解;

(2)z1,z2,,zn1線性無關.第一百零一頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.3

降階與冪級數解法若令

x

x1

0是其解,則通過變換

對于二階齊次線性方程方程(4.69)化為此為一階線性微分方程,其解為第一百零二頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.3

降階與冪級數解法從而可得(4.69)的通解為其中c,c1為任意常數.第一百零三頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.3

降階與冪級數解法例4已知的解,試求方程的通解.是方程第一百零四頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.3

降階與冪級數解法二、二階線性微分方程的冪級數解法

1.兩個例子

例5求方程的通解.

解題思路先設某級數為方程的解,代入方程之后可以確定級數的系數(確定系數的方法是比較系數),若確定的級數收斂,則得到方程的解.第一百零五頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.3

降階與冪級數解法第一百零六頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.3

降階與冪級數解法第一百零七頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.3

降階與冪級數解法第一百零八頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.3

降階與冪級數解法

例6求方程的滿足初值條件

y(0)

0與

y'(0)

0的解.第一百零九頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.3

降階與冪級數解法第一百一十頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.3

降階與冪級數解法第一百一十一頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.3

降階與冪級數解法第一百一十二頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.3

降階與冪級數解法

2.二階齊次線性方程有級數解的條件

考慮二階齊次線性微分方程滿足初值條件

y(x0)

y0與

y'(x0)

y'0的情形.

不妨假設

x0

0.第一百一十三頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.3

降階與冪級數解法定理10若方程(4.72)中的系數

p(x),q(x)都能展成

x的冪級數,且收斂區間為|x|

R,則方程(4.72)有形如的特解,且也以|x|

R為收斂區間.第一百一十四頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.3

降階與冪級數解法定理11若方程(4.72)中的系數

p(x),q(x)具有性質:x

p(x)和x2q(x)均能展成

x的冪級數,且收斂區間為|x|

R,則方程(4.72)有形如即的特解,是一個待定的常數.級數(4.75)也以|x|

R為收斂區間.第一百一十五頁，共一百三十頁，編輯于2023年，星期日§4.3

降階與冪級數解法方程滿足定理11的條件,因此具有(4.75)形式的特解.方程(4.74)稱為n階貝塞爾方程.對于且

n時(4.74)的解Jn(x)稱為n階貝塞爾函數,而