自動控制原理第七章非線性系統分析第一頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三第7章非線性系統分析

7-1非線性問題概述基本要求7-2常見非線性因素對系統運動特性的影響7-3相平面法基礎7-4非線性系統相軌跡分析7-5描述函數7-6用描述函數分析非線性系統返回主目錄第二頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三基本要求

明確非線性系統動態過程的本質特征。掌握系統中非線性部分、線性部分結構歸化的方法。熟練掌握二階線性方程的相軌跡，正確理解焦點、節點、中心、鞍點、極限環等概念。熟練掌握由相軌跡計算時間的方法。已知相軌跡大致畫出時間響應曲線的圖形。對簡單的非線性系統能熟練寫出相軌跡的解析表達式。能通過等傾線方法作出相軌跡。返回子目錄第三頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三對分段線性的非線性系統，能決定開關線,寫出分區域相軌跡的方程式。對具有外作用和或具有速度反饋的情況能合適地選取相坐標作出相軌跡圖。正確理解諧波線性化的條件及描述函數的概念。了解描述函數建立的一般方法，明確幾種典型非線性特性負倒描述函數曲線的特點。熟練掌握運用描述函數法分析系統中是否有周期運動,判斷周期運動的穩定性。第四頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三簡介非線性系統一般理解為非線性微分方程所描述的系統。線性系統的本質特征是疊加原理，因此非線性系統也可以理解為不滿足疊加原理的系統。本章將介紹工程上常用的相平面法和描述函數法，并通過這兩種方法揭示非線性系統的一些區別于線性系統的現象。第五頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三7-1非線性問題概述一.實際系統中的非線性因素圖7-1一些常見的非線性特性返回子目錄第六頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三除上述實際系統中部件的不可避免的非線性因素外，有時為了改善系統的性能或者簡化系統的結構，人們還常常在系統中引入非線性部件或者更復雜的非線性控制器。通常，在自動控制系統中采用的非線性部件，最簡單和最普遍的就是繼電器。第七頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三圖7-2電磁繼電器的工作原理和輸入-輸出特性第八頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三二.非線性系統和線性系統有不同的

運動規律在線性系統中，系統的穩定性只取決于系統的結構和參數，對常參量線性系統，只取決于系統特征方程根的分布，而和初始條件、外加作用沒有關系。對于非線性系統，不存在系統是否穩定的籠統概念。必須具體討論某一運動的穩定性問題。非線性系統運動的穩定性，除了和系統的結構形式及參數大小有關以外，還和初始條件有密切的關系。第九頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三線性系統自由運動的形式與系統的初始偏移無關。非線性系統則不一樣，自由運動的時間響應曲線可以隨著初始偏移不同而有多種不同的形式。圖7-4非線性系統在不同初始偏移下的自由運動第十頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三線性系統在沒有外作用時，周期運動只發生在臨界情況，而這一周期運動是物理上不可能實現的。非線性系統，在沒有外作用時，系統中完全有可能發生一定頻率和振幅的穩定的周期運動，如圖7—5所示，這個周期運動在物理上是可以實現的，通常把它稱為自激振蕩，簡稱自振。圖7-5非線性系統的自激振蕩第十一頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三線性系統中，當輸入量是正弦信號時，輸出穩態分量也是同頻率的正弦函數，可以引入頻率特性的概念并用它來表示系統固有的動態特性。非線性系統在正弦作用下的輸出比較復雜。第十二頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三三.非線性系統的分析方法在線性系統中，一般可采用傳遞函數、頻率特性、脈沖過渡函數等概念。在工程實際中對于存在線性工作區域的非線性系統，或者非線性不嚴重的準線性系統，常常采用線性化的方法進行處理，然后在線性分析的基礎上加以修正。而對于包括像繼電特性那樣根本不存在線性區的非線性特性，工程上常用相平面方法和描述函數方法進行研究。第十三頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三7-2常見非線性因素對系統

運動特性的影響一.不靈敏區不靈敏區又叫死區，系統中的死區是由測量元件的死區、放大器的死區以及執行機構的死區所造成的。圖7-6死區特性返回子目錄第十四頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三死區非線性特性的數學表達式如下：式中第十五頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三圖7-7包含死區的非線性系統圖7-8

斜坡輸入時的系統輸出量第十六頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三二、飽和圖7-9部件的飽和現象飽和特性也是系統中最常見的一種非線性特性。第十七頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三理想化后的飽和特性典型數學表達式為：式中：a是線性范圍，K為線性范圍內的傳遞系數（對于放大元件，也稱增益）。第十八頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三粗略地看，飽和特性的存在相當于

大信號作用時，增益下降。圖7-10飽和特性圖7-11飽和特性的等效增益第十九頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三圖7-13圖7-12系統的響應隨動系統的方塊圖如圖7—12所示。當系統輸入端加上一個幅值較大的階躍信號時，若放大器無飽和限制，系統的時間響應曲線如圖7-13中的曲線1；放大器有飽和限制時的時間響應曲線如圖7-13中的曲線2。圖7-12非線性系統第二十頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三若隨動系統的方塊圖如圖7—15所示。圖7-14根軌跡圖圖7-15非線性系統根軌跡分析：第二十一頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三圖7-16系統的時間響應當系統中不存在飽和特性的限制，系統是振蕩發散的；若系統中存在飽和特性的限制，則系統不再發散，而是出現穩定的等幅振蕩，如圖7-16中的曲線2。第二十二頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三三、間隙圖7—17齒輪傳動中的間隙傳動機構(如齒輪傳動、桿系傳動)的間隙也是控制系統中的一種常見的非線性因素。第二十三頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三間隙特性的典型形式如圖7-18所示（7-6）數學表達式為圖7—18間隙非線性特性第二十四頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三間隙對系統性能的影響也很復雜，一般說來，它會增大系統的靜差，使系統波形失真，過渡過程的振蕩加劇。圖7-19間隙特性的輸入-輸出波形第二十五頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三四、摩擦圖7-20直流電動機的方框圖摩擦非線性對小功率角度隨動系統來說，是一個很重要的非線性因素。它的影響，從靜態方面看，相當于在執行機構中引入了死區，從而造成了系統的靜差，這一點和死區的影響相類似。圖7-21摩擦力矩示意圖第二十六頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三圖7-22小功率隨動系統方框圖圖7-23低速爬行現象第二十七頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三7-3相平面法基礎相平面法

是一種求解二階常微分方程的圖解方法。設一個二階系統可以用下列常微分方程描述

令,（7-9）則（7-11）返回子目錄第二十八頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三相平面:描繪相平面上的點隨時間變化的曲線叫相軌跡。

通常把方程（7－9）稱為相軌跡微分方程式，簡稱相軌跡方程。將（7－11）式的積分結果稱為相軌跡表達式。相軌跡:把具有直角坐標的平面叫做相平面。第二十九頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三一、線性系統的相軌跡設系統的微分方程為（7-12）系統（7-12）的特征方程為

上述特征方程的根為

式（7-12）所表示的自由運動，其性質由特征方程根的分布特點所決定。第三十頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三取相坐標、，式（7-12）可化為：（7-14）或第三十一頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三（1）無阻尼運動由方程（7-14），相軌跡方程為：其中相軌跡如圖7－24所示，在相平面上是為一族同心的橢圓。每個橢圓相當于一個簡諧振動。（7-16）第三十二頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三圖7-24系統無阻尼運動時的相軌跡相軌跡的方向如圖7-24中箭頭所示。相軌跡垂直穿過橫軸。坐標原點處相軌跡的斜率不能由該點的坐標唯一地確定，這種點叫做奇點。圖7-24的奇點(0,0)通常稱為中心

第三十三頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三（2）欠阻尼運動其中（7-17）方程（7-12）的解為第三十四頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三相軌跡如圖7－25所示。從圖中可以看出，欠阻尼系統不管初始狀態如何，它經過衰減振蕩，最后趨向于平衡狀態。坐標原點是一個奇點，它附近的相軌跡是收斂于它的對數螺旋線，這種奇點稱為

穩定的焦點。圖7-25系統欠阻尼運動時的相軌跡第三十五頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三（3）過阻尼運動這時方程（7－12）的解為相軌跡如圖7－26所示。第三十六頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三圖7-26過阻尼時的相軌跡圖7-27過阻尼運動的時間響應坐標原點是一個奇點，這種奇點稱為穩定的節點。第三十七頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三（4）負阻尼運動相軌跡圖如圖7－28所示，此時相軌跡仍是對數螺旋線，但相軌跡的運動方向與圖7－25不同，隨著t的增長，運動過程是振蕩發散的。這種奇點稱為不穩定的焦點。圖7-28第三十八頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三系統的相軌跡圖如圖7-29所示，奇點稱為不穩定的節點。圖7-29第三十九頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三此時相軌跡如圖7-30所示。奇點稱為

鞍點

該奇點是不穩定的。圖7-30斥力系統的相軌跡第四十頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三圖7-31特征根和奇點的對應關系第四十一頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三二、相軌跡作圖法設系統微分方程如化為表示相平面上的一條曲線，相軌跡通過曲線上的點時所取的斜率都是這條曲線就稱為等傾線。

令其中為某個常數1等傾線法第四十二頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三例子微分方程或等傾線是直線，它的方程為：第四十三頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三取不同值時，可在相平面上畫出若干不同的等傾線，在每條等傾線上畫出表示該等傾線斜率值的小線段，這些小線段表示相軌跡通過等傾線時的方向，從相軌跡的起點按順序將各小線段連接起來，就得到了所求的相軌跡。圖7-32第四十四頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三圖7-34各種類型的極限環極限環在圖7-33中，出現了一種孤立的簡單的封閉相軌跡。這種相軌跡稱為穩定的極限環。圖7-33第四十五頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三圖7-34各種類型的極限環第四十六頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三三、由相平面圖求時間解相軌跡上坐標點移動到點所需的時間，可按下式計算（7-37）這個積分可用通常近似計算積分的方法求出，因此求時間解的過程是近似計算的過程。第四十七頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三1、用曲線計算時間利用式（7－37）計算時間，在某些情況下可直接進行積分運算。圖7-37第四十八頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三2、用小圓弧逼近相軌跡計算時間在小圓弧逼近的方法中，相軌跡是用圓心位于實軸上的一系列圓弧來近似的。如圖7－8AD段，可用軸上的P、Q、R點為圓心，以、、為半徑的小圓弧來逼近，這樣就有第四十九頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三

代入（7-37）式得令（7-38）第五十頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三圖7-38用小圓弧逼近相軌跡計算時間第五十一頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三例7-2圖示相平面上有兩條封閉的相軌跡，已知和均是圓弧的一部分，試計算這兩條封閉相軌跡所對應的周期運動的周期。圖7-39第五十二頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三解：相軌跡和對應的周期運動，他們的周期分別為和s，則有第五十三頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三7-4非線性系統相軌跡分析根據系統結構形式選取相坐標，列寫微分方程。畫相軌跡圖根據相軌跡圖分析系統的運動情況。返回子目錄第五十四頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三一、繼電型系統系統中有一個或幾個元件具有繼電型非線性特性的系統稱為繼電型系統。圖7-40繼電型非線性特性第五十五頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三若繼電系統的方框圖如圖7—41所示

研究圖中繼電特性為圖7-40(b)的情況圖7-41第五十六頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三很明顯，相平面以直線為界被分成三個不同的區域，在每個區域里，系統的相軌跡完全由一個線性微分方程所確定第五十七頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三1在c>h的區域系統方程為其中第五十八頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三所以當第五十九頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三2在|c|<h區域系統方程為（7-47）第六十頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三3在c<-h區域相軌跡方程為當時第六十一頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三圖7-42圖7-41系統當時的相軌跡第六十二頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三當m=-1時，系統微分方程為對這個系統而言，不論初始條件如何，系統最終都是處于自振狀態，并且振蕩的周期與振幅僅取決于系統的參數，而和初始條件的大小無關。第六十三頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三圖7-43圖7-41系統當m=-1時的相軌跡第六十四頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三圖7-44振蕩趨勢加大示意圖第六十五頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三圖7-45m逐漸減少時的相平面第六十六頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三二、速度反饋對繼電系統自由運動的影響圖7-46有速度反饋的繼電器系統第六十七頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三系統的微分方程為將此相軌跡圖與圖7—42比較可看出兩者主要是開關線不同。可以通過改變開關線的位置來改善系統的性能。第六十八頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三圖7—47速度反饋對系統運動過程的影響第六十九頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三三、含有間隙非線性的系統圖7-48間隙非線性和非線性控制系統第七十頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三方程式：第七十一頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三式中相軌跡方程（7-59）（7-60）第七十二頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三圖7-49式（7-59）和式（7-60）的相軌跡第七十三頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三圖7-50圖7-48系統的相平面第七十四頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三圖7-51判斷開關線所用的對應關系第七十五頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三四、具有階躍或斜坡輸入時非線性系統的相平面圖7-52具有非線性放大器的系統第七十六頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三圖7-52（a）表示的系統方程為得到假定第七十七頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三（1）階躍輸入r(t)=R系統方程變為圖7-53第七十八頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三（2）輸入信號r(t)=Vt+R系統方程為第七十九頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三圖7-54V<kKe0，R>e0時的相軌跡第八十頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三圖7-55

kKe0<V<Ke0,R=0圖7-56V>Ke0,R=0第八十一頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三返回子目錄7-5描述函數描述函數可以定義為非線性特性輸出的一次諧波分量與輸入正弦量的復數比。若輸出的一次諧波分量為輸入的正弦量為則描述函數的數學表達式如式（7-75）所示：

（7-75）第八十二頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三圖7-57理想繼電特性在正弦輸入時的輸出波形和振幅頻譜第八十三頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三其中為非線性特性在輸入信號作用下的輸出。第八十四頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三例7-3若非線性特性為

（7-76）其特性曲線如圖7-58。第八十五頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三令則有第八十六頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三圖7-58式（7-76）的輸入-輸出特性圖7-59描述函數第八十七頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三一、不靈敏區特性的描述函數第八十八頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三（7-83）根據描述函數的定義，可求出不靈敏區的描述函數為第八十九頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三圖7-60不靈敏區特性及其輸入-輸出波形第九十頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三二、飽和特性的描述函數第九十一頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三圖7—61表示了飽和特性和它在正弦信號作用下的輸出波形。飽和特性的描述函數為從上式可知，飽和特性的描述函數是輸入幅值的實值函數，與輸入頻率無關。第九十二頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三圖7-61飽和特性及其輸入-輸出波形第九十三頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三三、間隙特性的描述函數第九十四頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三第九十五頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三間隙特性的描述函數為圖7—62表示了間隙特性和它在正弦信號作用下的輸出波形第九十六頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三圖7-62間隙特性及其輸入-輸出波形第九十七頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三四、繼電型特性的描述函數圖7—63表示了具有滯環和不靈敏區的繼電特性和它在正弦信號作用下的輸出波形第九十八頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三第九十九頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三第一百頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三繼電特性的描述函數為可知具有滯環和不靈敏區的繼電特性的描述函數，和輸入信號的頻率無關，只是輸入幅值的復數值函數。第一百零一頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三圖7-63繼電特性及其輸入-輸出波形第一百零二頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三當h=0,兩位置理想繼電特性的描述函數當m=1,三位置理想繼電特性的描述函數當m=-1,得到具有滯環的兩位置繼電特性的描述函數第一百零三頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三返回子目錄7-6

用描述函數法分析非線性系統非線性控制系統可化為下列結構形式圖7-64非線性控制系統第一百零四頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三用描述分析非線性系統時兩個基本假設：系統的線性部分G(jω)具有很好的低通濾波性。系統若發生自激振蕩（穩定的周期運動），假定非線性環節N的輸入端的振蕩為正弦波。第一百零五頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三一、特征方程的解法圖7－64所示系統的特征方程為（7-90）如果對于某一個和，式（7－90）成立，

那么非線性環節N輸入端將有的周期運動。此時相當于將整個曲線當作臨界點。

第一百零六頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三二、自激振蕩的確定

圖7-65周期運動的確定及穩定性判別分別將和曲線畫在復平面上,如圖7－65所示。第一百零七頁，共一百一十八頁，編輯于2023年，星期三M1對應的周期運動為X01sinω01tM2對應的周期運動為X02sinω02t。M1的周期運動是不穩定的。M2的周期運動是穩定的。上述方法適用于G(s)無右半復平面極點的情形。圖中曲線和曲線分別相交于M1點和M2點。