2.3總體特征數的估計2．3.1平均數及其估計【課標要求】1．正確理解樣本數據平均數的意義和作用，學會計算數據的平均數；2．能根據實際問題的需要合理地選取樣本，從樣本數據中提取基本的數字特征(如平均數)，并做出合理的解釋；3．會用樣本的平均數估計總體的平均數；4．形成對數據處理過程進行初步評價的意識．【核心掃描】1．用樣本平均數估計總體的平均數．(重點)2．應用相關知識解決簡單的實際問題．(難點)

試一試：1.數a，b，c的平均數是多少？2．一組觀察值3,4,6出現的次數分別為4,3,2，則樣本平均值為________．提示4想一想：1.中位數是否一定是這組數據中的數？提示不一定2．3,4，x1，x2的平均數為9，則x1＋x2＝________.提示29名師點睛1．平均數平均數描述了數據的平均水平，定量地反映了數據的集中趨勢所處的水平．2．用樣本平均數估計總體平均數(1)通常，我們是用樣本平均數去估計總體平均數．樣本容量越大，這種估計的可靠性越高；樣本的抽取越具有典型性，這種估計的可靠性也越高．但在實際中，樣本容量的確定既要根據實際問題的需要，又要考慮現實的可能性以及付出代價的大?。?2)平均數與每一個樣本的數據有關，所以任何一個樣本數據的改變都會引起平均數的改變，正因為如此，平均數可以反映更多關于樣本數據全體的信息，但平均數受數據中極端值的影響較大，使平均值在估計總體時可靠性低．若告訴的只是一個范圍而不是具體值，在求平均值時，可以用各組區間的組中值近似地表示.題型一平均數的計算【例1】

某班45名同學的年齡(單位：歲)如下：14

15

14

16

15

17

16

15

16

16

15

1517

13

14

15

16

16

15

14

15

15

14

1516

17

16

15

15

15

16

15

13

16

15

1517

14

15

16

16

15

14

15

15求全班的平均年齡．[思路探索]

求一組數據的平均數有兩個公式，可根據具體情況選用．【變式1】

從一批機器零件毛坯中取出20件，稱得它們的質量如下(單位：千克)210

208

220

205

202

218

206

214

215

207195

207

218

192

202

216

185

227

187

215求這20件零件的平均質量(精確到千克)．解各數據同時減200，得到新數據：10,8,20,5,2,18,6,14,15,7－5,7,18，－8,2,16，－15,27，－13,15經計算新數據的平均數為7.45，所以原數據的平均數為200＋7.45＝207.45≈207(千克)．題型二用樣本平均數估計總體平均數【例2】

某校從參加高一年級期末考試的學生中抽出60名學生，將其成績(均為整數)分成六段[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]后，畫出如圖部分頻率分布直方圖．觀察圖形，回答下列問題：(1)求第四小組的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；(2)估計這次考試的及格率(60分及以上為及格)；(3)估計這次考試的平均分．(2)依題意，60分及以上的分數所在的第三、四、五、六組的頻率和為0.75.所以估計這次考試及格率為75%.(3)平均分為45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.規律方法(1)當條件給出某幾個范圍內的數據的頻數或頻率時，可用組中值求近似平均數．(2)對連續型分布的有關問題，可用組中值法求樣本數據的平均數，這種方法求得的平均值只是一個估計值．【變式2】

有容量為100的樣本，數據分組及各組的頻數、頻率如下：[12.5,14.5)，6,0.06；[14.5,16.5)，16,0.16；[16.5,18.5)，18,0.18；[18.5,20.5)，22,0.22；[20.5,22.5)，20,0.20；[22.5，24.5)，10,0.10；[24.5,26.5)，8,0.08.試估計總體的平均數．題型三平均數的應用【例3】

(14分)某校在一次學生身體素質調查中，在甲、乙兩班中隨機抽10名男生檢測100m短跑，測得成績如下(單位：s)：求甲、乙兩班10名同學的平均成績，試估計甲、乙兩班男生的短跑水平．審題指導

本題主要考查平均數的定義、平均數的計算公式，要會靈活運用．甲15.114.814.114.615.314.814.914.715.214.5乙15.015.014.214.516.115.214.814.915.115.2【題后反思】

(1)平均數在一定程度上能顯示數據的集中趨勢，故可以由平均數估計總體的規律特征．(2)平均數與每一個樣本數據有關，這是平均數的特點．【變式3】

高一年級甲、乙兩班各50名同學，在一次數學測驗中成績分組及各組的頻數如下：[40,50)，2,3；[50,60)，3,5；[60,70)，10,11；[70,80)，15,12；[80,90)，12,10；[90,100]，8,9(第一個頻數為甲班，第二個頻數為乙班)．根據以上數據估計各班的平均成績并加以比較．如果要求平均數的所有數據被分成了若干小組，且知道每個小組的平均數，則可先用每小組數據個數與此小組平均數相乘計算出各小組的數據之和，據此可結合平均數公式計算出所有數據的平均數．方法技巧分組法求平均數

為了解高一年級6個班期中考試數學成績的總體情況，年級組對各班情況作了一個調查，情況如下：求這次考試中全年級所有同學數學成績的平均分(取整數)．[思路分析]

先計算每班總分，再計算六個班的總分之和，總分之和與高一年級6個班人數總和的商即為全年級所有同學的平均分．班級123456人數606458616255平均數120123118130117132【示例】

本題可看成六個小組：一班總分：60×120＝7200(分)二班總分：64×123＝7872(分)三班總分：58×118＝6844(分)四班總分：61×130＝7930(分)五班總分：62×117＝7254(分)六班總分：55×132＝7260(分)∴全年級所有同學總分為：7200＋7872＋6844＋7930＋7254＋7260＝44360(