2021-2022學年廣東省廣州市大敦中學高三數學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知等差數列中，，則（

）A.12

B.8

C.6

D.4參考答案：B【知識點】等差中項公式．D2因為為等差數列,所以化簡可得:,所以,故選B.【思路點撥】利用等差中項公式求值即可．2.對于定義域為[0,1]的函數，如果同時滿足以下三個條件：

①對任意的，總有

②

③若，，都有成立；

則稱函數為理想函數.

下面有三個命題：（1）若函數為理想函數，則；（2）函數是理想函數；（3）若函數是理想函數，假定存在，使得，且，

則；

其中正確的命題個數有（

）

A.0個

B.1個

C.2個

D.3個參考答案：D

3.在正三角形ABC中，，則以B、C為焦點，且過D、E的雙曲線的離心率為

（

）

A．

B．

C．

D．+1參考答案：答案:D4.若與都是非零向量，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：C5.已知函數f（x）滿足f（x+1）=f（x﹣1），且f（x）是偶函數，當x∈[0，1]時，f（x）=2x﹣1，若在區間[﹣1，3]內，函數g（x）=f（x）﹣kx﹣k有4個零點，則實數k的取值范圍是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】根的存在性及根的個數判斷．【分析】函數g（x）=f（x）﹣kx﹣k有4個零點可化為函數f（x）與y=kx+k在[﹣1，3]內的圖象有四個不同的交點，從而作圖求得．【解答】解：∵f（x+1）=f（x﹣1），∴函數f（x）的周期為2，∴作函數f（x）與y=kx+k在[﹣1，3]內的圖象如下，，直線y=kx+k過點（﹣1，0）；當過點（3，1）時，直線的斜率k==，故結合圖象可知，0＜k≤；故選C．6.已知全集U＝R,A＝｛x｜lgx≤0｝，B＝｛x｜x2≤x｝，則B∩＝（

）

A.B.｛0｝C.（0，1］D.｛0，1｝參考答案：B7.若（x+）n展開式的二項式系數之和為64，則展開式的常數項為（）A．10 B．20 C．30 D．120參考答案：B【考點】二項式系數的性質．【專題】計算題．【分析】根據二項式的展開式的二項式系數是64，寫出二項式系數的表示式，得到次數n的值，寫出通項式，當x的指數是0時，得到結果．【解答】解：∵Cn°+Cn1+…+Cnn=2n=64，∴n=6．Tr+1=C6rx6﹣rx﹣r=C6rx6﹣2r，令6﹣2r=0，∴r=3，常數項：T4=C63=20，故選B．【點評】本題是一個典型的二項式問題，主要考查二項式的性質，注意二項式系數和項的系數之間的關系，這是容易出錯的地方，本題考查展開式的通項式，這是解題的關鍵．8.定義平面向量之間的一種運算“⊙”如下，對任意的a=(m,n)，b=(p,q)，令a⊙b=mq－np，下面說法錯誤的是（

）A.若a與b共線，則a⊙b=0

B.a⊙b=b⊙aC.對任意的λ∈R，有(λa)⊙b=λ(a⊙b)

D.(a⊙b)2+(a·b)2=|a|2|b|2參考答案：B9.設為實數，函數的導函數為，且是偶函數，則曲線：在點處的切線方程為A.

B.

C.

D.參考答案：A略10.在空間直角坐標系中，過點作直線的垂線，則直線與平面的交點的坐標滿足條件A．B．C．D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設為的反函數，則的最大值為_______.參考答案：是上的單調增函數，且為的反函數，與單調性相同，當時，的最大值為且當時，的定義域為且當時，的最大值為故答案為

12.如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，E在CD延長線上，且DE=CD．動點P從點A出發，沿正方形ABCD的邊按逆時針方向運動一周回到A點，其中=λ+μ，則下列命題正確的是

．（填上所有正確命題的序號）①λ≥0，μ≥0；②當點P為AD中點時，λ+μ=1；③若λ+μ=2，則點P有且只有一個；④λ+μ的最大值為3；⑤?的最大值為1．參考答案：①②④⑤【考點】平面向量的基本定理及其意義．【專題】平面向量及應用．【分析】建立如圖所示的直角坐標系，設正方形的邊長為1，可以得到=λ+μ=（λ﹣μ，μ），然后根據相對應的條件加以判斷即可．【解答】解：由題意，設正方形的邊長為1，建立坐標系如圖，則B（1，0），E（﹣1，1），∴=（1，0），（﹣1，1），∵=λ+μ，∴λ≥0，μ≥0；故①正確∴=λ+μ=（λ﹣μ，μ），當點P為AD中點時，∴=（0，），∴λ﹣μ=0，，故λ+μ=1；故②正確，當λ=μ=1時，=（0，1），此時點P與D重合，滿足λ+μ=2，當λ=，μ=時，=（1，），此時P是BC的中點，滿足λ+μ=2，故③錯誤當P∈AB時，有0≤λ﹣μ≤1，μ=0，∴0≤λ≤1，0≤λ+μ≤1，當P∈BC時，有λ﹣μ=1，0≤μ≤1，∴λ=μ+1，∴1≤λ≤2，∴1≤λ+μ≤3，當P∈CD時，有0≤λ﹣μ≤1，μ=1，∴μ≤λ≤μ+1，即1≤λ≤2，∴2≤λ+μ≤3，當P∈AD時，有λ﹣μ=0，0≤μ≤1，∴0≤λ≤1，∴0≤λ+μ≤2，綜上，0≤λ+μ≤3，故④正確；?=（λ﹣μ，μ）?（﹣1，1）=﹣λ+2μ，有推理④的過程可知﹣λ+2μ的最大值為1，綜上，正確的命題是①②④⑤．故答案：①②④⑤【點評】本題考查向量加減的幾何意義，涉及分類討論以及反例的方法，是易錯題．13.設變量x,y滿足約束條件，則目標函數的最小值為

。參考答案：—914.（文）某高校隨機抽查720名的在校大學生，詢問他們在網購商品時是否了解商品的最新信息，得到的結果如右表，已知這720名大學生中隨機抽取一名，了解商品最新信息的概率是，則

.參考答案：200了解商品最新信息的人數有，由，解得15.已知正方體的棱長為4，點是的中點，點是內的動點，若，則點到平面的距離的范圍是

.參考答案：[3,4]16.若，則________參考答案：【詳解】由題意可得：，即：，解方程可得：.17.已知數列滿足，記數列的前項和為，若，則

；若，則

參考答案：答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18..如圖，在直三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，為的中點，側棱，點在上，點在上，且.（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.參考答案：（1）∵是等邊三用形，為的中點，∴，∴平面，得.①在側面中，，，∴，∴，∴.②結合①②，又∵，∴平面.（2）解法一：如圖建立空間直角坐標系，則得設平面的法向量，則即得取.同理可得，平面的法向量∴則二面角的余弦值為.解法二：由（1）知平面，∴.∴即二面角的平面角在平面中，易知，∴，設，∵∴，即得.即，∴.則二面角的余弦值為.19.一塊邊長為10的正方形鐵片按如圖所示的陰影部分裁下,然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐形容器,試建立容器的容積與的函數關系式,并求出函數的定義域.

參考答案：解析:如圖,設所截等腰三角形的底邊邊長為.

在中,

,

所以,

于是

依題意函數的定義域為

20.(文)將各項均為正數的數列排成如圖所示的三角形數陣(第行有個數,同一行下標小的排在左邊).表示數陣中第行第1列的數.已知數列為等比數列,且從第3行開始,各行均構成公差為的等差數列,,.(1)求數陣中第行第列的數(用表示)；(2)試問處在數陣中第幾行第幾列？(3)試問這個數列中是否有這個數？有求出具體位置，沒有說明理由.參考答案：(1)由已知可得:…2分解得:，…4分(2)由,…6分,則…8分知為數陣中第行第列的數.…10分(3)假設為數陣中第行第列的數.由第行最小的數為,最大的數為,（12分）知,…14分當時,;…16分當時,于是,不等式整數解.從而,不在該數陣中.…18分21.（12分）已知一家公司生產某種品牌服裝的年固定成本為10萬元，每生產1千件需另投入2.7萬元。設該公司一年內生產該品牌服裝x千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為萬元，且（1）寫出年利潤W（萬元）關于年產量（千件）的函數解析式；（2）年產量為多少千件時，該公司在這一品牌服裝的生產中所獲得的年利潤最大。（注：年利潤=年銷售收入-年總成本）參考答案：【知識點】函數模型及其應用B10【答案解析】（1）（2）9千件（1）當時，當時，（2）①當時，由，得且當時，；當時，；當時，取最大值，且②當時，當且僅當，即時