一元回歸分析第一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二在研究實際問題時，往往歸結到討論若干變量之間的關系。變量之間的關系大致上可分作兩類，一類是具有確定性關系的函數關系，它的特點是由某些變量的值能確定另外一些變量的值，如兩物體之間的引力與兩物體之間的距離及兩物體的質量的關系就是一種函數關系。人與人之間的吸引力也與很多因素有關：外表，世界觀，性格等等。這些因素只能說是對吸引力很有影響，而不能確定吸引力有多大。這類變量之間有非確定性的密切關系稱為相關關系。它的特點是由某些變量的值能確定另外一些變量的分布。回歸分析是研究相關關系的一種統計方法。第二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二一元線性回歸數學模型例如：今有某品種大豆脂肪含量X(%)與蛋白質含量Y(%)的測定結果如下表，試分析這些數據蘊含的關系。將每一對觀察值在同一直角坐標系中描出，得散點圖如右：從散點圖看出，與具有線性相關關系。第三頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二一般地，設隨機變量Y與變量X有相關關系，作次獨立試驗，得n對觀測值：用試驗數據對作出散點圖，若如下圖，則顯示Y與X有線性關系的趨勢。這里，若每一確定的，有數學模型：則稱之為一元線性回歸模型可知其中是與無關的常數，在回歸分析中，我們假定X非隨機變量，沒有測量誤差第四頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二對每一確定的，建立數學模型：（回歸模型）即有（回歸方程、經驗公式）回歸分析的任務是，找出回歸方程，并檢驗方程有效與否，當方程有效時對Y的值作預測與對X作控制。可知嚴格說是條件數學期望（回歸函數）由此得出變量Y與X的近似表達式：第五頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二最小二乘法考察我們希望求出的能使最小最小二乘估計最小二乘法分別求對的偏導，并令各偏導為零，得方程組可解得：設Y

與X

的一元線性回歸方程是第六頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二設Y與X的一元線性回歸方程是可得：如：兩個變量，其觀測值為若回歸方程為，則下列表述正確的是（）（B）回歸直線必經過某個點（A）回歸直線必不經過點（C）回歸直線必不經過點（D）回歸直線必經過點第七頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二設Y與X的一元線性回歸方程是可得：將記作記作同理把記作因此^^^第八頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二例1、為研究一種過敏新藥的施藥劑量X與過敏癥狀消除時間Y的相關關系，對10個個體的臨床試驗數據如下表，試確定其一元線性回歸方程。解：所求線性回歸方程第九頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二一般地，對測定出來的數據但變量X與Y是否真有線性相關的關系？用最小二乘法總是可以求出一條回歸直線：也就是說回歸直線方程有沒有意義？有沒有效？第十頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二一元線性回歸方程的方差分析（F檢驗）把Y的觀測值的總離差平方和分解成兩部分：即：回歸平方和剩余平方和反映了自變量X對隨機變量Y的影響，反映了試驗誤差和其它因素對Y的影響。第十一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二中，我們就來檢驗這個假設。若假設H0

：

成立：則若變量X與Y

沒有線性關系，即回歸方程中記為將的自由度分別記作顯然有：第十二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二若假設H0

：

成立：則從而統計量對給定的檢驗水平，H0

的拒絕域為：F右邊檢驗

“拒絕”就是認為回歸方程在很大程度上是成立的，是有效的，或說X與Y的線性相關關系是有統計意義的。注意到：回歸方程越有效的，SSE就越小，從而F就越大。第十三頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二總計回歸殘差F比均方和自由度偏差平方和方差來源B、D、F

一元線性回歸的方差分析表——設有n組數據，則下列結論下確的是（）。第十四頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二例1（續）為研究一種過敏新藥的施藥劑量X與過敏癥狀消除時間Y的相關關系，對10個個體的臨床試驗數據如下表，試確定其一元線性回歸方程。設對于給定的X，Y為正態變量，其方差與X無關。解：所求線性回歸方程第十五頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二選用統計量對回歸方程作方差分析：檢驗假設：列出方差分析表：所求線性回歸方程解：......第十六頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二方差分析表方差來源回歸剩余總和平方和自由度均方和F值F值臨介值由此得：回歸方程在檢驗水平下有效的。第十七頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二例2、某部門所屬10個企業全員勞動生產率與銷售利潤的調查資料如下：（1）建立銷售利潤與全員勞動生產率變化的回歸直線方程；（2）在顯著性水平下，檢驗回歸直線方程是否有意義。第十八頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二解：^因此回歸直線方程為第十九頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二解：......回歸平方和剩余平方和說明在0.05的檢驗水平下，此回歸方程是有意義的。因此回歸直線方程為第二十頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二一元線性回歸方程的相關系數R檢驗令樣本相關系數則顯然有|R|越接近1，則Q越小，X與Y的線性關系越密切。設H0為X與Y沒有線性相關關系的假設，H0的拒絕域為：，（非雙邊檢驗）這時認為回歸方程很大程度上是成立的，是有效的，或者說X與Y的線性相關關系是有統計意義的。對給定的檢驗水平，第二十一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二又因為與同號，當R>0時稱X與Y

正相關，當R<0時稱X與Y

負相關。F檢驗與相關系數檢驗的聯系：F越大，則|R|越接近1。一元線性回歸方程的相關系數R檢驗

另外，有時X與Y未必呈現線性相關的關系，但可作適當的變換化為線性回歸問題。對X與Y關系的不同看法也許會得到多個不同的回歸方程，這時可通過計算線性相關系數的辦法求得最優者，系數越大者越優。第二十二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二如果實測數據的散點圖大致圍繞下列某一曲線分布，可采取下列與之相應的變換化為線性回歸問題。1.雙曲線令則得2.冪函數令則得可線性化的一元非線性回歸分析第二十三頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二3.指數函數令則得4.負指數函數令則得可線性化的一元非線性回歸分析第二十四頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二5.對數函數令則得6.S型（Logistic）曲線令已知則得已知令則有第二十五頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二設Y與X的一元線性回歸方程是由的取值狀態估計的取值范圍謂之預測，由對的取值限制來確定的取值范圍謂之控制。1.點預測對給定的由算出的值為的點預測值。2.區間預測對給定的由求出以置信度的取值區間（置信區間）稱作的預測區間。一元線性回歸分析之預測與控制第二十六頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二考察統計量：2.區間預測對給定的由求出以置信度的取值區間（置信區間）稱作的預測區間。第二十七頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二對給定的置信度，得的預測區間：即：其中的均值的置信區間：其中實用中，當n較大且時，預測區間近似地表為：或利用軟件找出預測區間。其中第二十八頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二例3、對例1，當時，找出隨機變量Y的置信度為95%的預測區間。解：Y的置信度為95%的近似預測區間為：由線性回歸方程得Y的點預測為（所求線性回歸方程）第二十九頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二3.的控制對給定的置信度，若要使令，解得則正是所應被控制的范圍。一元線性回歸分析之預測與控制由的近似預測區間：令，解得一般地，要求的控制區間長度第三十頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二例4、對例1，對給定的置信度為95%，要求控制試找出的控制范圍。解：令，解得令，解得所以的控制范圍是令，解得由的近似預測區間：令，解得第三十一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二再見！作業題P2221、2第三十二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二P2221、所求線性回歸方程對線性回歸方程作方差分析，檢驗假設：第三十三頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二方差分析表總計回歸殘差F值均方和自由度偏差平方和來源F值臨介值由此得：回歸方程在檢驗水平