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文檔簡介

1/5《從力做的功到向量的數量積》教學設計教材分析教材分析通過前面的學習,我們知道兩個向量可以進行加減法運算,兩個向量之間能進行乘法運算嗎?找找物理學中有沒有兩個向量之間的有關乘法運算?創設問題情境,激發學生的學習欲望和要求。接下來通過對力做功的分析引出兩個向量的夾角,過渡比較自然。之后直接給出向理數量積的定義,通過提問,比較向量和與差的運算,理解向量的數量積是數量而不是向量,其和由向量的夾角確定。鼓勵學生大膽猜想,表達自己的觀點和見解,培養學生的探索精神和嚴謹的科學態度以及實際動手能力。教學目標教學目標【知識與能力目標】1.通過實例,正確理解平面向量的數量積的概念,能夠運用這一概念求兩個向量的數量積,并能根據條件逆用等式求向量的夾角。2.掌握平面向量的數量積的重要性質,并能運用這些性質解決有關問題。【過程與方法目標】經歷平面向量的數量積形成的過程,通過概念、幾何意義、性質的應用,培養學生的應用意識?!厩楦袘B度價值觀目標】通過平面向量的數量積的重要性質猜想與證明,培養學生的探索精神和嚴謹的科學態度以及實際動手能力。教學重難點教學重難點【教學重點】平面向量數量積的含義及其物理意義?!窘虒W難點】運用數量積的運算性質和運算律解決涉及長度、夾角、平行、垂直的幾何問題。課前準備課前準備電子課件調整、相應的教具帶好、熟悉學生名單、電子白板要調試好。教學過程教學過程一、探究新知。教材整理:向量的夾角及數量積閱讀教材P93~P96內容,完成下列問題.1.向量的夾角定義已知兩個非零向量a和b,作eq\o(OA,\S\UP6(→))=a,eq\o(OB,\S\UP6(→))=b,則∠AOB=θ叫作向量a與b的夾角范圍0°≤θ≤180°特例θ=0°a與b同向θ=180°a與b反向θ=90°a與b垂直,記作a⊥b,規定0可與任一向量垂直2.向量的數量積(1)射影|b|cosθ叫作向量b在a方向上的投影數量(簡稱為投影)。(2)數量積已知兩個非零向量a與b,我們把|a||b|cosθ叫作a與b的數量積(或內積),記作a·b,即a·b=|a||b|cosθ,其中θ是a與b的夾角。(3)規定零向量與任一向量的數量積為0(4)幾何意義a與b的數量積等于a的長度|a|與b在a方向上射影|b|cosθ的乘積,或b的長度|b|與a在b方向上射影|a|cosθ的乘積。(5)性質①若e是單位向量,則e·a=a·e=|a|cosθ。②若a⊥b,則a·b=0;反之,若a·b=0,則a⊥b,通常記作a⊥b?a·b=0。③|a|=eq\r(a·a)=eq\r(a2)。④cosθ=eq\f(a·b,|a||b|)(|a||b|≠0)。⑤對任意兩個向量a,b,有|a·b|≤|a||b|,當且僅當a∥b時等號成立。(6)運算律已知向量a,b,c與實數λ,則:①交換律:a·b=b·a②結合律:(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)③分配律:a·(b+c)=a·b+a·c鞏固練習判斷(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)兩向量的數量積仍是一個向量。()(2)若a·b=0,則a=0或b=0。()(3)設a與b的夾角為θ,則cosθ>0?a·b>0。()(4)對于任意向量a,b,總有(a·b)2=a2·b2。()【解析】(1)×.兩向量的數量積是一個數量.(2)×.∵a·b=|a||b|cosθ=0,∴a=0或b=0或cosθ=0.(3)√.(4)×.由數量積定義知,錯;【答案】(1)×(2)×(3)√(4)×二、例題解析。已知|a|=4,|b|=5,且a與b的夾角為60°。求:(1)a·b;(2)(a+b)2;(3)(a-b)2;(4)a2-b2。【精彩點撥】利用兩個向量的數量積公式a·b=|a||b|cosθ,|a|2=a2及運算律計算?!咀灾鹘獯稹坑深}知θ=60°,|a|=4,|b|=5。(1)a·b=|a||b|cosθ=4×5×cos60°=10。(2)(a+b)2=a2+2a·b+b2=42+2×10+52=61。(3)(a-b)2=a2-2a·b+b2=42-20+52=21。(4)a2-b2=|a|2-|b|2=42-52=-9。鞏固練習1.已知|a|=10,|b|=4,a與b的夾角θ=120°,求:(1)a·b。(2)a在b方向上的射影。(3)(a-2b)·(a+b)。(4)(a-b)2。?!窘狻?1)a·b=|a||b|cos120°=10×4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2)))=-20。(2)a在b方向上的射影為|a|cos120°=10×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2)))=-5。(3)(a-2b)·(a+b)=a2+a·b-2a·b-2b2=a2-a·b-2b2=|a|2-|a||b|cos120°-2|b|2=100-10×4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2)))-2×42=88。(4)(a-b)2=a2-2a·b+b2=|a|2-2|a||b|cos120°+|b|2=100-2×10×4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2)))+42=100+40+16=156。已知向量a與b的夾角為120°,且|a|=4,|b|=2.求:(1)|a+b|(2)|3a-4b|【精彩點撥】利用公式|a|2=a2進行計算?!咀灾鹘獯稹縜·b=|a||b|cosθ=4×2×cos120°=-4(1)因為|a+b|2=a2+2a·b+b2=|a|2+2·a·b+|b|2=42+2×(-4)+22=12,所以|a+b|=2eq\r(3)(2)因為|3a-4b|2=(3a-4b)2=9a2-24a·b+16b2=9×16-24×(-4)+16×4=304,所以|3a-4b|=4eq\r(19)。1.求模問題一般轉化為求模的平方,與向量的數量積聯系,并靈活運用a2=|a|2,最后勿忘開方。2.一些常見等式應熟記:(a±b)2=a2±2a·b+b2;(a+b)·(a-b)=a2-b2等。鞏固練習2.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)(2a+b)=61,求|a+b|。【解】因為(2a-3b)·(2a+b)=61,所以4a2+2a·b-6a·b-3b2=61,所以4|a|2-4a·b-3|b|2=61。又因為|a|=4,|b|=3,所以4×42-4a·b-3×32=61,所以a·b=-6。|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=42+2×(-6)+32=13,所以|a+b|=eq\r(13)。探究1若a⊥b,則a·b等于多少?反之成立嗎?【提示】a·b=0?a⊥b。探究2|a·b|與|a|·|b|的大小關系如何?為什么?【提示】|a·b|≤|a|·|b|.因為|a·b|=|a|·|b|·|cosθ|.由|cosθ|≤1,可得|a·b|≤|a|·|b|。探究3對于向量a·b,如何求它們的夾角θ?【提示】求夾角θ時先求兩個向量a,b夾角的余弦值.然后根據向量夾角的取值范圍求角。已知單位向量e1,e2的夾角為60°,求向量a=2e1+e2與b=2e2-3e1的夾角θ。【精彩點撥】先求|a|,|b|及a·b,再由公式cosθ=eq\f(a·b,|a||b|)求解?!咀灾鹘獯稹俊遝1·e2=|e1||e2|cos60°=cos60°=eq\f(1,2),∴a·b=(2e1+e2)·(2e2-3e1)=-6eeq\o\al(2,1)+e1·e2+2eeq\o\al(2,2)=-eq\f(7,2)。又∵a2=(2e1+e2)2=4eeq\o\al(2,1)+4e1·e2+eeq\o\al(2,2)=7,b2=(2e2-3e1)2=4eeq\o\al(2,2)-12e1·e2+9eeq\o\al(2,1)=7,∴|a|=|b|=eq\r(7),則cosθ=eq\f(a·b,|a||b|)=eq\f(-\f(7,2),\r(7)×\r(7))=-eq\f(1,2)。∵0≤θ≤π,∴θ=eq\f(2,3)π。1.求向量a,b的夾角θ有兩步:第一步,利用公式cosθ=eq\f(a·b,|a||b|)求cosθ;第二步,根據θ∈[0,π]確定θ.而求cosθ有兩種情形,一種是求出a·b,|a|,|b|的值;另一種是得到a·b,|a|,|b|之間的關系分別代入公式計算。2.兩向量垂直?a·b=0,即把垂直關系轉化為數量積的運算問題解決。鞏固練習3.已知|a|=1,a·b=eq\f(1,2),(a-b)(a+b)=eq\f(1,2),(1)求a與b的夾角;(2)求a-b與a+b的夾角的余弦值?!窘狻?1)因為(a-b)·(a+b)=eq\f(1,2),所以|a|2-|b|2=eq\f(1,2).又因為|a|=1,所以|b|=eq\r(|a|2-\f(1,2))=eq\f(\r(2),2),設a與b的夾角為θ,則cosθ=eq\f(a·b,|a|·|b|)=eq\f(\f(1,2),1×\f(\r(2),2))=eq\f(\r(2),2)。又因為θ∈[0,π],所以θ=eq\f(π,4)。(2)因為(a-b)2=a2-2a·b+b2=1-2×eq\f(1,2)+eq\f(1,2)=eq\f(1,2),所以|a-b|=eq\f(\r(2),2),又因為(a+b)2=a2+2a·b+b2=1+2×eq\f(1,2)+eq\f(1,2)=eq\f(5,2),所以|a+b|=eq\f(\r(10),2)。設a+b與a-b的夾角為α,則cosα=eq\f(a-ba+b,|a-b|·|a+b|)=eq\f(\f(1,2),\f(\r(2),2)×\f(\r(10),2))=eq\f(\r(5),5)。三、小結。1.求平面向量數量積的步驟是:①求a與b的夾角θ,θ∈[0,π];②分別求出|a|和|b|;③利用數量積的定義:a·b=|a||b|cosθ求解.要特別注意書寫時a與b之間用實心圓點“·”連接,而不能用“×”連接,更不能省略不寫。2.若所求形式比較復雜,則應先運用數量積運算律展開、化簡,再確定向量的模和夾角,最后根據定義求出數量積。四、作業。1.對于向量a,b,c和實數λ,下列命題中正確的是()。A.若a·b=0,則a=0或b=0。B.若λa=0,則a=0或λ=0。C.若a2=b2,則a=b或a=-b。D.若a·b=a·c,則b=c。【解析】由向量數量積的運算性質,知A,C,D錯誤。【答案】B2.設向量a·b=40,|b|=10,則a在b方向上的射影為()。A.4 B.4eq\r(3)C.4eq\r(2) D.8+eq\r(\f(3,2))【解析】a在b方向上的射影為|a|cos〈a,b〉。由a·b=|a|·|b|cosθ=40且|b|=10,得|a|cosθ=4?!敬鸢浮緼3.已知|a|=eq\r(3),|b|=2eq\r(3),a·b=-3,則a與b的夾角是?!窘馕觥吭Oa與b的夾角為θ,cosθ=eq\f(a·b,|a|·|b|)=eq\f(-3,\r(3)×2\r(3))=-eq\f(1,2)。又因為0°<θ<180°,所以θ=120°?!敬鸢浮?20°4.單位向量i,j相互垂直,向量a=3i-4j,則|a|=?!窘馕觥恳驗閨a|2=a2=(3i-4j)2=9i2-24i·j+16j2=9+16=25,所以|a|=5?!敬鸢浮?5.已知|a|=1,|b|=eq\r(2),設a與b的夾角為θ。(1)若θ=eq\f(π,3),求|a-b|;(2)若a與a+b

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