第七章一維有限區間中的波動方程

§7.1定解問題的建立§7.2分離變量法

§7.3傅里葉級數展開法

§7.4非齊次邊界條件的處理

§7.5有阻尼的波動問題

例1兩端固定弦的自由振動

§7.1定解問題的建立均勻細弦兩端拉緊并固定，被撥動后開始振動。第一步：由物理基本理論建立描述該現象的方程

假定弦振動屬于微小橫振動，即，所以

“一維齊次波動方程”1.邊界條件：弦兩端固定不動，所以不管在什么時刻，u(x,t)在兩端點(x=0和x=l)處取值為0，即：u(0,t)=0,u(l,t)=0記為：第二步：由已知條件確定滿足的邊界及初始條件

2.初始條件：假如初始時刻弦各處的運動狀態為已知，即已知t=0時刻弦上各點的位移和速度:第三步：寫出定解問題例2兩端固定弦的受迫振動

T1T2例3一端固定另一端受力的均勻細桿的縱振動。

問題給定了細桿一端固定另一端受應力F(t)。在固定端(x=0)處位移為0，所以u(0,t)=0。在受力端(x=l)處應力為F(t)，那么

再假設初始條件為

那么完整的定解問題為:

小結:定解問題:

描述物理現象的偏微分方程+定解條件;微元法建立偏微分方程:在系統中任選一微元,將有關的物理定律用于這一微元,建立它的運動方程.然后取趨向于無窮小的極限,保留最低階小量,略去高階小量,就可得到所需的偏微分方程;定解條件:

邊界條件+初始條件(+附加條件);邊界條件:[Ux+U]x=0或x=l=f(t)

(f=0齊次,f0非齊次)第一類邊界條件=第二類邊界條件第三類邊界條件§7.2分離變量法

例4求解兩端固定弦的自由振動問題

解：假設試解

根據問題的邊值條件可得:因為,所以

(i)λ<0，那么通解為

根據問題的邊界條件可得:方程組只有零解,即，這樣使無法找到滿足邊界條件的非零解。

(ii)λ=0，那么通解為X(x)=C1x+C2,根據邊界條件，結果仍得到恒等于0的解。根據問題的邊界條件:若要尋找非零解，必須，那么

(iii)λ>0，那么通解為因此本征值為：

相應于每一本征值有一本征函數為:其次，對每一個本征值，T(t)的方程為：以上方程通解為：因此，對應每個本征值，相應地得到一個既滿足方程又滿足邊值條件的本征解。oln=4每一個本征解代表弦一種特定頻率的駐波振動，稱為弦的本征振動。本征振動的角頻率為：

當n=1時，對應于最低頻率，稱為基頻。

當n>1時，相應的本征振動的頻率是基頻的倍數，稱為n次諧頻。

一般說來，任何一個本征解都不能單獨滿足初始條件，因此本征解并不是定解問題的解。可以證明，通解式既滿足微分方程，又滿足邊值條件。若要使其滿足初始條件，那么

為了獲得滿足初始條件的解，通常要將本征解進行線性疊加，從而形成如下的通解式:(x)和(x)的傅氏展開根據以上初始條件，可以進一步確定通解式中待定常數例5管樂器一般是直徑均勻的細管，一端封閉、另一端開放。管內空氣的駐波振動可歸結為如下本征值問題，試求出各種本征振動。

解：設試解

另外，根據問題的邊值條件可得:(i)若λ<0，則根據問題的邊值條件可得:(ii)若λ=0，那么解為代入邊界條件后仍然得:(iii)只有讓λ>0，得到解為

代入邊界條件后得:，若要使，那么

相應的本征函數為：

因此該問題的本征解為:管樂器中空氣的本征振動角頻率為：

當n=0時，對應于最低頻率ν0（基頻）。

當n>1時，相應的本征振動頻率是n次諧頻。

管樂器聲音中只有奇次諧頻，沒有偶次諧頻。分離變量法解題的四步:設具有分離變量法的試探解,并代入偏微分方程和邊界條件,從而化為幾個常微分方程(必需有一個方程構成本征值問題)和相應的邊界條件;解本征值問題,求出本征解集和相應的本征值集.并進而解出與每一個本征值相應的其它各常微分方程的解;利用迭加原理,將所有(與不同的本征值相對應的)可能的解迭加成級數形式的解;根據初始條件或尚未用到的邊界條件,決定迭加成級數時所需要的迭加系數.補充知識：拉普拉斯變換

§7.3傅里葉級數展開法

例6求解兩端固定弦的受迫振動問題。解：根據前面討論，滿足邊界條件的本征函數:

假設u(x,t)展開成如下傅里葉級數:另外，非齊次項f(x,t)也應該展成傅里葉級數。其中系數為已知函數，可按下式求出:將u(x,t)和f(x,t)的傅里葉展開式代入方程和初始條件得:最后得到該定解問題的解為:例7求解如下定解問題:解：滿足邊界條件的本征函數為：

所以可假設問題的解具有如下傅里葉級數形式：

將上式代入定解問題的方程及初始條件。比較方程兩邊的系數得到:§7.4非齊次邊界條件的處理

例8一端固定(x=0)、另一端受周期性應力作用的均勻細桿的縱振動問題。解：不妨假設問題的解為

v(x,t)將滿足齊次邊界條件

例9求解定解問題

解：設

若要使v(x,t)滿足如下齊次的定解問題：

則w(x)必須滿足條件：

求解以上定解問題很容易求出：

根據v(x,t)定解問題中的初始條件，就可以確定待定系數§7.5有阻尼的波動問題

例10兩端固定弦的小阻尼振動問題

弦在振動過程中所受阻力一般正比于速率。

(,為常數)

類似于本章例1的推導可以得到：（阻尼因子）解：采用分離變量法，設

因為,所以

假設（小阻尼情形）那么衰減函數e-t例11均勻傳輸線中的電壓波動方程。

假設一段均勻傳輸線每單位長度的電阻、電感和電容分別為R0、L0和C0。若傳輸線一端(x=0)絕緣，另一端(x=l)從t=0時刻開始施加穩恒電壓E，求傳輸線中電壓波動函數(忽略電漏)。

xxx+Δxu(x,t)u(x+Δx,t