第四章圓與方程測評(時間:120

分鐘

滿分:150

分)一、選擇題

(本大題共

12小題,每題

5分,共

60分.在每題給出的四個選項中

,只有一項為哪一項切合題目要求的

)1.圓心為

(1,2)

且過原點的圓的方程是

(

)A.(x-1)2+(y-2)2=2B.(x+1)2+(y+2)2=2C.(x-1)2+(y-2)2=5D.(x+1)2+(y+2)2=5分析由題意可知,所求圓的半徑為r=.∴圓心為(1,2)且過原點的圓的方程是(x-1)2+(y-2)2=5.應選C.答案C2.圓x2+y2-2x+4y+4=0與直線2tx-y-2-2t=0(t∈R)的地點關系為()A.相離B.相切C.訂交D.以上都有可能分析圓的方程可化為(x-1)2+(y+2)2=1,直線過定點P(1,-2),由于定點P(1,-2)在圓內,所以直線和圓訂交.答案C3.圓x2+y2-4x=0在點P(1,)處的切線方程為( )A.x+y-2=0B.x+y-4=0C.x-y+4=0D.x-y+2=0分析∵點P(1,)在圓x2+y2-4x=0上,∴點P為切點.進而圓心與點P的連線應與切線垂直.又圓心為(2,0),設切線斜率為k,∴-·k=-1,解得k=.-∴切線方程為x-y+2=0.答案D4.一束光芒自點(1,1,1)發出,被xOy平面反射,抵達點(3,3,6)被汲取,則光芒自點P到點所PQQ走的距離是()A.B.12C.D.57分析點Q對于xOy平面的對稱點為Q'(3,3,-6),|PQ'|=----.答案C5.過點(5,6)作圓:(1)2(2)236的弦,此中最短的弦長為()PCx-+y-=A.2B.4C.4D.8分析過圓心內一點最短的弦垂直于過該點的直徑,|PC|=--=4,此時l=2-=2-=4.答案B6.已知圓C經過A(5,1),B(1,3)兩點,圓心C在x軸上,則圓C的方程為()A.(x-2)2+y2=50B.(x+2)2+y2=10C.(x+2)2+y2=50D.(x-2)2+y2=10分析易得線段

AB的垂直均分線為

2x-y-

4=0.由于圓心在此垂直均分線上

,令

y=0,得

x=2,∴圓心為(2,0),

半徑為

-

-

,∴圓C的方程為

(x-2)

2+y2=10.答案

D7.方程(x2+y2-4)·

=0的曲線形狀是

(

)22=0可得-22在直線分析由(x+y-4)或x+y+1=0,它表示直線x+y+1=0和圓x+y=4x+y+1=0右上方的部分.答案C8.若圓C:x2+y2-4x-4y-10=0上起碼有三個不一樣的點到直線l:x-y+c=0的距離為2,則c的取值范圍是( )A.[-2,2]B.(-2,2)C.[-2,2]D.(-2,2)分析圓2244100可化為(x-2)2(2)218,x+y-x-y-=+y-=∴圓心坐標為(2,2),半徑為3.要求圓上起碼有三個不一樣的點到直線l:x-y+c=0的距離為2,則圓心到直線的距離,∴-2≤c≤2應選C..答案C9.圓2244100上的點到直線x+y-140的最大距離與最小距離的差為( )x+y-x-y-==A.36B.18C.6D.5分析x2+y2-4x-4y-10=0?(x-2)2+(y-2)2=18,圓心(2,2),半徑為3.圓心到直線x+y-14=0的距離為-5,∴直線與圓相離.∴圓上的點到直線的最大距離與最小距離之差為圓的直徑,即6.=答案C122222外切,則m=()10.若圓C:x+y=1與圓C:x+y-6x-8y+m=0A.21B.19C.9D.-1122分析易知圓112+(y-4)=25-m(m<25),得圓C的圓心坐標為(0,0),半徑r=1.將圓C化為標準方程(x-3)22-(m<25).由兩圓相外切1212=1+-=5,解得m=9.故C的圓心坐標為(3,4),半徑r=,得|CC|=r+r選C.答案C11.已知A、B為圓x2+(y-1)2=4上對于點P(1,2)對稱的兩點,則直線AB的方程為()A.x+y-3=0B.x-y+3=0C.x+3y-7=0D.3x-y-1=0分析記圓心為C(0,1),由題意CP⊥AB,kCP=-=1,∴kAB=-1,又∵直線AB過點P(1,2),∴直線AB的方-程為y-2=-(x-1),即x+y-3=0,應選A.答案A12.過點(,0)引直線l與曲線y=-訂交于,兩點,O為坐標原點,當△的面積取最大值時,ABAOB直線l的斜率等于()A.B.-C.±D.-分析曲線y=-的圖象如下圖:若直線l與曲線訂交于A,B兩點,則直線l的斜率k<0,設l:y=k(x-),則點O到l的距離-d=.又S△AOB=|AB|·d=×2-·d=--,當且僅當d2=時,S△AOB獲得最大值.所以,k2=,∴k=-.應選B.答案B二、填空題(本大題共4小題,每題5分,共20分.把答案填在題中的橫線上)13.已知(1,-2,5),(1,0,1),(3,4,5),則△的邊上的中線長為.AB-C-ABCBC分析設的中點為,則(1,-2,3),BCDD故|AD|=---=2.答案214.已知過點P(2,2)的直線與圓(x-1)2+y2=5相切,且與直線x-ay+1=0平行,則a=

.分析由于點

P在圓(x-1)

2+y2=5上,所以過點

P(2,2)

的直線與圓

(x-1)

2+y2=5相切的切線方程為

(2-1)(

x-1)+2y=5,即

x+2y-6=0,又該直線與直線

x-ay+1=0平行,所以-a=2,

a=-2.答案

-215.過點

A(4,1)

的圓

C與直線

x-y-

1=0相切于點

B(2,1),

則圓

C的方程為

.222分析設圓C方程為(x-a)+(y-b)=r(r>0),d=

--

=r.

①∵圓C過A(4,1),B(2,1),∴(4-a)2+(1-b)2=r2,

②(2-a)2+(1-b)2=r2.

③由①②③,得a=3,

b=0,r=

,∴圓的方程為

(x-3)2+y2=2.答案

(x-3)2+y2=216.已知圓

C過點(1,0),

且圓心在

x軸的正半軸上

,直線

l:y=x-1被圓

C所截得的弦長為

2

,則過圓心,且與直線

l

垂直的直線的方程為

.分析設圓心

(a,0)(

a>0),∴

-

+(

)2=|a-

1|2.a=3.∴圓心(3,0).∴所求直線方程為x+y-30=.答案x+y-30=三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(本小題滿分10分)已知點(0,2)是圓2216內的定點,,是這個圓上的兩個動點,若⊥Ax+y=BCBA,求中點的軌跡方程,并說明它的軌跡是什么曲線.CABCM解設點M(x,y).∵M是弦BC的中點,∴OM⊥BC.又∠BAC=90°,∴|MA|=|BC|=|MB|.|MB|2=|OB|2-|OM|2,|OB|2=|MO|2+|MA|2,即42=(x2+y2)+[(x-0)2+(y-2)2],化簡為x2+y2-2y-6=0,即x2+(y-1)2=7.∴所求軌跡為以(0,1)為圓心,以為半徑的圓.18.(本小題滿分12分)已知直線l1:10,直線l2:43140,直線l3:34100,求圓心在直x-y-=x+y+=x+y+=線l1上,與直線l2相切,截直線l3所得的弦長為6的圓的方程.解設圓心為(,1),半徑為r,Caa-則點C到直線l2的距離-d1=.點C到直線l3的距離-d2=.由題意,得解得a=2,r=5,即所求圓的方程是(x-2)2+(y-1)2=25.19.(本小題滿分12分)已知圓C:(x-3)2+(y-4)2=4,直線l過定點A(1,0).若l與圓C相切,求l的方程;若l與圓C訂交于P、Q兩點,求△CPQ的面積的最大值,并求此時直線l的方程.(此中點C是圓C的圓心)解(1)直線l斜率不存在時,直線l的方程為x=1,此時直線l和圓C相切,直線l斜率存在時,設方程為y=k(x-1),即kx-y-k=0,利用圓心到直線的距離等于半徑得:d=--=2,解得k=,直線方程為y=x-,故所求直線方程為x=1或3x-4y-3=0.(2)△CPQ面積最大時,∠PCQ=90°,S=×2×2=2,即△CPQ是等腰直角三角形,由半徑r=2得:圓心到直線的距離為,設直線l的方程為:y=k(x-1),即kx-y-k=0,d=-,解得k=7或1,所以所求的直線方程為77或y=x-1.y=x-20.(本小題滿分12分)在平面直角坐標系中,已知圓心C在直線20上的圓C經過點(4,0),但x-y=A不經過坐標原點,而且直線430與圓C訂交所得的弦長為4.x-y=求圓C的一般方程;若從點M(-4,1)發出的光芒經過x軸反射,反射光芒恰巧經過圓C的圓心,求反射光芒所在的直線方程(用一般式表達).解(1)設圓C的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,由于圓心C在直線x-20上,所以有a-20,①y=b=又由于圓C經過點(4,0),所以有(4-a)222,A+b=r而圓心到直線4x-3y=0的距離為d=由弦長為4,所以弦心距d=-,所以

--②,--③-,聯立①②③,解得或又由于(x-2)2+(y-1)2=5經過坐標原點,所以舍去.所以所求圓的方程為:(x-6)2+(y-3)2=13,化為一般方程為:x2+y2-12x-6y+32=0.點M(-4,1)對于x軸的對稱點N的坐標為(-4,-1),反射光芒所在的直線即為NC,又由于點C的坐標為(6,3),所以反射光芒所在的直線方程為:,所以反射光芒所在的直線方程的一般式為2x-5y+3=0.21.(本小題滿分12分)已知圓C:x2+y2-4x-14y+45=0及點Q(-2,3),若點P(m,m+1)在圓C上,求直線PQ的斜率;若點M是圓C上隨意一點,求|MQ|的最大值、最小值;若N(a,b)知足關系:a2+b2-4a-14b+45=0,求出t=-的最大值.解圓C:x2+y2-4x-14y+45=0可化為(x-2)2+(y-7)2=8.由于點P(m,m+1)在圓C上,22+45=0,解得m=4,所以m+(m+1)-4m-14(m+1)故點P(4,5).PQ-所以直線PQ的斜率是k=.如圖,點M是圓C上隨意一點,Q(-2,3)在圓外,所以的最大值、最小值分別是|QC|+r,|QC|-r.|MQ|易求|QC|=4,r=2,所以|MQ|=6,|MQ|=2.maxmin(3)易知點N在圓C:x2+y2-4x-14y+45=0上,t=-Q(-2,3)與圓上的動點N連線l表示的是定點的斜率.設l的方程為y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0.當直線l和圓C相切時,d=r,即-=2,解得k=2±.-所以t=的最大值為2+.22.(本小題滿分12分)已知點P(2,1)是圓O:x2+y2=8內一點,直線l:y=kx-4.若圓O的弦AB恰巧被點P(2,1)均分,求弦AB所在直線的方程;若過點P(2,1)作圓O的兩條相互垂直的弦EF,GH,求四邊形EGFH的面積的最大值;若k=,Q是l上的動點,過Q作圓O的兩條切線,切點分別為C,D.證明:直線CD過定點.解(1)由題意知AB⊥OP,∴kAB·kOP=-1,kOP=,∴kAB=-2,所以弦AB所在直線方程為y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.設點O到直線EF、GH的距離分別為d1,d2,則=|O