10.5

幾何概型高三第一輪復習第十章概率與統計高三第一輪復習第十章概率與統計|

10.5幾何概型【引例】（2017·全國卷I）如圖，正方形ABCD內的圖形來自中國古代的太極圖，正方形內切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱。在正方形內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是（）

√B真題體驗熱點突破【解析】

設正方形的邊長為2，則圓半徑為1，則正方形的面積為2ⅹ2=4，圓的面積為πⅹ12=π，圓中黑色部分的概率為2∕π，則此點取自黑色部分的概率為π∕

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，故選B.高三第一輪復習第十章概率與統計|

10.5幾何概型【考點梳理】1、幾何概型如果每個事件發生的概率只與構成該事件區域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型。

考點梳理夯實基礎

2、幾何概型公式在幾何區域D中隨機地取一點，記事件“該點落在其內部的一個區域d內”為事件A，則事件A發生的概率高三第一輪復習第十章概率與統計|

10.5幾何概型【考點分析】1、考查考生思維的靈活性和綜合應用知識解決問題的能力；2、歷年高考（全國卷I）概率題小題分析

2014第5題古典概型2015第4題獨立事件2016第4題長度型幾何概型2017第2題面積型幾何概型2018第10題數學文化及面積型幾何概型

考點分析準確備考高三第一輪復習第十章概率與統計|

10.5幾何概型【類型一長度型】分類解析觸類旁通

【例1】(2016·山東)在[-1,1]上隨機地取一個數k，則事件“直線y=kx

與圓(x-5)2+y2=9相交”發生的概率為

。

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10.5幾何概型【類型一長度型】分類解析觸類旁通

【例1】(2016·山東)在[-1,1]上隨機地取一個數k，則事件“直線y=kx

與圓(x-5)2+y2=9相交”發生的概率為

。

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10.5幾何概型【類型一長度型】分類解析觸類旁通

【變式1】(1)(2016·全國卷II)某路口人行道的信號燈為紅色和綠燈交替出現，紅燈持續為40秒，若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現綠燈的概率為（）A.B.C.D.(2)在等腰Rt?ABC中，,在直角邊BC上任取一點M，求

的概率。(3)在等腰Rt?ABC中，,在

內過點A作射線交線段BC于點M，求

的概率。

因為紅燈要持續時間為40秒，所以這名行人至少需要等待15秒才出現綠燈的概率為25秒15秒等待時間大于15s等待時間少于15s【解析】(1)B√高三第一輪復習第十章概率與統計|

10.5幾何概型【類型一長度型】分類解析觸類旁通

【變式1】(1)(2016·全國卷II)某路口人行道的信號燈為紅色和綠燈交替出現，紅燈持續為40秒，若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現綠燈的概率為（）A.B.C.D.(2)在等腰Rt?ABC中，,在直角邊BC上任取一點M，求

的概率。(3)在等腰Rt?ABC中，,在

內過點A作射線交線段BC于點M，求

的概率。

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10.5幾何概型【類型一長度型】分類解析觸類旁通

【變式1】(1)(2016·全國卷II)某路口人行道的信號燈為紅色和綠燈交替出現，紅燈持續為40秒，若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現綠燈的概率為（）A.B.C.D.(2)在等腰Rt?ABC中，,在直角邊BC上任取一點M，求

的概率。(3)在等腰Rt?ABC中，,在

內過點A作射線交線段BC于點M，求

的概率。

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10.5幾何概型【類型二面積型】分類解析觸類旁通

【例2】(2015·湖北)在區間[0,1]上隨機取兩個數x，y,記p1為事件“x+y≥0.5”為概率，記p2為事件“|x?y|≤0.5”為概率，記p3為事件“xy≤0.5”為概率，則（）A.p1<p2<p3B.p2<p3<p1C.p3<p1<p2D.p3<p2<p1

B分析：由上圖可知，S2<S3<S1

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10.5幾何概型【類型二面積型】分類解析觸類旁通

【變式2】(1)(2016·江蘇新余模擬)設不等式組,所表示的區域為M，函數的圖像與x軸所圍成的區域為N，向M內隨機投一個點，則該點落在N內的概率為（）A.B.C.D.

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10.5幾何概型【類型二面積型】分類解析觸類旁通

【變式2】(2)(2015

·福建)如圖，點A的坐標為(1,0)，點C的坐標為(2,4)，函數f(x)=x2。若在矩形ABCD內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等于

。

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10.5幾何概型【類型二面積型】分類解析觸類旁通

【變式2】(3)(2016·全國卷II)從區間[0,1]隨機抽取2n個數x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn,構成n個數對(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中兩數的平方和小于1的數對共有m個，則用隨機模擬的方法得到的圓周率π的近似值為（）A.B.C.D.

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10.5幾何概型【類型二面積型】分類解析觸類旁通

【變式2】(4)甲、乙兩人約定在6時到7時之間在某處會面，并約定先到者應等候另一人一刻鐘，過時即可離去。則兩人能會面的概率為

。

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10.5幾何概型【類型三體積型】分類解析觸類旁通

【例3】已知正三棱錐S-ABC的底面邊長為4，高為3，在正三棱錐內任取一點P，使得VP-ABC<VS-ABC的概率是（）A.

B.C.

D.

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10.5幾何概型【類型三體積型】分類解析觸類旁通

【例3】在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD-A1B1C1D1內隨機取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率為（）A.