1/5《從力做的功到向量的數量積》教學設計教材分析教材分析通過前面的學習，我們知道兩個向量可以進行加減法運算，兩個向量之間能進行乘法運算嗎？找找物理學中有沒有兩個向量之間的有關乘法運算？創設問題情境，激發學生的學習欲望和要求。接下來通過對力做功的分析引出兩個向量的夾角，過渡比較自然。之后直接給出向理數量積的定義，通過提問，比較向量和與差的運算，理解向量的數量積是數量而不是向量，其和由向量的夾角確定。鼓勵學生大膽猜想，表達自己的觀點和見解，培養學生的探索精神和嚴謹的科學態度以及實際動手能力。教學目標教學目標【知識與能力目標】1.通過實例，正確理解平面向量的數量積的概念，能夠運用這一概念求兩個向量的數量積，并能根據條件逆用等式求向量的夾角。2.掌握平面向量的數量積的重要性質，并能運用這些性質解決有關問題。【過程與方法目標】經歷平面向量的數量積形成的過程，通過概念、幾何意義、性質的應用，培養學生的應用意識。【情感態度價值觀目標】通過平面向量的數量積的重要性質猜想與證明，培養學生的探索精神和嚴謹的科學態度以及實際動手能力。教學重難點教學重難點【教學重點】平面向量數量積的含義及其物理意義。【教學難點】運用數量積的運算性質和運算律解決涉及長度、夾角、平行、垂直的幾何問題。課前準備課前準備電子課件調整、相應的教具帶好、熟悉學生名單、電子白板要調試好。教學過程教學過程一、探究新知。教材整理：向量的夾角及數量積閱讀教材P93～P96內容，完成下列問題．1．向量的夾角定義已知兩個非零向量a和b，作eq\o(OA,\S\UP6(→))＝a，eq\o(OB,\S\UP6(→))＝b，則∠AOB＝θ叫作向量a與b的夾角范圍0°≤θ≤180°特例θ＝0°a與b同向θ＝180°a與b反向θ＝90°a與b垂直，記作a⊥b，規定0可與任一向量垂直2.向量的數量積(1)射影|b|cosθ叫作向量b在a方向上的投影數量(簡稱為投影)。(2)數量積已知兩個非零向量a與b，我們把|a||b|cosθ叫作a與b的數量積(或內積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a與b的夾角。(3)規定零向量與任一向量的數量積為0(4)幾何意義a與b的數量積等于a的長度|a|與b在a方向上射影|b|cosθ的乘積，或b的長度|b|與a在b方向上射影|a|cosθ的乘積。(5)性質①若e是單位向量，則e·a＝a·e＝|a|cosθ。②若a⊥b，則a·b＝0；反之，若a·b＝0，則a⊥b，通常記作a⊥b?a·b＝0。③|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a2)。④cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)(|a||b|≠0)。⑤對任意兩個向量a，b，有|a·b|≤|a||b|，當且僅當a∥b時等號成立。(6)運算律已知向量a，b，c與實數λ，則：①交換律：a·b＝b·a②結合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c鞏固練習判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)兩向量的數量積仍是一個向量。()(2)若a·b＝0，則a＝0或b＝0。()(3)設a與b的夾角為θ，則cosθ>0?a·b>0。()(4)對于任意向量a，b，總有(a·b)2＝a2·b2。()【解析】(1)×.兩向量的數量積是一個數量．(2)×.∵a·b＝|a||b|cosθ＝0，∴a＝0或b＝0或cosθ＝0.(3)√.(4)×.由數量積定義知，錯；【答案】(1)×(2)×(3)√(4)×二、例題解析。已知|a|＝4，|b|＝5，且a與b的夾角為60°。求：(1)a·b；(2)(a＋b)2；(3)(a－b)2；(4)a2－b2。【精彩點撥】利用兩個向量的數量積公式a·b＝|a||b|cosθ，|a|2＝a2及運算律計算。【自主解答】由題知θ＝60°，|a|＝4，|b|＝5。(1)a·b＝|a||b|cosθ＝4×5×cos60°＝10。(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝42＋2×10＋52＝61。(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝42－20＋52＝21。(4)a2－b2＝|a|2－|b|2＝42－52＝－9。鞏固練習1．已知|a|＝10，|b|＝4，a與b的夾角θ＝120°，求：(1)a·b。(2)a在b方向上的射影。(3)(a－2b)·(a＋b)。(4)(a－b)2。。【解】(1)a·b＝|a||b|cos120°＝10×4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－20。(2)a在b方向上的射影為|a|cos120°＝10×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－5。(3)(a－2b)·(a＋b)＝a2＋a·b－2a·b－2b2＝a2－a·b－2b2＝|a|2－|a||b|cos120°－2|b|2＝100－10×4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))－2×42＝88。(4)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝|a|2－2|a||b|cos120°＋|b|2＝100－2×10×4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋42＝100＋40＋16＝156。已知向量a與b的夾角為120°，且|a|＝4，|b|＝2.求：(1)|a＋b|(2)|3a－4b|【精彩點撥】利用公式|a|2＝a2進行計算。【自主解答】a·b＝|a||b|cosθ＝4×2×cos120°＝－4(1)因為|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2·a·b＋|b|2＝42＋2×(－4)＋22＝12，所以|a＋b|＝2eq\r(3)(2)因為|3a－4b|2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b2＝9×16－24×(－4)＋16×4＝304，所以|3a－4b|＝4eq\r(19)。1．求模問題一般轉化為求模的平方，與向量的數量積聯系，并靈活運用a2＝|a|2，最后勿忘開方。2．一些常見等式應熟記：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等。鞏固練習2．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)(2a＋b)＝61，求|a＋b|。【解】因為(2a－3b)·(2a＋b)＝61，所以4a2＋2a·b－6a·b－3b2＝61，所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61。又因為|a|＝4，|b|＝3，所以4×42－4a·b－3×32＝61，所以a·b＝－6。|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a＋b|＝eq\r(13)。探究1若a⊥b，則a·b等于多少？反之成立嗎？【提示】a·b＝0?a⊥b。探究2|a·b|與|a|·|b|的大小關系如何？為什么？【提示】|a·b|≤|a|·|b|.因為|a·b|＝|a|·|b|·|cosθ|.由|cosθ|≤1，可得|a·b|≤|a|·|b|。探究3對于向量a·b，如何求它們的夾角θ？【提示】求夾角θ時先求兩個向量a，b夾角的余弦值．然后根據向量夾角的取值范圍求角。已知單位向量e1，e2的夾角為60°，求向量a＝2e1＋e2與b＝2e2－3e1的夾角θ。【精彩點撥】先求|a|，|b|及a·b，再由公式cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)求解。【自主解答】∵e1·e2＝|e1||e2|cos60°＝cos60°＝eq\f(1,2)，∴a·b＝(2e1＋e2)·(2e2－3e1)＝－6eeq\o\al(2,1)＋e1·e2＋2eeq\o\al(2,2)＝－eq\f(7,2)。又∵a2＝(2e1＋e2)2＝4eeq\o\al(2,1)＋4e1·e2＋eeq\o\al(2,2)＝7，b2＝(2e2－3e1)2＝4eeq\o\al(2,2)－12e1·e2＋9eeq\o\al(2,1)＝7，∴|a|＝|b|＝eq\r(7)，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－\f(7,2),\r(7)×\r(7))＝－eq\f(1,2)。∵0≤θ≤π，∴θ＝eq\f(2,3)π。1．求向量a，b的夾角θ有兩步：第一步，利用公式cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)求cosθ；第二步，根據θ∈[0，π]確定θ.而求cosθ有兩種情形，一種是求出a·b，|a|，|b|的值；另一種是得到a·b，|a|，|b|之間的關系分別代入公式計算。2．兩向量垂直?a·b＝0，即把垂直關系轉化為數量積的運算問題解決。鞏固練習3．已知|a|＝1，a·b＝eq\f(1,2)，(a－b)(a＋b)＝eq\f(1,2)，(1)求a與b的夾角；(2)求a－b與a＋b的夾角的余弦值。【解】(1)因為(a－b)·(a＋b)＝eq\f(1,2)，所以|a|2－|b|2＝eq\f(1,2).又因為|a|＝1，所以|b|＝eq\r(|a|2－\f(1,2))＝eq\f(\r(2),2)，設a與b的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(\f(1,2),1×\f(\r(2),2))＝eq\f(\r(2),2)。又因為θ∈[0，π]，所以θ＝eq\f(π,4)。(2)因為(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，所以|a－b|＝eq\f(\r(2),2)，又因為(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝eq\f(5,2)，所以|a＋b|＝eq\f(\r(10),2)。設a＋b與a－b的夾角為α，則cosα＝eq\f(a－ba＋b,|a－b|·|a＋b|)＝eq\f(\f(1,2),\f(\r(2),2)×\f(\r(10),2))＝eq\f(\r(5),5)。三、小結。1．求平面向量數量積的步驟是：①求a與b的夾角θ，θ∈[0，π]；②分別求出|a|和|b|；③利用數量積的定義：a·b＝|a||b|cosθ求解．要特別注意書寫時a與b之間用實心圓點“·”連接，而不能用“×”連接，更不能省略不寫。2．若所求形式比較復雜，則應先運用數量積運算律展開、化簡，再確定向量的模和夾角，最后根據定義求出數量積。四、作業。1．對于向量a，b，c和實數λ，下列命題中正確的是()。A．若a·b＝0，則a＝0或b＝0。B．若λa＝0，則a＝0或λ＝0。C．若a2＝b2，則a＝b或a＝－b。D．若a·b＝a·c，則b＝c。【解析】由向量數量積的運算性質，知A，C，D錯誤。【答案】B2．設向量a·b＝40，|b|＝10，則a在b方向上的射影為()。A．4 B．4eq\r(3)C．4eq\r(2) D．8＋eq\r(\f(3,2))【解析】a在b方向上的射影為|a|cos〈a，b〉。由a·b＝|a|·|b|cosθ＝40且|b|＝10，得|a|cosθ＝4。【答案】A3．已知|a|＝eq\r(3)，|b|＝2eq\r(3)，a·b＝－3，則a與b的夾角是。【解析】設a與b的夾角為θ，cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(－3,\r(3)×2\r(3))＝－eq\f(1,2)。又因為0°＜θ＜180°，所以θ＝120°。【答案】120°4．單位向量i，j相互垂直，向量a＝3i－4j，則|a|＝。【解析】因為|a|2＝a2＝(3i－4j)2＝9i2－24i·j＋16j2＝9＋16＝25，所以|a|＝5。【答案】55．已知|a|＝1，|b|＝eq\r(2)，設a與b的夾角為θ。(1)若θ＝eq\f(π,3)，求|a－b|；(2)若a與a＋b