2021-2022學年浙江省杭州市蕙蘭中學高三數學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知ω>0，，直線和是函數f(x)=sin(ωx+φ)圖像的兩條相鄰的對稱軸，則φ=()參考答案：A2.設集合，若，則（

）A、

B、

C、

D、參考答案：C3.函數f（x）＝的零點個數為（

）A.0

B.1

C.2

D.3參考答案：B4.復數Z滿足（1-2i)z=(1+i)2，則z對應復平面上的點的坐標為A.（-，）B.（-，）C.（，-）D.（，）

參考答案：A由得5.在中，角A、B、C所對的邊分別為，

，則的值等于A

B

C

D參考答案：C6.設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，a+b=12，則△ABC面積的最大值為（）A．8 B．9 C．16 D．21參考答案：B【考點】HT：三角形中的幾何計算．【分析】根據基本不等式求得ab的范圍，進而利用三角形面積公式求得．【解答】解：∵ab≤（）2=36，當且僅當a=b=6時，等號成立，∴S△ABC=absinC≤×36×=9，故選：B．7.已知條件；條件,若p是q的充分不必要條件，則m的取值范圍是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A略8.若直線與曲線有公共點，則（

）

A.有最大值，最小值

B.有最大值，最小值-

C.有最大值0，最小值

D.有最大值0，最小值-

參考答案：C曲線等價為，，當直線與圓相切時有圓心到直線距離，解得，又題意可知，所以有最大值0，最小值，選C.9.執行如圖所示的程序框圖，如果輸出的結果為0，那么輸入的為（

）（A）

（B）或

（C）

（D）參考答案：D程序框圖表示，所以，解得：，，解集為空，所以，故選D.10.已知集合，，則（

）A．(－∞,1)

B．[0,1]

C．(0,1]

D．[0,2)參考答案：C集合，，則.故答案為：C.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若二次函數有零點，則實數的取值范圍是

．參考答案：且12.正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，MN是正方體內切球的直徑，P為正方體表面上的動點，則?的最大值為．參考答案：【考點】M6：空間向量的數量積運算．【分析】連接PO，可得?==﹣，當取得最大值時，即可得出?取得最大值．【解答】解：連接PO，可得?==++=﹣，當取得最大值時，?取得最大值為=．故答案為：．【點評】本題考查了數量積運算、正方體及其內切球的性質，考查了空間想象能力，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．13.已知x、y滿足，則的取值范圍是．參考答案：【考點】7C：簡單線性規劃．【分析】由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，聯立直線方程與拋物線方程，化為關于x的一元二次方程，利用判別式為0求得目標函數最小值；數形結合得到使目標函數取得最大值的最優解，把最優解的坐標代入目標函數求得最大值．【解答】解：由約束條件作出可行域，化目標函數為y=，聯立，得2x2﹣x﹣2z=0．由△=1+16z=0，得z=．由圖可知，當直線y=過A（1，1）時，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為．∴的取值范圍是：．故答案為：．14.已知實數x，y滿足約束條件，若?x、y使得2x﹣y＜m，則實數m的取值范圍是________．參考答案：m＞﹣

15.將圓錐的側面展開恰為一個半徑為2的半圓，則圓錐的體積是．參考答案：【考點】旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）；棱錐的結構特征．【專題】計算題．【分析】通過圓錐的側面展開圖，求出圓錐的底面周長，然后求出底面半徑，求出圓錐的高，即可求出圓錐的體積．【解答】解：圓錐的側面展開恰為一個半徑為2的半圓，所以圓錐的底面周長為：2π，底面半徑為：1，圓錐的高為：；圓錐的體積為：=【點評】本題是基礎題，考查圓錐的側面展開圖，利用扇形求出底面周長，然后求出體積，考查計算能力，常規題型．16.（6分）（2015?麗水一模）設數列{an}是公差為d的等差數列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99．則d=；an=；數列{an}的前n項和Sn取得最大值時，n=．參考答案：﹣2；an=41﹣2n；20．【考點】：等差數列的性質；等差數列的前n項和．【專題】：計算題；等差數列與等比數列．【分析】：先確定數列的通項，再確定數列的正數項，即可求得Sn取得最大值．解：∵a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，∴3a3=105，3a4=99，∴a3=35，a4=33∴公差d=﹣2∴an=35+（n﹣3）×（﹣2）=41﹣2n∴0＜n≤20時，an＞0；n≥21時，an＜0∴Sn取得最大值時的n=20故答案為：﹣2，﹣2n+41，20．【點評】：本題考查等差數列的通項與求和，考查學生的計算能力，確定數列的通項是關鍵，屬于基礎題．17.已知在中，，，動點位于線段上，則當取最小值時，向量與的夾角的余弦值為

．參考答案：因為，，所以,所以當且僅當時取等號，因此,所以向量與的夾角的余弦值為

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c．已知cosC=．（1）若?=，求△ABC的面積；（2）設向量=（2sin，），=（cosB，cos），且∥，求sin（B﹣A）的值．參考答案：解：（1）由?=，得abcosC=．又因為cosC=，所以ab==．

…（2分）又C為△ABC的內角，所以sinC=．

…（4分）所以△ABC的面積S=absinC=3．

…（6分）（2）因為∥，所以2sincos=cosB，即sinB=cosB．

…（8分）因為cosB≠0，所以tanB=．因為B為三角形的內角，所以B=．

…（10分）所以A+C=，所以A=﹣C．所以sin（B﹣A）=sin（﹣A）=sin（C﹣）=sinC﹣cosC=×﹣×=．

…（14分）考點：兩角和與差的正弦函數；平面向量共線（平行）的坐標表示；平面向量數量積的運算．專題：三角函數的求值；平面向量及應用．分析：（1）利用?=，求出ab的值，然后求解△ABC的面積．（2）通過∥，求出tanB的值，推出B，轉化sin（B﹣A）=sin（﹣A）=sin（C﹣），利用兩角和與差的三角函數求解即可．解答：解：（1）由?=，得abcosC=．又因為cosC=，所以ab==．

…（2分）又C為△ABC的內角，所以sinC=．

…（4分）所以△ABC的面積S=absinC=3．

…（6分）（2）因為∥，所以2sincos=cosB，即sinB=cosB．

…（8分）因為cosB≠0，所以tanB=．因為B為三角形的內角，所以B=．

…（10分）所以A+C=，所以A=﹣C．所以sin（B﹣A）=sin（﹣A）=sin（C﹣）=sinC﹣cosC=×﹣×=．

…（14分）點評：本題考查兩角和與差的三角函數，向量共線的充要條件的應用，考查三角形的解法19.（本小題滿分14分）已知函數，．（Ⅰ）設，求的單調區間；（Ⅱ）若對，總有成立．（1）求的取值范圍；（2）證明：對于任意的正整數，不等式恒成立．參考答案：（Ⅰ），定義域為，，

……1分（1）當時，令，，，令，；（2）當時，令，則或，令，；

……3分（3）當時，恒成立；（4）當時，令，則或，令，；

……4分綜上：當時，的增區間為，的減區間為；當時，的增區間為和，的減區間為；當時，的增區間為；當時，的增區間為和，的減區間為．……5分（Ⅱ）（1）由題意，對任意，恒成立，即恒成立，

只需．

……6分由第（Ⅰ）知：，顯然當時，，此時對任意，不能恒成立；（或者分逐個討論）

……8分當時，，；綜上：的取值范圍為．

……9分（2）證明：由（1）知：當時，，……10分即，當且僅當時等號成立．當時，可以變換為，

……12分在上面的不等式中，令，則有不等式恒成立．

……14分20.（本小題滿分14分）已知數列{}中，

n（1）

求數列{}的通項公式；（2）

設數列{}的前n項的和為，求證：

（n）（3）

令，若數列{}的前n項的和為，求證：

（n）參考答案：解：（1）

（2）

（3）21.極坐標中，過點作曲線的切線，求直線的極坐標方程.參考答案：【分析】將極坐標方程化為普通方程，可驗證出點在圓上，從而可得過點切線的直角坐標方程，將直角坐標方程再化回極坐標方程即可.【詳解】曲線的直角坐標方程為：點的直角坐標為

點在圓上，又因為圓心故過點的切線為所求的切線的極坐標方程為：【點睛】本題考查極坐標與直角坐標的互化，涉及到過圓上一點的圓的切線的求解，屬于常規題型.22.(本小題滿分14分)如圖，三棱柱中，D、E分別是棱BC、AB的中點，點F在棱上，已知.(1)求證:∥平面ADF;(2)若點M在棱上，當為何值時，平面⊥平面ADF?參考答案：解：（1）連接交于，連接．

因為CE，AD為△ABC中線，所以O為△ABC的重心，．從而OF//C1E．………………3分OF面ADF，平面，所以平面．……………………6分（2）當BM=1時，平面平面．

在直三棱柱中，由于平面ABC，BB1平面B1BCC1，所以平面B1BCC1平面AB