考點24空間幾何中的垂直知識理解知識理解一．直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義：直線l與平面α內的任意一條直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直(2)直線與平面垂直的判定定理及性質定理：文字語言圖形語言符號語言判定定理一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b?α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))?l⊥α性質定理垂直于同一個平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b二．平面與平面垂直的判定定理與性質定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l?β,l⊥α))?α⊥β性質定理兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l?β,α∩β＝a,l⊥a))?l⊥α三．證明線線垂直的思路考向分析考向一線面垂直考向分析【例1】3．(2021·江西吉安市·高三期末節選)如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，為正三角形，為的中點，求證：平面【舉一反三】1．(2021·河南信陽市節選)如圖所示，四棱錐中，，，，平面，求證:平面2．(2021·江西贛州市節選)如圖，已知三棱柱的所有棱長均為2，，證明：平面3．(2020·山東德州市節選)如圖，四棱錐中，四邊形是邊長為的正方形，為等邊三角形，分別為和的中點，且，證明:平面考向二面面垂直【例2】(2021·河南高三期末節選)如圖，直四棱柱的底面為平行四邊形，，，，，是的中點，求證：平面平面【舉一反三】1．(2021·河南焦作市節選)如圖所示，在四棱錐中，底面是菱形，平面點為線段的中點，求證:平面平面2．(2021·山東青島市·高三期末節選)如圖，在直角梯形中，，，，，.將矩形沿翻折，使得平面平面，若，證明：平面平面3．(2021·安徽馬鞍山市節選)如圖，BE，CD為圓柱的母線，是底面圓的內接正三角形，M為BC的中點，證明：平面AEM⊥平面BCDE考向三線線垂直【例3】(2021·江西宜春市·高安中學節選)如圖，四棱錐的底面是邊長為2的菱形，，已知，E為的中點，求證【舉一反三】1．(2021·江蘇南通市·高三期末節選)如圖，在四棱錐中，，，，為的中點，，求證：2．(2020·山東德州市節選)如圖，已知四棱錐中，底面為菱形，平面分別為的中點.(1)求證:;(2)求證:平面.3．(2021·山東棗莊市節選)如圖，四棱錐的側面是正三角形，底面是直角梯形，，，為的中點，求證：強化練習強化練習1．(2021·山東泰安市·高三期末節選)如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，，為上一點，過作與平行的平面，分別交，于點，，證明：平面2．(2021·浙江金華市·高三期末節選)在三棱錐中，平面平面ABC，，)證明：平面ABC3．(2021·河南焦作市節選)如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，，，分別為，，的中點，求證：平面4．(2021·浙江溫州市節選)如圖，已知三棱錐﹐，是邊長為的正三角形，﹐，點為線段的中點，證明：平面5．(2021·陜西咸陽市·高三一模節選)如圖，在三棱錐中，平面平面，，，，，是的中點，求證：平面6．(2021·浙江金華市節選)如圖，在四棱錐中，底面為矩形，，平面平面，若E為的中點，求證：平面7．(2021·西安市鐵一中學節選)如圖，在底面為菱形的四棱錐中，，點在上，且，求證：平面8．(2021·河南高三期末節選)如圖，直四棱柱的底面為平行四邊形，是的中點，求證：平面平面9．(2021·江蘇南通市節選)如圖，四面體中，O是的中點，點G、E分別在線段AO和BC上，，，，.(1)求證：平面；(2)求證：平面平面.10．(2021·山西呂梁市·高三一模節選)如圖，四棱錐中，，，側面為等邊三角形，，，，求證：11．(2021·云南高三期末)如圖所示，在正方體中，點為線段的中點.(1)求證：；(2)求證：平面.12．(2021·江西景德鎮市節選)如圖，已知四棱錐，其中，，，，側面底面，是上一點，且是等邊三角形，求證：平面13．(2021·江西景德鎮市·景德鎮一中)如圖，在三棱柱中，平面平面，，，，為的中點.(1)求證：平面；(2)求證：平面.14．(2021·陜西咸陽市)在三棱錐中，、分別為、的中點，且，平面平面.(1)證明：平面；(2)證明：.15．(2021·全國)已知四棱錐中，平面平面，為等邊三角形，底面為直角梯形，且，點為的中點，求證：.16．(2020·全國)如圖，矩形所在平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點．(1)證明：平面平面；(2)若點是線段的中點，求證：平面．17．(2021·全國高三專題練習)如圖，邊長為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點.證明：平面平面.18．(202