7.3 合情推理與演繹推理必備知識預(yù)案自診知識梳理合情推理定義特點由的推理到、由到由到的推理一般步驟通過個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì);定義特點由的推理到、由到由到的推理一般步驟通過個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì);題(猜想)找出兩類事物之間的相似性或一致性;用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì),得出一個明確的命題(猜想)歸納推理類比推理由某類事物的具有某些特征,推出該類由兩類對象具有和其中一類對象事物的都具有這些特征的推理,或者由的,推出另一類對象也具有這概括出的推理些特征的推理演繹推理定義:,我們把這種推理稱為演繹推理.特點:(3)模式:“:““三段論”的結(jié)構(gòu)①大前提——已知的;②小前提——所研究的特殊情況;③結(jié)論——根據(jù)一般原理,對的判斷做出“三段論”的表示①大前提——②小前提——③結(jié)論——SP;;1考點自診1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)歸納推理得到的結(jié)論不一定正類比推理得到的結(jié)論一定正. ((2)歸納推理與類比推理都是由特殊到一般的推. ((3)在類比平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對象較為合.((4)“所有3的倍數(shù)都是9的倍某數(shù)m是3的倍則m一定是9的倍這是三段論推理但其結(jié)論是錯誤. ()n(5)一個數(shù)列的前三項是1,2,3,那么這個數(shù)列的通項公式是a=n(n∈N*). ((6)在演繹推理只要符合演繹推理的形,結(jié)論就一定正. (2.下列說法正確的()nA.B.合情推理得到的結(jié)論一定是正確的C.合情推理得到的結(jié)論不一定正確D.3.如圖根據(jù)圖中的數(shù)構(gòu)成的規(guī),a表示的數(shù)是 ( )A.12 B.48C.60 D.1444.(2020山東濰坊二,3)甲、乙、丙三人,一人是律,一人是醫(yī)一人是記.已知的年齡比醫(yī)生甲的年齡和記者不記者的年齡比乙根據(jù)以上情下列判斷正確的是( )A.甲是律師,乙是醫(yī)生,丙是記者B.甲是醫(yī)生,乙是記者,丙是律師C.甲是醫(yī)生,乙是律師,丙是記者D.甲是記者,乙是醫(yī)生,丙是律師n n 46 3n n 5 7 4 5.(20206){a中a>0,d≠0,aa>aa.類比{b中,b>0,q≠0,bn n 46 3n n 5 7 4 ()2PAGEPAGE3A.b5b7>b4b8 B.b7b8>b4b5C.b5+b7<b4+b8D.b7+b8<b4+b5關(guān)鍵能力學(xué)案突破考考點歸納推理(多考向探究)考向1 數(shù)的歸納【例(2020安徽壽縣一,文下面的數(shù)表森德拉姆其特點是表中的每行每上的數(shù)都成等差數(shù),則第n行第n個數(shù)字( )2345…3579…471013…591317………………A.n2-1 B.(n+1)2+1……………C.n2+1 D.n2思考?xì)w納推理的步驟是什么?考向2 式的歸納

=1,

+ 1 =1,

+ 1 + 1 =1 +1+21 +…+ 1 等于(

31+2)

1+2+3

21+2

1+2+3

1+2+3+4

1+21+2+3 1+2+…+12A.5 B.11 C.11 D.126 12 13 13思考式的歸納如何實現(xiàn)?考向3 形的歸納【例】(2020湖南大學(xué)附中9月摸,理10)如圖所,在著名的漢諾塔問題中有三根針和套在一根針上的若干金屬按下列規(guī),把金屬片從一根針上全部移到另一根針每次只能移動一個金屬;②在每次移動過程每根針上較大的金屬片不能放在較小的金屬上面將n個金屬片從1號針移到3號針最少需要移動的次數(shù)記為f(n),則f(6)=( )A.61 B.33 C.63 D.65思考形的歸納有幾種?解題心得1.歸納推理的一般步驟:(1)通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì).(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般性命題(猜想).2.常見的歸納推理分為數(shù)、式的歸納和形的歸納兩類::,找出等式左右兩側(cè)的規(guī)律及符號可解.:①與不等式有關(guān)的推理:觀察每個不等式的特點,注意是縱向看,找到規(guī)律后可解;②與數(shù)列有關(guān)的推理:通常是先求出幾個特殊項,采用不完全歸納法,找出數(shù)列的項與項數(shù)的關(guān)系,列出即可;,.對點訓(xùn)練1(1)如下分組正整數(shù)對:第一組為{(1,2),(2,1)},第二組為{(1,3),(3,1)},第三組為{(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)},第四組{(1,5),(2,4),(4,2),(5,1)},依此規(guī)則第30組第20個數(shù)對( )A.(12,20) B.(20,10) C.(21,11) D.(20,12)71373對于大于1的自然數(shù)m分裂”:23{,33{9,4315…,仿此若m3的分裂中有一個是123,則m為( )A.9 B.10 C.11

5 11

17,19()n(n>1,n∈N*),a則

+ 9

9

9 = .n ??2??3

??3??4

??4??5

??2019??2020考考點類比推理【例4(1如果O是線段AB則·+·將它類比到平面O△ABC

·+S

·

·??0將它類比到空間的情形△OBC應(yīng)該是OABCD,則有

△OCA

△OBA(2)我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》的論割圓術(shù)中有:“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周盒體而無所失矣.”它體現(xiàn)了一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程.比如在表達(dá)式1+ 1 中“…”,,1+1=x1+ 1

?? 21+…類似上述過則√6+√6+√6+…( )A.1 B.2 C.3 D.4思考類比推理的關(guān)鍵是什么?解題心得類比推理的關(guān)鍵及類型..②用一類事物的(或猜想).(,,);;圓錐曲線間的類比等.2

=n(n+1),

??(??+1)(??+2)-(??-1)??(??+1)求出數(shù)列{a

}的前n項和n = 3 n??(??+1)(??+2)S= ,b=n(n+1)(n+2),}n項和n 3 n n考點演繹推理T考點演繹推理】已知i,(cos1+isin1)·(cos2+isin2)=cos3+isin3;(cos3+isin3)·(cos4+isin4)=cos7+isin7;(cos5+isin5)·(cos6+isin6)=cos11+isin11;(cos7+isin7)·(cos8+isin8)=cos15+isin15.f(α)=cosα+isinα,α∈R.f(α),f(β),f(α+β);(2)計算:(2)計算:√3+1i6.思考演繹推理中得出的結(jié)論一定正確嗎?,.,,可找一,,.3(1)(2020f(x)=2x+1,有下列四個命題:;;③函數(shù)f(x)=2x+1滿足增函數(shù)的定f(x)=2x+1其中正確的命題是()A.①② B.②④C.②③ D.①③已知函數(shù)y=x對任意bR,,都有aa+b>ab+ba試證明y=為R上的增函數(shù).考考點生活中的合情推理【例】(1)(2020,10),,A,B,C,D50個,需要將發(fā)送給A,B,C,D四個派送點的商品數(shù)調(diào)整為40,45,54,61,但調(diào)整只能在相鄰派送點進(jìn)行,1,則()162種可行方案151種可行方案161種可行方案152種可行方案(2)(2020湖南長郡中學(xué)四,文14)甲、乙、丙、丁四人進(jìn)行一項益智游方法如第一步先由四人看著平面直角坐標(biāo)系中方格內(nèi)的16個棋(如圖所),甲從中記下某個棋子坐標(biāo);第二甲分別告訴其他三告訴乙棋子的橫坐,告訴丙棋子的縱坐告訴丁棋子的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相第三,由乙、丙、丁依次回對話如:乙先說我無法確,丙接著說我也無法確最后丁說我知則甲記下的棋子的坐標(biāo)為 .思考如何解決生活中的合情推理問題?解題心得在進(jìn)行合情推理時,要依據(jù)一定的“規(guī)則”——已知條件、公式、法則、推理等.只有不斷地觀察、比較、分析、推理,才能得到正確的答案.對點訓(xùn)練4(1)(2020,5),乙的夜班比庚早三天,()A.甲 B.丙C.戊 D.庚(2)(2020理5)關(guān)于甲、乙、丙三人參加高考的結(jié)果有下列三個正確的判斷:,.()A.甲 B.丙C.甲與丙 D.甲與乙11.合情推理與演繹推理的區(qū)別(1)歸納推理是由特殊到一般的推理;(2)類比推理是由特殊到特殊的推理;(3)演繹推理是由一般到特殊的推理;(4)從推理的結(jié)論來看,合情推理的結(jié)論不一定正確,有待證明;而演繹推理若大前提、小前提和推理形式正確,得到的結(jié)論一定正確.在數(shù)學(xué)研究中在數(shù)學(xué)研究中在得到一個新結(jié)論前合情推理能幫助猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論在證明一個數(shù)學(xué)結(jié)論之前情推理常常能為證明提供思路與方向數(shù)學(xué)結(jié)論的證明主要通過演繹推理來進(jìn)行.“三段論式的演繹推理一定要保證大前提正確且小前提是大前提的子集關(guān)系這樣經(jīng)過正確推理才能得出正確結(jié)論.7.3 合情推理與演繹推理必備知識·預(yù)案自診知識梳理部分整體特殊一般特殊特殊2.(3)①條件③特殊問題①M是P ②S是MPAGEPAGE81.(1)× (2)× (3)× (4)× (5)×

考點自診C A;,它們得到的結(jié)論不一定正確,故B,D錯誤,C正確.故選C.D ,nn個數(shù)n≥3時每一行的第一個數(shù)與最后一個數(shù)都等于n,中間每個數(shù)等于其肩上兩個數(shù)的積,則a所表示的數(shù)是12×12=144.故選D.C ,,從而排除BD;,C.C {a}中4+6=3+7時,

a>aa,類比到等比數(shù)列中,由5+7=4+8n時,b4+b8>b5+b因為

46 37 n7b4+b8-(b5+b)=b4+b4q4-b4q-b4q3=b(1-q)+b4q3(q-1)=b(1-q)(1-q3)=b(1-q)2(1+q+q2)>0,所以7 4 4 4b4+b8>b5+b7成立.故選C.關(guān)鍵能力·學(xué)案突破例1C 設(shè)第n行第n個數(shù)字是a ,由題意第n行是首項為n+1,公差為n的等差數(shù),nn所以a =(n+1)+(n-1)×n=n2+1,故選C.nn例2C 1

=1, 1 + 1

=1=2, 1 + 1

1 =3,…,則1 +1+2

31+2 1+2+3

41+2 1+2+3 1+2+3+4

1+21 +…+ 1 =11.C.1+2+3 1+2+…+12 13例3C 由題設(shè)可得f(1)=1,求出f(2)=2×1+1=3,由于每次移動過程,每根針上較大的屬片不能放在較小的金屬片上,所以f(3)=2f(2)+1=7,f(4)=2f(3)+1=15,推導(dǎo)出f(n+1)=2f(n)+1,所以f(6)=63.故選C.對點訓(xùn)練1(1)C (2)C (3)20182019

(1)由題意可知第一組的各個數(shù)字和為3,第二組各個數(shù)4,5,6,…,nn+2,,3032,3020(21,11).C.(2)23m3,32+3+4+…+m=(2+??)(??-1)個,21233123-3+1=61個奇數(shù)m=10時(2+10)×(10-1)=54,2 2當(dāng)m=11時,用去了(2+11)×(11-1)=65個奇數(shù),故m=11.故選C.2(3)每個邊有n個點,把每個邊的點數(shù)相加得3n,這樣角上的點數(shù)被重復(fù)計算了一次,n3n-3,

=3n-3,S=

+ 9 +

+…+

= 1 +n n ??2??3

??3??4

??4??5 ??2019??2020

1×21+…+

=1-1+1?1+…+ 1 ?

=2018,故答案為2018.2×3 2018×2019 2 2 3

2019

2019

2019例4(1V ·+V ·+V ·+V ·O-BCD O-ACD O-ABD O-ABC

?0 (2)B (1線段長度類比到空間為體積,再結(jié)合類比到平面的結(jié)論,可得空間中的結(jié)論為V ·+V ·+V ·+V O-BCD O-ACD O-ABD O-ABC

?0.(2)由題知6+6+6+的值可以通過方程6+??=x求出,因為6+??=x,解得x2,所以√6+√6+6+2故選B.2??(??+1)(??+2)(??+3)4

類比題中的方法裂項可得,n(n+1)(n+2)=??(??+1)(??+2)(??+3)-(??-1)??(??+1)(??+2),4則數(shù)列{b

}n

=??(??+1)(??+2)(??+3).n n 4例5解(1)猜想f(α)f(β)=f(α+β),f(α)f(β)=(cosα+isinα)·(cosβ+isinβ)=(cosαcosβ-sinαsinβ)+(sinαcosβ+cosαsinβ)i=cos(α+β)+isin(α+β)=f(α+β).(2)因為f(α)f(β)=f(α+β),所以fn(α)=f(α)·f(α)·…·f(α)=f(nα)=cosnα+isinnα,所以√所以√3+1i6= cosπ+isinπ 6=cosπ+isinπ=-1.3(1)Df(x)=2x+1,,即大前提是,小前提是函數(shù)f(x)=2x+1函數(shù)f(x)=2x+1是增函數(shù).由此可知,給出的四個命題中,①③正確,②④不正確.1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 (2)證明設(shè)x,x∈R,且x<x,則由題意得xf(x)+xf(x)>xf(x)+xf(x1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 所以x[f(x)-f(x)]+x[f(x)-f(x)]>0,[f(x)-f(x)](x-x)>01 1 2 2 2 1 2 1 2 因為x1<x

)-f(x

) 0,>1