2.5平面向量應用舉例2.5.1平面幾何的向量方法平面幾何中的向量方法

向量概念和運算，都有明確的物理背景和幾何背景。當向量與平面坐標系結合以后，向量的運算就可以完全轉化為“代數”的計算，這就為我們解決物理問題和幾何研究帶來極大的方便。由于向量的線性運算和數量積運算具有鮮明的幾何背景，平面幾何的許多性質，如平移、全等、相似、長度、夾角都可以由向量的線性運算及數量積表示出來，因此，利用向量方法可以解決平面幾何中的一些問題。問題：平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型。如圖，你能發現平行四邊形對角線的長度與兩條鄰邊長度之間的關系嗎？ABCD猜想：1.長方形對角線的長度與兩條鄰邊長度之間有何關系？2.類比猜想，平行四邊形有相似關系嗎？例1、證明平行四邊形四邊平方和等于兩對角線平方和ABDC已知：平行四邊形ABCD。求證：解：設，則

分析：因為平行四邊形對邊平行且相等，故設其它線段對應向量用它們表示。∴你能總結一下利用向量法解決平面幾何問題的基本思路嗎？（3）把運算結果“翻譯”成幾何元素。用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”：簡述：形到向量向量的運算向量和數到形（1）建立平面幾何與向量的聯系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題；（2）通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題；例2如圖，ABCD中，點E、F分別是AD、

DC邊的中點，BE、

BF分別與AC交于R、

T兩點，你能發現AR、

RT、TC之間的關系嗎？ABCDEFRT猜想：AR=RT=TC解：設則由于與共線，故設又因為共線，所以設因為所以ABCDEFRT線，故AT=RT=TCABCDEFRT練習1、證明直徑所對的圓周角是直角ABCO如圖所示，已知⊙O，AB為直徑，C為⊙O上任意一點。求證∠ACB=90°分析：要證∠ACB=90°，只須證向量，即。解：設則，由此可得：即，∠ACB=90°思考：能否用向量坐標形式證明？練習：2.求證：梯形的中位線長等于兩底和的一半。ABCDEF3.設O為△ABC內部的任意一點，D、E、F分別為AB、BC、CA邊的中點，試證：。（1）建立平面幾何與向量的聯系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題；（2）通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題；（3）把運算結果“翻譯”成幾何元素。小結：用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”：作業：課本P1251,2

探究（二）：推斷直線位置關系

思考1：三角形的三條高線具有什么位置關系?交于一點思考2：如圖,設△ABC的兩條高AD與BE相交于點P,要說明AB邊上的高CF經過點P,你有哪些辦法?ABCDEFP證明PC⊥AB思考4：對于PA⊥BC，PB⊥AC,用向量觀點可分別轉化為什么結論？思考3：設向量

,那么PC⊥BA可轉化為什么向量關系？DABCEFP思考6：你能用其它方法證明三角形的三條高線交于一點嗎？ABCDEFP思考5：如何利用這兩個結論推出

？

探究（三）：計算夾角的大小

思考1：如圖，在等腰△ABC中，D、E分別是兩條腰AB、AC的中點，若CD⊥BE，你認為∠A的大小是否為定值？ABCDE

探究（三）：計算夾角的大小

思考1：如圖，在等腰△ABC中，D、E分別是兩條腰AB、AC的中點，若CD⊥BE，你認為∠A的大小是否為定值？思考2：設向量

,可以利用哪個向量原理求∠A的大小？ABCDE思考4將CD⊥BE轉化為向量運算可得什么結論?ABCDE思考3以

為基底,向量如何表示?思考5：因為△ABC是等腰三角形，則,結合上述結論等于多少?ABCDE

理論遷移例1

如圖，在平行四邊形ABCD中,點E、F分別是AD、DC的中點,BE、BF分別與AC相交于點M、N,試推斷AM、MN、NC的長度具有什么關系,并證明你的結論.結論:AM=MN=NC例2

如圖，△ABC的三條高分別為AD,BE,CF,作DG⊥BE,DH⊥CF，垂足分別為G、H，試推斷EF與GH是否平行.ABCDEFPGH

結論:EF∥GH

小結作業1.用向量方法解決平面幾何問題的基本思路：幾何問題向量化

向量運算關系化

向量關系幾何化.2.