7.4.2超幾何分布

新課程標準新學法解讀

1.理解超幾何分布及其推導過程.1.能運用超幾何分布解決一些實

2.理解超幾何分布與二項分布的際問題.

區別與聯系.2.借助超幾何分布解題，提高數學

3.掌握超幾何分布的實際應用.運算的素養.

課前篇咱主學習固基礎

［筆記教材］

知識點超幾何分布

一般地，假設一批產品共有N件，其中有M件次品.從N件產

品中隨機抽取〃件(不放回)，用X表示抽取的〃件產品中的次品數,

則X的分布列為尸(X=Z)=,k=m,…，r.

其中n,N,A/￡N*,MWN,nWN,，"=max{0,n-N-\-M},r

=min{〃，M}.如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨

機變量X服從超幾何分布.記作X?.

特別地，如果X?M,A0且〃+M—NWO,則X能取所有不

大于r的自然數，此時X的分布列如下表所示.

X01…k???r

C依「號eg%C%亦M

P??????

C為CNCNc為

答案:H(n,M,N)

c%

［重點理解］

1.超幾何分布與二項分布的區別與聯系

超幾何分布二項分布

超幾何分布是不放回二項分布是有放回抽

區別抽樣，取出一個則總樣，每次抽取時的總

體中就少一個，因此體沒有改變，因此每

每次取到某物的概率次抽到某事物的概率

是不同的都是相同的，可以看

成是獨立重復試驗

二項分布和超幾何分布都可以描述隨機抽取

的〃件產品中次品數的分布規律，并且二者的

均值相同

聯系

對于不放回抽樣，當〃遠遠小于N時，每抽取

一次后，對N的影響很小，此時，超幾何分布

可以用二項分布近似

2.對超幾何分布的三點說明

(1)超幾何分布的模型是不放回抽樣.

(2)超幾何分布中的參數是八，M,N.

(3)超幾何分布可解決產品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、

同學中的男和女等問題，往往由差異明顯的兩部分組成.

3.P(X=k)=的推導

C%

從N件產品中任取n件產品的樣本點有CV個；事件｛X=A｝表示

“在含有M件次品的N件產品中，任取〃件，其中恰有2件次品”，

則必有(〃一女)件正品，因此事件｛X=Q中含有CXC為4個樣本點，由

古典概型概率計算公式可知P(X=Q=竿氏.

［自我排查］

1.(2021?天津實驗中學濱海學校高二期中)在15個村莊中有7個

村莊交通不方便，現從中任意選10個村莊，用X表示這10個村莊中

交通不方便的村莊數，則下列概率中等于需的是()

A.P(X=2)B.P(XW2)

C.P(X=4)D.P(XW4)

答案：C解析：X服從超幾何分布，P(X=k)=cig

故后=4.

故選C.

2.（2021?北京海淀區北理工附中高二月考）從一批含有13件正

品、2件次品的產品中，不放回地任取3件，則取出產品中無次品的

概率為（）

?22c12

A岳B35

「34

C—D

。3535

答案：A解析：依題意可知，產品總數為13+2=15件，由超

幾何分布概率計算公式得取出產品中無次品的概率為武=

13X12X1112X1122,上

15X14X1315X14

3.（2021?河北石家莊正中實驗中學高二月考）有10件產品，其中

3件是次品，從中任取兩件，若X表示取得次品的個數，則尸（X<2）

等于（）

A

ZBA

A」5B15

14

c-15D15

答案：D解析：由題意可知，X服從超幾何分布，尸（X<2）=尸（X

=1）+尸（X=0）=器c?+品e=得14故選D-

4.（2021?江蘇無錫立人高中高二期中）若一個隨機變量的分布列

為P(4=r)=，其中十=0,1,2,…,/,Z=min{n,M},則稱中

CN

服從超幾何分布，記為4?”（〃，M,N）,并將P（Ar）=C"片也記為

H(r；n,M,N),則"(1；3,2,10)=.

7

答案：15解析：根據題意，r=l,"=3,M=2,N=10,

"(1;3,2,10)=PC=l)=c-igd^=7F

課堂篇?重點難點要突破

研習1超幾何分布概率公式的應用

［典例1］袋中有4個紅球，3個黑球，這些球除顏色外完全相

同，從袋中隨機抽取球，設取到一個紅球得2分，取到一個黑球得1

分，從袋中任取4個球.

(1)求得分X的分布列；

(2)求得分大于6分的概率.

寫出X的求出每個X寫出分

思路點撥:

可能取值對應的概率布列

解：(1)從袋中任取4個球的情況為：1紅3黑，2紅2黑，3紅

1黑，4紅，共四種情況，得分分別為5分，6分，7分，8分，故X

的可能取值為5,6,7,8.

4CM18

P(X—5)—c\cc廣l

-35'P(X-6)-G-35'

clc\12Ct1

p(x—7)—a-

-35'P(X—o)—C廠35?

故得分X的分布列為

X5678

418121

P

35353535

(2)根據隨機變量的分布列可以得到大于6分的概率為P(X>6)=

12113

P(X=7)+P(X=8)=35+35=35-

［巧歸納］

求超幾何分布的分布列的步驟

驗證隨機變量:服從超兒何分布，并確定

參數Mn.M的值

J4L根據超幾何分布的概率計算公式計算隨

四聲機變量取每二個值時的概率___________

|第自步H用表格的形式列出分布列|

［練習1］在一次購物抽獎活動中，假設io張獎券中有一等獎獎

券1張，可獲價值50元的獎品，有二等獎獎券3張，每張可獲價值

10元的獎品，其余6張沒有獎品.

(1)顧客甲從10張獎券中任意抽取1張，求中獎次數X的分布列.

(2)顧客乙從10張獎券中任意抽取2張，

①求顧客乙中獎的概率；

②設顧客乙獲得的獎品總價值為y元，求y的分布列.

解：(1)抽獎一次，只有中獎和不中獎兩種情況，故x的取值只

有0和1兩種情況.

a42

P(X=D=瓦=正=亍

23

則P(X=0)=1~P(X=1)=1—5=5,

因此中獎次數X的分布列為

(2)①顧客乙中獎可分為互斥的兩類事件：所抽取的2張獎券中

有1張中獎或2張都中獎.

OCHOC?302

故所求概率==

p=S=45=3"

②由題意可知，丫的所有可能取值為0,10,20,50,60,且

ac^_i5_

~C^=45~3

cn_18_2

p（y=io）=

Go-45-5,

qcg_3_1

p(y=20)=

C?0-45-15,

Cia_6_2

p(y=50)=存-=痣=正，

c]g_3_i

p(y=60)=

C?0~45~15-

因此隨機變量y的分布列為

Y010205060

12121

P

35151515

課后篇?基礎達標延伸閱讀

1.(2021?江蘇東臺創新高級中學高二月考)某小組有5名男生、3

名女生，從中任選3名同學參加活動，若X表示選出女生的人數，則

P(X22)=()

1c15

亍

A.7B.7576

C.|D.1

CgCS15

答案：C解析：當X=2時，P(X=2)=

56'

1

當X=3時，P(X=3)=『為

1512

則P(X22)=P(X=2)+P(X=3)=*+*=].

故選C.

2.現有電子元件50個，其中一級品45個，二級品5個，從中

任取3個，出現二級品的概率為()

cj+cg+cg

B.

QCg+CgCh

cC-1恪CgoD.

答案：C解析：出現二級品的情況較多，可以考慮不出現二級

品的概率為色，則出現二級品的概率為1一會.

故選C.

3.(2021?江蘇海頭高級中學高二月考)設隨機變量X?"(3,2,15),

貝I］P(X=1)=.

12

答案:H解析：由于X符合超幾何分布，

所以尸&=1)=供Ci-C?=3藥12

4.(2021?湖南長沙高考模擬題)端午節吃粽子是我國的傳統習

俗.設一盤中裝有6個粽子，其中肉粽1個，蛋黃粽2個，豆沙粽3

個，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取2個.

(1)用4表示取到的豆沙粽的個數，求《的分布列；

(2)求選取的2個中至少有1個豆沙粽的概率.

解:⑴由題意可知4=0,1,2,

P（『）=

P(『)=點一5'

尸匕=2)=&=亍

所以4的分布列為

e012

\31

p

555

(2)選取的2個中至少有1個豆沙粽的對立事件是一個都沒有,

14

則選取的2個中至少有1個豆沙粽的概率尸=1一；=三

課后自讀方案

［誤區警示］混淆超幾何分布與二項分布致錯

［示例］為了解今年某校高三畢業班報考飛行員學生的體重情況,

將所得的數據整理后，畫出了頻率分布直方圖如圖所示.已知圖中從

左到右的前三組的頻率之比為1：2：3,其中第二組的頻數為12.

⑴求該校報考飛行員的總人數；

(2)以這所學校的樣本數據來估計全省的總體數據，若從全省報

考飛行員的同學中(人數很多)任選三人，設X表示體重超過60公斤

的學生人數，求X的分布列和數學期望.

［錯解］由題知，體重在60公斤以下的有18人，在60公斤以上

的有30人，總人數為48.隨機變量X服從超幾何分布，X所有可能的

取值為0,1,2,3.

C?8-qo_lO15

則P(X=0)=

C?8-4324,

Cl8G0_3915

P(X=1)=-

a88648

CKCh)2295

P(X=2)=

C?88648'

G8co51

P(X=3)=

a8108r

則E(X)=0X指T,x39152295_51_=9729

i8648十/8648十110818648.

［錯因分析］(1)對隨機變量的含義不清楚，不能區分超幾