向量組的線性相關性演示文稿當前第1頁\共有194頁\編于星期二\4點§4.3

向量組的線性相關性當前第2頁\共有194頁\編于星期二\4點向量組及其線性組合當前第3頁\共有194頁\編于星期二\4點定義：n個有次序的數a1,a2,…,an所組成的數組稱為n維向量，這n個數稱為該向量的n個分量，第i個數ai稱為第i個分量．行向量和列向量總被看作是兩個不同的向量．所討論的向量在沒有指明是行向量還是列向量時，都當作列向量．本書中，列向量用黑色小寫字母a,b,a,b等表示，行向量則用aT,bT,aT,bT

表示．當前第4頁\共有194頁\編于星期二\4點定義：若干個同維數的列向量（行向量）所組成的集合稱為向量組．當R(A)<

n時，齊次線性方程組Ax=0的全體解組成的向量組含有無窮多個向量．結論：含有限個向量的有序向量組與矩陣一一對應．有限向量組當前第5頁\共有194頁\編于星期二\4點定義：給定向量組A：a1,a2,…,am，對于任何一組實數

k1,k2,…,km

，表達式k1a1+k2a2+…+kmam稱為向量組A

的一個線性組合．k1,k2,…,km稱為這個線性組合的系數．定義：給定向量組A：a1,a2,…,am和向量b，如果存在一組實數l1,l2,…,lm

，使得b=l1a1+l2a2+…+lmam則向量b是向量組A的線性組合，這時稱向量b能由向量組

A

的線性表示．當前第6頁\共有194頁\編于星期二\4點例：設那么線性組合的系數e1,e2,e3的線性組合一般地，對于任意的n維向量b

，必有當前第7頁\共有194頁\編于星期二\4點n

階單位矩陣En

的列向量叫做n

維單位坐標向量．當前第8頁\共有194頁\編于星期二\4點回顧：線性方程組的表達式一般形式向量方程的形式增廣矩陣的形式向量組線性組合的形式方程組有解？向量是否能用線性表示？當前第9頁\共有194頁\編于星期二\4點結論：含有限個向量的有序向量組與矩陣一一對應．向量b能由向量組

A線性表示線性方程組Ax=b

有解當前第10頁\共有194頁\編于星期二\4點定義：設有向量組

A：a1,a2,…,am及

B：b1,b2,…,bl，若向量組

B

中的每個向量都能由向量組

A

線性表示，則稱向量組

B

能由向量組

A

線性表示．若向量組A

與向量組B

能互相線性表示，則稱這兩個向量組等價．當前第11頁\共有194頁\編于星期二\4點設有向量組

A：a1,a2,…,am及

B：b1,b2,…,bl，若向量組

B

能由向量組

A

線性表示，即線性表示的系數矩陣當前第12頁\共有194頁\編于星期二\4點設有向量組

A：a1,a2,…,am及

B：b1,b2,…,bl，若向量組

B

能由向量組

A

線性表示，即對于b1，存在一組實數k11,k21,…,km1

，使得b1=

k11a1+k21a2+…+km1

am；對于b2，存在一組實數k12,k22,…,km2

，使得b2=

k12a1+k22a2+…+km2

am；……對于bl，存在一組實數k1l,k2l,…,kml

，使得bl=

k1la1+k2la2+…+kmlam當前第13頁\共有194頁\編于星期二\4點若Cm×n=Am×l

Bl×n

，即則結論：矩陣C

的列向量組能由矩陣A

的列向量組線性表示，

B

為這一線性表示的系數矩陣．當前第14頁\共有194頁\編于星期二\4點若Cm×n=Am×l

Bl×n

，即則結論：矩陣C

的行向量組能由矩陣B

的行向量組線性表示，

A

為這一線性表示的系數矩陣．當前第15頁\共有194頁\編于星期二\4點口訣：左行右列定理：設A是一個m×n矩陣，對A施行一次初等行變換，相當于在A的左邊乘以相應的m階初等矩陣；對A施行一次初等列變換，相當于在A的右邊乘以相應的n階初等矩陣.當前第16頁\共有194頁\編于星期二\4點結論：若C=AB，那么矩陣C

的行向量組能由矩陣B

的行向量組線性表示，A為這一線性表示的系數矩陣．（A

在左邊）矩陣C

的列向量組能由矩陣A

的列向量組線性表示，B為這一線性表示的系數矩陣．（B

在右邊）當前第17頁\共有194頁\編于星期二\4點A經過有限次初等列變換變成B存在有限個初等矩陣P1,P2,…,Pl，使AP1

P2…,Pl=B存在m

階可逆矩陣P，使得AP=B矩陣B

的列向量組與矩陣A

的列向量組等價矩陣B

的行向量組與矩陣A

的行向量組等價同理可得口訣：左行右列.把

P

看成是線性表示的系數矩陣當前第18頁\共有194頁\編于星期二\4點向量組

B：b1,b2,…,bl能由向量組A：a1,a2,…,am線性表示 存在矩陣K，使得AK=B

矩陣方程AX=B

有解

R(A)=R(A,B)（P.84定理2）

R(B)≤

R(A)（P.85定理3）推論：向量組

A：a1,a2,…,am及

B：b1,b2,…,bl等價的充分必要條件是R(A)=R(B)=R(A,B)．證明：向量組

A和B等價

向量組

B能由向量組A

線性表示

向量組

A能由向量組B

線性表示從而有R(A)=R(B)=R(A,B)．因為R(B)≤

R(A,

B)R(A)=R(A,B)R(B)=R(A,B)當前第19頁\共有194頁\編于星期二\4點例：設證明向量b能由向量組a1,a2,a3

線性表示，并求出表示式．解：向量b能由a1,a2,a3

線性表示當且僅當R(A)=R(A,b)．因為R(A)=R(A,b)=2，所以向量b能由a1,a2,a3

線性表示．當前第20頁\共有194頁\編于星期二\4點行最簡形矩陣對應的方程組為通解為所以b=(－3c+2)a1+(2c－1)a2+ca3

．當前第21頁\共有194頁\編于星期二\4點n

階單位矩陣的列向量叫做n

維單位坐標向量．設有n×m矩陣A=(a1,a2,…,am)

，試證：n

維單位坐標向量組能由矩陣A

的列向量組線性表示的充分必要條件是R(A)=n．分析：n

維單位坐標向量組能由矩陣A

的列向量組線性表示

R(A)=R(A,E) R(A)=n．

（注意到：R(A,E)=n一定成立）當前第22頁\共有194頁\編于星期二\4點小結向量

b能由向量組

A線性表示線性方程組Ax=b

有解向量組

B能由向量組

A線性表示矩陣方程組AX=B

有解向量組

A與向量組

B等價當前第23頁\共有194頁\編于星期二\4點知識結構圖n維向量向量組向量組與矩陣的對應向量組的線性組合向量組的線性表示向量組的等價判定定理及必要條件判定定理當前第24頁\共有194頁\編于星期二\4點回顧：向量組的線性組合定義：給定向量組A：a1,a2,…,am，對于任何一組實數k1,

k2,…,km

，表達式k1a1+k2a2+…+kmam稱為向量組A

的一個線性組合．k1,k2,…,km稱為這個線性組合的系數．定義：給定向量組A：a1,a2,…,am和向量b，如果存在一組實數l1,l2,…,lm

，使得b=l1a1+l2a2+…+lmam則稱向量b能由向量組A

的線性表示．當前第25頁\共有194頁\編于星期二\4點引言問題1：給定向量組A，零向量是否可以由向量組A線性表 示？問題2：如果零向量可以由向量組A線性表示，線性組合的

系數是否不全為零？當前第26頁\共有194頁\編于星期二\4點向量b能由向量組

A線性表示線性方程組Ax=b

有解前面的結論：問題1：給定向量組A，零向量是否可以由向量組A線性表示？問題1′：齊次線性方程組Ax=0是否存在解？回答：齊次線性方程組Ax=0一定存在解．事實上，可令k1=k2=…=km=0，則k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）當前第27頁\共有194頁\編于星期二\4點問題2：如果零向量可以由向量組A線性表示，線性組合的系數

是否不全為零？問題2′：齊次線性方程組Ax=0是否存在非零解？回答：齊次線性方程組不一定有非零解，從而線性組合的系數

不一定全等于零．例：設若則k1=k2=k3=0．當前第28頁\共有194頁\編于星期二\4點向量組的線性相關性定義：給定向量組A：a1,a2,…,am，如果存在不全為零的實數k1,k2,…,km

，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）則稱向量組A是線性相關的，否則稱它是線性無關的．向量組A：a1,a2,…,am線性相關m元齊次線性方程組Ax=0有非零解R(A)<

m當前第29頁\共有194頁\編于星期二\4點備注：給定向量組A，不是線性相關，就是線性無關，兩者必居其一．向量組A：a1,a2,…,am線性相關，通常是指m≥2的情形.若向量組只包含一個向量：當

a

是零向量時，線性相關；當

a不是零向量時，線性無關．向量組A：a1,a2,…,am(m≥2)線性相關，也就是向量組A

中，至少有一個向量能由其余m－1個向量線性表示． 特別地，a1,a2線性相關當且僅當a1,a2的分量對應成比例，其幾何意義是兩向量共線．a1,a2,a3

線性相關的幾何意義是三個向量共面．當前第30頁\共有194頁\編于星期二\4點向量組線性相關性的判定（重點、難點）向量組A：a1,a2,…,am線性相關 存在不全為零的實數k1,k2,…,km

，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）．

m元齊次線性方程組

Ax=0有非零解． 矩陣A=(a1,a2,…,am)的秩小于向量的個數m． 向量組A

中至少有一個向量能由其余m－1個向量線性 表示．當前第31頁\共有194頁\編于星期二\4點向量組線性無關性的判定（重點、難點）向量組A：a1,a2,…,am線性無關 如果k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量），則必有k1=k2=…=km=0．

m元齊次線性方程組

Ax=0只有零解． 矩陣A=(a1,a2,…,am)的秩等于向量的個數m． 向量組A

中任何一個向量都不能由其余m－1個向量線 性表示．當前第32頁\共有194頁\編于星期二\4點例：試討論n

維單位坐標向量組的線性相關性．例：已知試討論向量組a1,a2,a3

及向量組a1,a2

的線性相關性．解：可見R(a1,a2,a3

)=2，故向量組a1,a2,a3

線性相關；同時，R(a1,a2)=2，故向量組a1,a2線性無關．當前第33頁\共有194頁\編于星期二\4點例：已知向量組a1,a2,a3

線性無關，且b1=a1+a2，

b2=a2+a3，b3=a3+a1，試證明向量組b1,b2,b3線性無關．解題思路：轉化為齊次線性方程組的問題；轉化為矩陣的秩的問題．當前第34頁\共有194頁\編于星期二\4點例：已知向量組a1,a2,a3

線性無關，且b1=a1+a2，

b2=a2+a3，b3=a3+a1，試證明向量組b1,b2,b3線性無關．解法1：轉化為齊次線性方程組的問題．已知，記作B=AK．設Bx=0，則(AK)x=A(Kx)=0．因為向量組a1,a2,a3

線性無關，所以Kx=0．又|K|=2≠0，那么Kx=0只有零解

x=0，從而向量組b1,b2,b3線性無關．當前第35頁\共有194頁\編于星期二\4點例：已知向量組a1,a2,a3

線性無關，且b1=a1+a2，

b2=a2+a3，b3=a3+a1，試證明向量組b1,b2,b3線性無關．解法2：轉化為矩陣的秩的問題．已知，記作B=AK．因為|K|=2

≠

0，所以K可逆，R(A)=R(B)，又向量組a1,a2,a3

線性無關，R(A)=3，從而R(B)=3，向量組b1,b2,b3線性無關．當前第36頁\共有194頁\編于星期二\4點定理若向量組A：a1,a2,…,am線性相關，則向量組B：a1,a2,…,am,am+1

也線性相關． 其逆否命題也成立，即若向量組B線性無關，則向量組A也線性無關．m

個n

維向量組成的向量組，當維數n

小于向量個數m

時，一定線性相關． 特別地，n+1個n

維向量一定線性相關．設向量組A：a1,a2,…,am線性無關，而向量組B：a1,a2,…,am,b

線性相關，則向量b必能由向量組A

線性表示，且表示式是唯一的．當前第37頁\共有194頁\編于星期二\4點§4.4

向量組的秩當前第38頁\共有194頁\編于星期二\4點矩陣線性方程組有限向量組系數矩陣增廣矩陣有限向量組與矩陣一一對應Ax=b

有解當且僅當向量b

可由矩陣A的列向量組線性表示課本P.

88定理4：向量組A：a1,a2,…,am線性相關的充要條件是矩陣A=(a1,a2,…,am)的秩小于向量的個數m；向量組A：a1,a2,…,am線性無關的充要條件是矩陣A=(a1,a2,…,am)的秩等于向量的個數m．當前第39頁\共有194頁\編于星期二\4點矩陣線性方程組有限向量組無限向量組系數矩陣增廣矩陣有限向量組與矩陣一一對應矩陣的秩等于列（行）向量組的秩Ax=b

有解當且僅當向量b

能否由向量組A

線性表示向量組與自己的最大無關組等價當前第40頁\共有194頁\編于星期二\4點

n元線性方程組

Ax=b其中A是n×m

矩陣矩陣(A,b)向量組A:a1,a2,…,an

及向量b是否存在解？R(A)=R(A,b)成立？向量b

能否由向量組A線性表示？無解R(A)<R(A,b)NO有解R(A)=R(A,b)YESx的分量是線性組合的系數唯一解R(A)=R(A,b)

=未知數個數表達式唯一無窮解R(A)=R(A,b)

<未知數個數表達式不唯一當前第41頁\共有194頁\編于星期二\4點回顧：矩陣的秩定義：在m×n

矩陣A中，任取k

行k

列(k≤m，k≤n)，位于這些行列交叉處的k2

個元素，不改變它們在A中所處的位置次序而得的k

階行列式，稱為矩陣A的k階子式．規定：零矩陣的秩等于零．定義：設矩陣A中有一個不等于零的r階子式

D，且所有r+1階子式（如果存在的話）全等于零，那么

D稱為矩陣A

的最高階非零子式，數r

稱為矩陣

A

的秩，記作R(A)．結論：矩陣的秩

=矩陣中最高階非零子式的階數

=矩陣對應的行階梯形矩陣的非零行的行數當前第42頁\共有194頁\編于星期二\4點向量組的秩的概念定義：設有向量組A

，如果在A

中能選出r個向量a1,a2,…,

ar，滿足向量組A0：a1,a2,…,ar線性無關；向量組A

中任意r+1個向量（如果A

中有r+1個向量的話）都線性相關；那么稱向量組A0是向量組A

的一個最大線性無關向量組，簡稱最大無關組．最大無關組所含向量個數r

稱為向量組A

的秩，記作RA．當前第43頁\共有194頁\編于星期二\4點例：求矩陣的秩，并求A

的一個最高階非零子式．當前第44頁\共有194頁\編于星期二\4點第二步求A的最高階非零子式．選取行階梯形矩陣中非零行的第一個非零元所在的列

，與之對應的是選取矩陣A的第一、二、四列．解：第一步先用初等行變換把矩陣化成行階梯形矩陣．行階梯形矩陣有3個非零行，故R(A)=3

．當前第45頁\共有194頁\編于星期二\4點R(A0)=3，計算

A0的前

3行構成的子式因此這就是A

的一個最高階非零子式．結論：矩陣的最高階非零子式一般不是唯一的，但矩陣的秩是唯一的．當前第46頁\共有194頁\編于星期二\4點事實上，根據

R(A0)=3

可知：A0的

3個列向量就是矩陣A

的列向量組的一個線性無關的部分組．在矩陣A任取4個列向量，根據

R(A)=3

可知：A中所有4階子式都等于零，從而這4個列向量所對應的矩陣的秩小于

4，即這4個列向量線性相關．A0的

3個列向量就是矩陣A

的列向量組的一個最大線性無關組．矩陣A

的列向量組的秩等于3．同理可證，矩陣A

的行向量組的秩也等于3．當前第47頁\共有194頁\編于星期二\4點矩陣線性方程組有限向量組系數矩陣增廣矩陣有限向量組與矩陣一一對應矩陣的秩等于列（行）向量組的秩Ax=b

有解當且僅當向量b

能否由向量組A

線性表示一般地，矩陣的秩等于它的列向量組的秩． 矩陣的秩等于它的行向量組的秩．（P.90定理6）當前第48頁\共有194頁\編于星期二\4點一般地，矩陣的秩等于它的列向量組的秩． 矩陣的秩等于它的行向量組的秩．（P.90定理6）今后，向量組a1,a2,…,am的秩也記作R(a1,a2,…,am)．若Dr

是矩陣A

的一個最高階非零子式，則Dr所在的

r

列是A

的列向量組的一個最大無關組，Dr所在的

r行是A

的行向量組的一個最大無關組．向量組的最大無關組一般是不唯一的．當前第49頁\共有194頁\編于星期二\4點例：已知試討論向量組a1,a2,a3

及向量組a1,a2

的線性相關性．解：可見R(a1,a2)=2，故向量組a1,a2線性無關，同時，R(a1,a2,a3

)=2，故向量組a1,a2,a3

線性相關，從而a1,a2

是向量組a1,a2,a3的一個最大無關組．事實上，a1,a3

和a2,a3也是最大無關組．當前第50頁\共有194頁\編于星期二\4點最大無關組的等價定義結論：向量組A

和它自己的最大無關組A0是等價的．定義：設有向量組A

，如果在A

中能選出r個向量a1,a2,…,

ar，滿足向量組A0：a1,a2,…,ar線性無關；向量組A

中任意r+1個向量（如果A

中有r+1個向量的話）都線性相關；向量組A

中任意一個向量都能由向量組A0

線性表示；那么稱向量組A0是向量組A

的一個最大無關組．當前第51頁\共有194頁\編于星期二\4點矩陣線性方程組有限向量組無限向量組系數矩陣增廣矩陣有限向量組與矩陣一一對應矩陣的秩等于列（行）向量組的秩Ax=b

有解當且僅當向量b

能否由向量組A

線性表示向量組與自己的最大無關組等價當前第52頁\共有194頁\編于星期二\4點最大無關組的意義結論：向量組A

和它自己的最大無關組A0是等價的．用A0來代表A，掌握了最大無關組，就掌握了向量組的全體． 特別，當向量組A為無限向量組，就能用有限向量組來代表．凡是對有限向量組成立的結論，用最大無關組作過渡，立即可推廣到無限向量組的情形中去．當前第53頁\共有194頁\編于星期二\4點例：全體n維向量構成的向量組記作Rn，求Rn的一個最大無關組及Rn的秩．解：n階單位矩陣的列向量組是Rn的一個最大無關組，Rn的秩等于n．思考：上三角形矩陣的列向量組是Rn的一個最大無關組嗎？當前第54頁\共有194頁\編于星期二\4點例：設齊次線性方程組的通解是試求全體解向量構成的向量組S

的秩．當前第55頁\共有194頁\編于星期二\4點例：求矩陣的秩，并求A

的一個最高階非零子式．例：設矩陣求矩陣A

的列向量組的一個最大無關組，并把不屬于最大無關組的列向量用最大無關組線性表示．當前第56頁\共有194頁\編于星期二\4點第二步求A的最高階非零子式．選取行階梯形矩陣中非零行的第一個非零元所在的列

，與之對應的是選取矩陣A的第一、二、四列．解：第一步先用初等行變換把矩陣化成行階梯形矩陣．行階梯形矩陣有3個非零行，故R(A)=3

．當前第57頁\共有194頁\編于星期二\4點R(A0)=3，計算

A0的前

3行構成的子式因此這就是A

的一個最高階非零子式．A0的

3個列向量就是矩陣A

的列向量組的一個最大無關組．當前第58頁\共有194頁\編于星期二\4點思考：如何把a3,a5

表示成a1,a2,a4

的線性組合？思路1：利用P.83定理1的結論思路2：利用矩陣A

的行最簡形矩陣．向量b能由向量組A線性表示線性方程組Ax=b

有解令A0

=

(a1,a2,a4)求解A0x

=

a3

A0x

=

a5當前第59頁\共有194頁\編于星期二\4點解（續）：為把a3,a5

表示成a1,a2,a4

的線性組合，把矩陣A

再變成行最簡形矩陣于是Ax=0與Bx=0，即x1a1+x2a2+x3a3+x4a4+x5a5=0x1b1+x2b2+x3b3+x4b4+x5b5=0同解．即矩陣

A的列向量組與矩陣

B的列向量組有相同的線性關系.當前第60頁\共有194頁\編于星期二\4點可以看出：

b3=?b1?b2 b5=4b1+3b2?3b4所以

a3=?

a1?

a2 a5=4a1+3a2?3a4當前第61頁\共有194頁\編于星期二\4點§4.5

線性方程組的解的結構當前第62頁\共有194頁\編于星期二\4點回顧：線性方程組的解的判定包含n個未知數的齊次線性方程組Ax=0

有非零解的充分必要條件是系數矩陣的秩R(A)<

n．包含n個未知數的非齊次線性方程組Ax=b有解的充分必要條件是系數矩陣的秩R(A)=R(A,b)，并且當R(A)=R(A,b)=n時，方程組有唯一解；當R(A)=R(A,b)<

n時，方程組有無限多個解．當前第63頁\共有194頁\編于星期二\4點引言問題：什么是線性方程組的解的結構？答：所謂線性方程組的解的結構，就是當線性方程組有無限 多個解時，解與解之間的相互關系．備注：當方程組存在唯一解時，無須討論解的結構．下面的討論都是假設線性方程組有解．當前第64頁\共有194頁\編于星期二\4點解向量的定義定義：設有齊次線性方程組Ax=0，如果x1=x11，

x2=x21，...，xn=xn1為該方程組的解，則稱為方程組的解向量．當前第65頁\共有194頁\編于星期二\4點齊次線性方程組的解的性質性質1：若x=x1，

x=x2

是齊次線性方程組Ax=0的解， 則x=x1+x2還是Ax=0的解．證明：A(x1+x2)=

Ax1+Ax2

=0+0=0．性質2：若x=x是齊次線性方程組Ax=0的解，k為實數， 則x=kx

還是Ax=0的解．證明：A(kx)=

k(Ax)

=k0=0．結論：若x=x1,

x=x2,...,,

x=xt

是齊次線性方程組Ax=0

的解，則x=k1x1+k2x2+…+ktxt還是Ax=0的解.當前第66頁\共有194頁\編于星期二\4點結論：若x=x1,

x=x2,...,,

x=xt

是齊次線性方程組Ax=0的解，則x=k1x1+k2x2+…+ktxt還是Ax=0的解.已知齊次方程組Ax=0的幾個解向量，可以通過這些解向量的線性組合給出更多的解．能否通過有限個解向量的線性組合把Ax=0的解全部表示出來？把Ax=0的全體解組成的集合記作S，若求得S

的一個最大無關組S0：x=x1,

x=x2,...,,

x=xt

，那么Ax=0的通解可表示為x=k1x1+k2x2+…+ktxt．齊次線性方程組的解集的最大無關組稱為該齊次線性方程組的基礎解系（不唯一）．當前第67頁\共有194頁\編于星期二\4點回顧：向量組的秩的概念定義：設有向量組A

，如果在A

中能選出r個向量a1,a2,…,

ar，滿足①向量組A0：a1,a2,…,ar線性無關；②向量組A

中任意r+1個向量（如果A

中有r+1個向量的話）都線性相關；②'向量組A

中任意一個向量都能由向量組A0

線性表示；那么稱向量組A0是向量組A

的一個最大無關組．向量組的最大無關組一般是不唯一的．返回當前第68頁\共有194頁\編于星期二\4點基礎解系的概念定義：齊次線性方程組Ax=0的一組解向量：x1,x2,...,xr如果滿足①x1，x2，...，xr線性無關；②方程組中任意一個解都可以表示x1,x2,...,xr的線性組合，那么稱這組解是齊次線性方程組的一個基礎解系．當前第69頁\共有194頁\編于星期二\4點后n-r

列前r

列設R(A)=r，為敘述方便，不妨設A行最簡形矩陣為對應的齊次線性方程組令xr+1,…,xn

作自由變量，則當前第70頁\共有194頁\編于星期二\4點令xr+1=c1,xr+2=c2,…,xn=cn-r

，則齊次線性方程組的通解記作x=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r．（滿足基礎解系②）

當前第71頁\共有194頁\編于星期二\4點n

?

r

列前

r

行后

n

?

r

行故R(x1,

x2,…,xn-r)=n

?

r

，即x1,

x2,…,xn-r線性無關．（滿足基礎解系①）于是x1,

x2,…,xn-r就是齊次線性方程組Ax=0的基礎解系．當前第72頁\共有194頁\編于星期二\4點令xr+1=c1,xr+2=c2,…,xn=cn-r

，則線性方程組的通解記作x=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r．（滿足基礎解系②）

當前第73頁\共有194頁\編于星期二\4點此即為Ax=0的基礎解系．通解為

x=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r，則令當前第74頁\共有194頁\編于星期二\4點定理：設m×n

矩陣的秩R(A)=r，則n元齊次線性方程組Ax=0的解集S的秩

RS=n

?r．當前第75頁\共有194頁\編于星期二\4點基礎解系的求解例：求齊次線性方程組的基礎解系．方法1：先求出通解，再從通解求得基礎解系．即當前第76頁\共有194頁\編于星期二\4點令x3=c1，x4=c2，得通解表達式因為方程組的任意一個解都可以表示為x1,x2

的線性組合．x1,x2的四個分量不成比例，所以x1,x2線性無關．所以x1,x2是原方程組的基礎解系．當前第77頁\共有194頁\編于星期二\4點方法2：先求出基礎解系，再寫出通解．即令合起來便得到基礎解系，得還能找出其它基礎解系嗎？當前第78頁\共有194頁\編于星期二\4點問題：是否可以把x1

選作自由變量？答：可以，因為是否把系數矩陣化為行最簡形矩陣，其實并不影響方程組的求解．當兩個矩陣行等價時，以這兩個矩陣為系數矩陣的齊次線性方程組同解．當前第79頁\共有194頁\編于星期二\4點令x1=c1，x2=c2，得通解表達式即從而可得另一個基礎解系：h1和h2．當前第80頁\共有194頁\編于星期二\4點定理：設m×n

矩陣的秩R(A)=r，則n元齊次線性方程組Ax=0的解集S的秩

RS=n

?r．例：設Am×nBn×l=O（零矩陣），證明R(A)+R(B)≤

n．例：證明R(ATA)=R(A)．例：設n

元齊次線性方程組Ax=0與Bx=0同解，證明R(A)=R(B)．當前第81頁\共有194頁\編于星期二\4點非齊次線性方程組的解的性質性質3：若x=h1，

x=h2

是非齊次線性方程組Ax=b

的解，則x=h1?h2是對應的齊次線性方程組Ax=0（導出組）的解．證明：A(h1?h2)=

Ah1?Ah2

=b

?b=0．性質4：若x=h是非齊次線性方程組Ax=b

的解，x=x是導出組Ax=0的解，則x=x+h

還是Ax=b

的解．證明：A(x+h

)=

Ax+Ah

=0+b=b

．當前第82頁\共有194頁\編于星期二\4點根據性質3和性質4可知若x=h*是Ax=b

的解，x=x是Ax=0的解，那么

x=x+h*也是Ax=b

的解．設Ax=0的通解為x=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r．于是Ax=b

的通解為h=c1x1+c2x2+…+cn-rxn-r+h*當前第83頁\共有194頁\編于星期二\4點例：求線性方程組的通解．解：容易看出是方程組的一個特解

．其對應的齊次線性方程組為根據前面的結論，導出組的基礎解系為當前第84頁\共有194頁\編于星期二\4點于是，原方程組的通解為當前第85頁\共有194頁\編于星期二\4點小結：關于線性方程組求解線性方程組（利用矩陣的初等行變換）線性方程組的幾何意義（四種等價形式）齊次線性方程組的通解能由它的基礎解系來構造．基礎解系是解集S

的最大無關組．解集S是基礎解系的所有可能的線性組合．非齊次線性方程組的通解與其導出組的基礎解系的關系.當前第86頁\共有194頁\編于星期二\4點§5

向量空間當前第87頁\共有194頁\編于星期二\4點封閉的概念定義：所謂封閉，是指集合中任意兩個元素作某一運算得到的結果仍屬于該集合．例：試討論下列數集對四則運算是否封閉？整數集Z有理數集Q實數集R當前第88頁\共有194頁\編于星期二\4點向量空間的概念定義：設V

是n

維向量的集合，如果①集合V

非空，②集合V

對于向量的加法和乘數兩種運算封閉，具體地說，就是：若a∈V，b∈V，則a+b∈V．（對加法封閉）若a∈V，l∈R，則l

a∈V．（對乘數封閉）那么就稱集合V為向量空間．當前第89頁\共有194頁\編于星期二\4點例：下列哪些向量組構成向量空間？

n

維向量的全體Rn集合V1={(0,x2,…,xn)T|x2,…,xn∈R

}集合V2={(1,x2,…,xn)T|x2,…,xn∈R

}齊次線性方程組的解集S1={x|Ax=0}非齊次線性方程組的解集S2={x|Ax=b}解：集合Rn，V1，S1是向量空間，集合V2，S2不是向量空間．定義：齊次線性方程組的解集稱為齊次線性方程組的解空間.當前第90頁\共有194頁\編于星期二\4點例：設a,b為兩個已知的n維向量，集合L={la+mb|l,m∈R}是一個向量空間嗎？解：設x1,x2∈L，k∈R，因為x1+x2=(l1a+m1b)+(l2a+m2b) =(l1+l2)a+(m1

+m2)

b∈Lkx1=k(l1a+m1b)=(kl1)a+(km1)b∈L

所以，L

是一個向量空間．當前第91頁\共有194頁\編于星期二\4點定義：把集合L={la+mb|l,m∈R}稱為由向量a,b所生成的向量空間．一般地，把集合

L={l1a1+l2a2+…+lmam|l1,l2,...,lm∈R}稱為由向量a1

,a2

,...,am所生成的向量空間．例：設向量組a1

,a2

,...,am和b1

,b2

,...,bs等價，記L1={l1a1+l2a2+…+lmam|l1,l2,...,lm∈R}，L2={m1b1+m2b2+…+msbs|m1,m2,...,ms∈R}，試證L1=L2．結論：等價的向量組所生成的空間相等．當前第92頁\共有194頁\編于星期二\4點alaL={la|l∈R}L={la+mb|l,m∈R}abcL={la+mb+gc|l,m,g∈R}lambgcablamb當前第93頁\共有194頁\編于星期二\4點a1a2L1={l1a1+l2a2|l1,l2∈R}L2={m1b1+m2b2|m1,m2∈R}則

L1=L2L3={m1b1+m2b2+m3b3|m1,m2,m3∈R}問題：L1=L2=L3?b1b2b3返回當前第94頁\共有194頁\編于星期二\4點子空間的概念定義：如果向量空間V

的非空子集合V1對于V

中所定義的加法及乘數兩種運算是封閉的，則稱V1是V

的子空間．例：

n

維向量的全體Rn集合V1={(0,x2,…,xn)T|x2,…,xn∈R

}集合V2={(1,x2,…,xn)T|x2,…,xn∈R

}解：V1是Rn

的子空間，V2不是Rn

的子空間．當前第95頁\共有194頁\編于星期二\4點向量空間的基的概念定義：設有向量空間V

，如果在V

中能選出r個向量a1,a2,…,

ar，滿足①a1,a2,…,ar線性無關；②V

中任意一個向量都能由a1,a2,…,ar線性表示；那么稱向量組a1,a2,…,ar

是向量空間V

的一個基．r

稱為向量空間V

的維數，并稱V

為r

維向量空間

．

向量空間向量空間的基向量空間的維數向量組向量組的最大無關組向量組的秩當前第96頁\共有194頁\編于星期二\4點

n

維向量的全體Rn解：En

的列向量組是Rn的一個基，故Rn

的維數等于n

.集合V1={(0,x2,…,xn)T|x2,…,xn∈R

}解：En

的后n－1個列向量是V1的一個基，故

V1的維數等于n－1

．

n

元齊次線性方程組的解集S1={x|Ax=0}解：齊次線性方程組的基礎解系是S1的一個基，故

S1的維數等于n－R(A)．當前第97頁\共有194頁\編于星期二\4點

n

維向量的全體Rn解：En

的列向量組是Rn的一個基，故Rn

的維數等于n

.集合V1={(0,x2,…,xn)T|x2,…,xn∈R

}解：En

的后n－1個列向量是V1的一個基，故

V1的維數等于n－1

．結論：若V1是V

的子空間，則V1的維數不超過V的維數．

n

元齊次線性方程組的解集S1={x|Ax=0}解：齊次線性方程組的基礎解系是S1的一個基，故

S1的維數等于n－R(A)．當前第98頁\共有194頁\編于星期二\4點由a1

,a2

,...,am所生成的向量空間L={l1a1+l2a2+…+lmam|l1,l2,...,lm∈R}若a1

,a2

,...,am線性無關，則

a1

,a2

,...,am是向量空間L

的一個基．若a1

,a2

,...,am線性相關，則

向量組A：a1

,a2

,...,am等價于 向量組A的最大無關組A0：a1

,a2

,...,ar從而L=L1={l1a1+l2a2+…+lrar|l1,l2,...,lr∈R}故向量組A0就是L的一個基，A0中向量的個數就是L的維數.當前第99頁\共有194頁\編于星期二\4點由a1

,a2

,...,am所生成的向量空間L={l1a1+l2a2+…+lmam|l1,l2,...,lm∈R}解：L={l1a1+l2a2+…+lmam|l1,l2,...,lm∈R}

向量組A：a1

,a2

,...,am等價于 向量組A的最大無關組A0：a1

,a2

,...,ar故向量組A0就是L的一個基，A0中向量的個數就是L的維數.一般來說，若a1

,a2

,...,am∈V，則L

是V

的子空間．若向量組a1

,a2

,...,am是向量空間V

的一個基，那么V={l1a1+l2a2+…+lmam|l1,l2,...,lm∈R}當前第100頁\共有194頁\編于星期二\4點L={l1a1+l2a2+l3a3|l1,l2,l3∈R}

向量組a1,a2,a3

等價于 相應的最大無關組a1,a2所以L={m1a1+m2a2|m1,m2∈R}從而a1,a2就是

L的一個基，L的維數等于2．a3a1a2結論：等價的向量組所生成的空間相等．當前第101頁\共有194頁\編于星期二\4點定義：如果在向量空間V中取定一個基a1

,a2

,...,ar

，那么V中任意一個向量可唯一表示為x=l1a1+l2a2+…+lrar數組l1,l2,...,lr稱為向量x在基a1

,a2

,...,ar中的坐標．例：的列向量組是R3

的一個基，那么b

在基e1,e2,e3中的坐標當前第102頁\共有194頁\編于星期二\4點n

階單位矩陣En

的列向量叫做n

維單位坐標向量．n

階單位矩陣En

的列向量組稱為Rn的自然基．當前第103頁\共有194頁\編于星期二\4點上三角形矩陣的列向量組也是R3

的一個基，那么結論：同一個向量在不同基中的坐標是不同的．當前第104頁\共有194頁\編于星期二\4點例：設驗證a1,a2,a3是R3的一個基，并求b1,b2在這個基中的坐標.分析：a1,a2,a3是R3的一個基R(a1,a2,a3)=3b1,b2在這個基中的坐標用a1,a2,a3

表示b1,b2當時，A

的列向量組與B

的列向量組有相同的線性關系．為此，考慮把(A,B)=(a1,a2,a3,

b1,b2)化為行最簡形矩陣．當前第105頁\共有194頁\編于星期二\4點解：于是例：設驗證a1,a2,a3是R3的一個基，并求b1,b2在這個基中的坐標.當前第106頁\共有194頁\編于星期二\4點例：在R3中取定一個基a1,a2,a3

，再取一個新基b1,b2,b3，設A=(a1,a2,a3)，B=(b1,b2,b3)．①求用a1,a2,a3

表示b1,b2,b3的表示式（基變換公式）；②求向量在兩個基中的坐標之間的關系式（坐標變換公式）.分析：求解矩陣方程AX=B．設

x∈R3，且，求解 矩陣方程．當前第107頁\共有194頁\編于星期二\4點系數矩陣線性變換與矩陣之間存在著一一對應關系.返回當前第108頁\共有194頁\編于星期二\4點第五章方陣的特征值與特征向量當前第109頁\共有194頁\編于星期二\4點引言純量陣lE

與任何同階矩陣的乘法都滿足交換律，即(lEn)An=An

(lEn)=lAn

．矩陣乘法一般不滿足交換律，即AB

≠

BA

．數乘矩陣與矩陣乘法都是可交換的，即l(AB)=(lA)B=A(lB)．Ax=lx?

例：當前第110頁\共有194頁\編于星期二\4點一、基本概念定義：設A

是n階矩陣，如果數l

和n維非零向量x

滿足Ax=lx，那么這樣的數l

稱為矩陣A

的特征值，非零向量x

稱為A

對應于特征值l

的特征向量．例：則l=1為的特征值，為對應于l=1的特征向量.當前第111頁\共有194頁\編于星期二\4點一、基本概念定義：設A

是n階矩陣，如果數l

和n維非零向量x

滿足Ax=lx，那么這樣的數l

稱為矩陣A

的特征值，非零向量x

稱為A

對應于特征值l

的特征向量．

Ax=lx=lE

x

非零向量x

滿足(A?lE)x=0（零向量） 齊次線性方程組有非零解 系數行列式|A?lE|=0當前第112頁\共有194頁\編于星期二\4點特征方程特征多項式特征方程 |A?lE|=0特征多項式 |A?lE|當前第113頁\共有194頁\編于星期二\4點二、基本性質在復數范圍內n階矩陣A有n個特征值（重根按重數計算）．設n階矩陣A的特征值為l1,l2,…,ln，則l1+l2+…+ln=a11+a22+…+ann

l1l2…ln=|A|當前第114頁\共有194頁\編于星期二\4點例：求矩陣的特征值和特征向量．解：A

的特征多項式為所以A

的特征值為l1=2，l2=4．當l1=2時，對應的特征向量應滿足，即解得基礎解系．k

p1（k

≠

0）就是對應的特征向量．當前第115頁\共有194頁\編于星期二\4點例：求矩陣的特征值和特征向量．解：A

的特征多項式為所以A

的特征值為l1=2，l2=4．當l2=4時，對應的特征向量應滿足，即解得基礎解系．k

p2（k

≠

0）就是對應的特征向量．當前第116頁\共有194頁\編于星期二\4點例：求矩陣的特征值和特征向量．解：所以A

的特征值為l1=?1，l2=l3=2．當前第117頁\共有194頁\編于星期二\4點例：求矩陣的特征值和特征向量．解（續）：當l1=?1時，因為解方程組(A+E)

x=0．解得基礎解系．k

p1（k

≠

0）就是對應的特征向量．當前第118頁\共有194頁\編于星期二\4點例：求矩陣的特征值和特征向量．解（續）：當l2=l3=2時，因為解方程組(A?2E)

x=0．解得基礎解系．k2

p2+k3

p3（k2,k3

不同時為零）就是對應的特征向量．當前第119頁\共有194頁\編于星期二\4點二、基本性質在復數范圍內n階矩陣A有n個特征值（重根按重數計算）．設n階矩陣A的特征值為l1,l2,…,ln，則l1+l2+…+ln=a11+a22+…+ann

l1l2…ln=|A|若l是

A的一個特征值，則齊次線性方程組的基礎解系 就是對應于特征值為l

的全體特征向量的最大無關組．當前第120頁\共有194頁\編于星期二\4點例：設l是方陣A

的特征值，證明(1)l2

是A2

的特征值；(2)當A

可逆時，1/l

是A?1

的特征值．結論：若非零向量p

是A對應于特征值l

的特征向量，則l2

是A2

的特征值，對應的特征向量也是

p

．lk

是Ak

的特征值，對應的特征向量也是

p

．當A

可逆時，1/l

是A?1

的特征值，對應的特征向量仍然是

p

．當前第121頁\共有194頁\編于星期二\4點二、基本性質在復數范圍內n階矩陣A有n個特征值（重根按重數計算）．設n階矩陣A的特征值為l1,l2,…,ln，則l1+l2+…+ln=a11+a22+…+ann

l1l2…ln=|A|若l是

A的一個特征值，則齊次線性方程組的基礎解系 就是對應于特征值為l

的全體特征向量的最大無關組．若l是

A的一個特征值，則

j

(l)=a0+a1l+…+aml

m

是矩陣多項式j

(A)=a0+a1A+…+amA

m

的特征值．當前第122頁\共有194頁\編于星期二\4點例：設3階方陣A

的特征值為1,?1,2，求A*+3A?2E的特征值．解：