尋找最速降線第一頁，共十八頁，編輯于2023年，星期二

數(shù)學給我們一個用之不竭,充滿真理的寶庫,這些真理不是孤立的,而是以相互密切的關系并立著,而且隨著科學的每一成功進展,我們會不斷發(fā)現(xiàn)直線真理之間的新的接觸點.──C.F.Guass

數(shù)學既不嚴峻,也不遙遠,它和幾乎所有的人類活動有關,又對每個真心對它感興趣的人有益.──

R.C.Buck第二頁，共十八頁，編輯于2023年，星期二

1696年JohnBernoulli向他的兄弟和其他數(shù)學家挑戰(zhàn)性地提出了最速降線（捷線）問題:一質(zhì)量為m的質(zhì)點，在重力作用下從定點A沿曲線下滑到定點B，AB試確定一條曲線，使得質(zhì)點由A到B下滑時間最短.假定B比A低，不計摩擦力和其他阻力等因素.問題導致數(shù)學新分支的產(chǎn)生.問題第三頁，共十八頁，編輯于2023年，星期二近似方法如圖建立坐標系,設A為原點,B為(c,H),將帶狀區(qū)域0<y<H用平行于x軸的直線y=yk=kH/nABxycyk-1xk-1ykxk把這區(qū)域分成n個帶狀小區(qū)域在帶狀域yk-1<y<yk,可近似認為而曲線段近似認為是直線段,其長度于是質(zhì)點從A到B所需時間近似為(n-1元函數(shù)!)第四頁，共十八頁，編輯于2023年，星期二求這個函數(shù)的極小值,就得到問題的近似解(為簡單計,取g=1000cm/s2)In[1]:=Out[1]:=第五頁，共十八頁，編輯于2023年，星期二In[3]:=In[4]:=Graphics第六頁，共十八頁，編輯于2023年，星期二一個輔助結(jié)論設質(zhì)點從A1經(jīng)直線l

到達A2，質(zhì)點速度在l的顯然在l一側(cè)質(zhì)點應走直線，因此關鍵是質(zhì)點OC=x那么質(zhì)點由A1到A2需時間A1A2a1a2ClOD如圖，若A1,A2到l的垂足分上側(cè)為v1，下側(cè)為v2，則質(zhì)點如何運動才最省時？別為O,D,A1,A2到l的距離分別為a,b,

OD=c,質(zhì)點經(jīng)過l于C何時越過l

？第七頁，共十八頁，編輯于2023年，星期二A1A2a1a2ClOD惟一駐點滿足也即這就是光學中的Snell折射定律第八頁，共十八頁，編輯于2023年，星期二建立數(shù)學模型分析；如圖建坐標系，AB分割成小段,考慮在第kABxycak+1ak層與k+1層質(zhì)點在曲線上的下滑，依能量守恒律，可近似認為質(zhì)點在每層內(nèi)的速度不變，于是依輔助結(jié)論知由于上式對任何k成立，故導出若用與x軸平行的直線將第九頁，共十八頁，編輯于2023年，星期二ABxyca令平行線的間距趨于零，我們就得到在曲線上任何一點其中a為該點切線與鉛垂線的夾角由于其中y=y(x)為曲線函數(shù)，又因于是得到最速降線的方程：第十頁，共十八頁，編輯于2023年，星期二另一種方法－變分法ABxyc設曲線為滿足y(0)=0,y(c)=H在曲線上P(x,y）處質(zhì)點速度為又設從A到P的弧長為s,則從而質(zhì)點沿曲線由A到B需時間第十一頁，共十八頁，編輯于2023年，星期二設集合那么我們的問題成為求某個使得引進集合顯然若是最速曲線函數(shù),則于是函數(shù)在取得最小值故得第十二頁，共十八頁，編輯于2023年，星期二為了計算,記那么對依復合函數(shù)求導法注意第二項于是導出第十三頁，共十八頁，編輯于2023年，星期二由于的任意性,得到上式乘以可化為這里代入方程且化簡,得到也就是說滿足方程第十四頁，共十八頁，編輯于2023年，星期二解方程令y’

=cott,那么由方程導出又因從而由x=0時,y=0,且注意,故C2=0,于是令由x=c,y=H得到求出根再確定R(旋輪線)第十五頁，共十八頁，編輯于2023年，星期二下降所需時間計算弧微分從而下降時間第十六頁，共十八頁，編輯于2023年，星期二實驗任務1.給定c和H,試用近似方法求出最速降線的曲線和下降時間,再確定參數(shù)方程中的常數(shù)R(和后得到曲線和時間,將兩種結(jié)果比較.2.

在一條直線l的上側(cè)有兩個點A,B,試找出一條從A到B的曲線,使得這曲線繞l旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)面的面積最小3.伽利略做過著名的單擺實驗:長度l的單擺的擺動周期與振幅無關,試分析情況是否如此?線上任何一點無摩擦地滑到最低點,試求下滑所4.如果將坐標系的y軸向下,作出旋輪線,設質(zhì)