高等代數(shù)CAI課件

編(第四版)第一章基本概念第二章多項(xiàng)式第三章行列式第四章線性方程組第五章矩陣第六章向量空間第七章線性變換第八章歐氏空間第九章二次型廣東教育學(xué)院數(shù)學(xué)系代數(shù)與幾何教研室1謝謝觀賞2019-8-26

何謂高等代數(shù)

大家知道，初等代數(shù)是研究數(shù)及代表數(shù)的文字的代數(shù)運(yùn)算（加法、減法、乘法、除法、乘方、開(kāi)方）的理論和方法，也就是研究多項(xiàng)式（實(shí)系數(shù)與復(fù)系數(shù)）的代數(shù)運(yùn)算的理論和方法.而多項(xiàng)式方程及多項(xiàng)式方程組的解（包括解的公式和數(shù)值解）的求法及其分布的研究恰為初等代數(shù)研究的中心問(wèn)題，以這個(gè)中心問(wèn)題為基礎(chǔ)發(fā)展起來(lái)的一般數(shù)域上的多項(xiàng)式理論與線性代數(shù)理論就是所謂的高等代數(shù).2謝謝觀賞2019-8-26

本課程的意義、內(nèi)容及學(xué)習(xí)要求高等代數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)中的一門重要基礎(chǔ)課程，從內(nèi)容上看，它是中學(xué)代數(shù)里有關(guān)內(nèi)容的繼續(xù)和提高。其中許多理論對(duì)于加深中學(xué)數(shù)學(xué)教材的理解有著直接的指導(dǎo)意義，因此作為一個(gè)合格的中學(xué)數(shù)學(xué)教師，學(xué)好這門課程是非常必要的。此外，高等代數(shù)的思想和方法已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，在數(shù)學(xué)分析、幾何、計(jì)算技術(shù)等學(xué)科有廣泛的應(yīng)用，所以，學(xué)好這門課程也有助于學(xué)好其它數(shù)學(xué)課程，并且高代是考研的一門必考課程。3謝謝觀賞2019-8-264謝謝觀賞2019-8-26第一章基本概念第一節(jié)集合第二節(jié)映射第三節(jié)數(shù)學(xué)歸納法第四節(jié)整數(shù)的一些整除性質(zhì)第五節(jié)數(shù)環(huán)和數(shù)域5謝謝觀賞2019-8-26

第一節(jié)集合及映射章節(jié)名稱：集合及映射教學(xué)目的與要求：了解集合的概念和表示，運(yùn)算；理解并掌握映射的定義，合成，單射滿射等的定義，掌握雙射的等價(jià)刻畫(huà)重點(diǎn)：證明映射是單射、滿射的方法6謝謝觀賞2019-8-26一、集合把一些事物匯集到一起組成的一個(gè)整體就叫做集合；常用大寫字母A、B、C等表示集合；當(dāng)a是集合A的元素時(shí)，就說(shuō)a屬于A，記作:；

當(dāng)a不是集合A的元素時(shí)，就說(shuō)a不屬于A，記作：

1、概念組成集合的這些事物稱為集合的元素．

用小寫字母a、b、c等表示集合的元素．

☆7謝謝觀賞2019-8-26

關(guān)于集合沒(méi)有一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)定義，只是有一個(gè)描述性的說(shuō)明．集合論的創(chuàng)始人是19世紀(jì)中期德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾（G．Cantor），他把集合描述為：所謂集合是指我們直覺(jué)中或思維中確定的,彼此有明確區(qū)別的那些事物作為一個(gè)整體來(lái)考慮的結(jié)果;集合中的那些事物就稱為集合的元素．即，集合中的元素具有：確定性、互異性、無(wú)序性.

Remark:8謝謝觀賞2019-8-26☆集合的表示方法：描述法：給出這個(gè)集合的元素所具有的特征性質(zhì).列舉法：把構(gòu)成集合的全部元素一一列舉出來(lái).例1例2N＝，2Z＝例3

M＝｛x|x具有性質(zhì)P｝

M＝｛a1，a2，…，an｝9謝謝觀賞2019-8-262、集合間的關(guān)系

☆如果B中的每一個(gè)元素都是A中的元素，則稱B是

A的子集，記作，（讀作B包含于A）當(dāng)且僅當(dāng)

☆空集：不含任何元素的集合，記為φ．注意：｛φ｝≠φ,空集是任意集合的子集

☆如果A、B兩集合含有完全相同的元素，則稱

A與

B相等，記作A＝B

.A＝B當(dāng)且僅當(dāng)且

10謝謝觀賞2019-8-263、集合間的運(yùn)算

交：；

并：

顯然有，1、證明等式:．證：顯然，．又，

∴，從而,．例題：

故等式成立．11謝謝觀賞2019-8-262、已知，

證明：又因，

∴．

又因

，∴．

證：1）

此即，因此無(wú)論哪一種情況，都有.此即，

但是12謝謝觀賞2019-8-26二、映射設(shè)M、M′是給定的兩個(gè)非空集合，如果有一個(gè)對(duì)應(yīng)法則σ，通過(guò)這個(gè)法則σ對(duì)于M中的每一個(gè)元素a，都有M′中一個(gè)唯一確定的元素a′與它對(duì)應(yīng),則稱

σ為稱a′為a在映射σ下的象，而a′

稱為a在映射σ下的M到M′的一個(gè)映射，記作:或原象，記作σ(a)＝a′或1、定義13謝謝觀賞2019-8-26①設(shè)映射,集合稱之為M在映射σ下的象，通常記作Imσ．②集合M到M自身的映射稱為M的一個(gè)變換．

顯然，注

14謝謝觀賞2019-8-26例4判斷下列M到M′對(duì)應(yīng)法則是否為映射

1）M＝｛a，b，c｝、M′＝｛1,2，3,4｝

σ：σ(a)＝1，σ(b)＝1，σ(c)＝2

δ：δ(a)＝1,δ(b)＝2,δ(c)＝3,δ(c)＝4τ：τ(b)＝2，τ(c)＝4

（不是）

（是）

（不是）

2）M＝Z，M′＝Z＋，σ：σ(n)＝|n|,

τ：τ(n)＝|n|＋1,

（不是）

（是）

15謝謝觀賞2019-8-26σ：σ(a)＝a0，

4）M＝P，M′＝，（P為數(shù)域）τ：τ(a)＝aE，（E為n級(jí)單位矩陣）5）M、M′為任意兩個(gè)非空集合，a0是M′中的一個(gè)固定元素.

（是）（是）6）M＝M′＝P[x]（P為數(shù)域）

σ：σ(f(x))＝f′(x)，（是）3）M＝，M′＝P，（P為數(shù)域）

σ：σ(A)＝|A|，（是）

16謝謝觀賞2019-8-26例5

M是一個(gè)集合，定義I：

I(a)＝a，即I把M上的元素映到它自身，I是一個(gè)映射，例6

任意一個(gè)在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)y＝f(x)

都是實(shí)數(shù)集R到自身的映射，即，函數(shù)可以看成是稱I為M上的恒等映射或單位映射．

映射的一個(gè)特殊情形．

17謝謝觀賞2019-8-262、映射的乘積設(shè)映射，

乘積定義為：

(a)＝τ(σ(a))

即相繼施行σ和τ的結(jié)果，是M到M"的一個(gè)

映射．

①對(duì)于任意映射，有

②設(shè)映射，

有注：18謝謝觀賞2019-8-263、映射的性質(zhì):設(shè)映射1）若，即對(duì)于任意，均存在（或稱

σ為映上的）；

2）若M中不同元素的象也不同，即

（或），

則稱σ是M到M′的一個(gè)單射（或稱σ為1—1的）；

3）若σ既是單射，又是滿射，則稱σ為雙射,，使

，則稱σ是M到M′的一個(gè)滿射（或稱σ為1—1對(duì)應(yīng)）

19謝謝觀賞2019-8-26例7判斷下列映射的性質(zhì)1）M＝｛a，b，c｝、M′＝｛1,2，3｝σ：σ(a)＝1，σ(b)＝1，σ(c)＝2

（既不單射，也不是滿射）

τ：τ(a)＝3，τ(b)＝2，τ(c)＝1

2）M=Z，M′＝Z＋，τ：τ(n)＝|n|＋1,（是滿射，但不是單射）

3）M＝，M′＝P，（P為數(shù)域）

σ：σ(A)＝|A|，（是滿射，但不是單射）

（雙射）20謝謝觀賞2019-8-264）M＝P，M′＝P為數(shù)域,E為n級(jí)單位矩陣τ：τ(a)＝aE，（是單射，但不是滿射）

σ：σ(a)＝a0，（既不單射，也不是滿射）

6）M＝M′＝P[x]，P為數(shù)域σ：σ(f(x))＝f′(x)，（是滿射，但不是單射）

7）M是一個(gè)集合，定義I：I(a)＝a，8）M=Z，M′＝2Z，σ：σ(n)＝2n,（雙射）

（雙射）

5）M、M′為任意非空集合，為固定元素

21謝謝觀賞2019-8-26

①對(duì)于有限集來(lái)說(shuō)，兩集合之間存在1—1對(duì)應(yīng)的充要條件是它們所含元素的個(gè)數(shù)相同；

②對(duì)于有限集A及其子集B，若B≠A（即B為A的真子集），則

A、B之間不可能存在1—1對(duì)應(yīng)；但是對(duì)于無(wú)限集未必如此.注：如例7中的8），σ是1—1對(duì)應(yīng)，但2Z是Z的真子集．

M=Z，M′＝2Z，σ：σ(n)＝2n,22謝謝觀賞2019-8-264、可逆映射定義：設(shè)映射若有映射使得則稱σ為可逆映射，τ為σ的逆映射，①若σ為可逆映射，則σ－1也為可逆映射，且（σ－1）－1＝σ．注：②為可逆映射，，若σ的逆映射是由σ唯一確定的記作σ－1．23謝謝觀賞2019-8-26③σ為可逆映射的充要條件是σ為1—1對(duì)應(yīng)．證：若映射為1—1對(duì)應(yīng)，則對(duì)均存在唯一的，使σ(x)＝y(tǒng)，作對(duì)應(yīng)

即；

即∴σ為可逆映射．

則τ是一個(gè)M′到M的映射,且對(duì)

24謝謝觀賞2019-8-26即,

所以σ為滿射.

其次，對(duì)，則

即σ為單射.所以．σ為1—1對(duì)應(yīng)．反之，設(shè)

為可逆映射，則

25謝謝觀賞2019-8-26練習(xí)：

找一個(gè)R到R＋的1—1對(duì)應(yīng)．，規(guī)定解：則是R到R＋的一個(gè)映射.∵若，則，

∴是單射．

，存在，使故是1—1對(duì)應(yīng)．

∴是滿射．

26謝謝觀賞2019-8-262、令，問(wèn)：1）g是不是R＋到R＋的雙射？g是不是f的逆映射？

2）g是不是可逆映射？若是的話，求其逆．

解：1）g是R＋到自身的雙射．

∵，若，則，g是單射．

并且，即g是滿射．

又∵，

∴，

g不是f的逆映射．事實(shí)上，．

2）g是可逆映射．27謝謝觀賞2019-8-263、設(shè)映射，證明：1）如果h是單射，那么f也是單射；2）如果h是滿射，那么g也是滿射；3）如果f、g都是雙射，那么h也是雙射，并且這與h是單射矛盾，∴f是單射．證：1）若f不是單射，則存在

于是有28謝謝觀賞2019-8-262）∵h(yuǎn)是滿射，，即，∴g是滿射．又∵3），因?yàn)間是滿射，存在,使又因?yàn)閒

是滿射，存在，使h是滿射．∴29謝謝觀賞2019-8-26∵若，由于f是單射，有又因?yàn)間是單射，有即,∴因而h是雙射．h是單射.30謝謝觀賞2019-8-261.3數(shù)學(xué)歸納法內(nèi)容分布1.3.1最小數(shù)原理1.3.2數(shù)學(xué)歸納法的依據(jù)教學(xué)目的掌握映射的概念,映射的合成，滿射、單射、可逆映射的判斷。重點(diǎn)、難點(diǎn)

映射的合成，滿射、單射、可逆映射的判斷。31謝謝觀賞2019-8-261.3.1最小數(shù)原理數(shù)學(xué)歸納法所根據(jù)的原理是正整數(shù)集的一個(gè)最基本的性質(zhì)——最小數(shù)原理.最小數(shù)原理正整數(shù)集的任意一個(gè)非空子集S必含有一個(gè)最小數(shù)，也就是這樣一個(gè)數(shù)，對(duì)任意都有.其中表示全體正整數(shù)的集合.1．最小數(shù)原理并不是對(duì)于任意數(shù)集都成立的2．設(shè)c是任意一個(gè)整數(shù)，令注意那么經(jīng)代替正整數(shù)集，最小數(shù)原理對(duì)于仍然成立.也就是說(shuō)，的任意一個(gè)非空子集必含有一個(gè)最小數(shù)，特別，N的任意一個(gè)非空了集必含有一個(gè)最小數(shù).這個(gè)原理的一般形式就是數(shù)學(xué)分析中的下（上）確界原理。32謝謝觀賞2019-8-261.3.2數(shù)學(xué)歸納法的依據(jù)定理1.3.1（數(shù)學(xué)歸納法原理）設(shè)有一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題.如果

①當(dāng)n=1時(shí).命題成立；

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成

立；那么這個(gè)命題對(duì)于一切正整數(shù)n都成立.證設(shè)命題對(duì)于一切正整數(shù)都成立.令S表示使命題不成立的正整數(shù)所成的集合.那么.于是，由最小數(shù)原理，S中有最小數(shù)h.因?yàn)槊}對(duì)于n=1成立，所以從而h-1是一下正整數(shù).因?yàn)閔是S中最小的數(shù)，所以.這就是說(shuō)當(dāng)n=h-1時(shí)，命題成立.于是由②，當(dāng)n=h時(shí)命題也成立.因此.這就導(dǎo)致矛盾.33謝謝觀賞2019-8-26例1

證明，當(dāng)時(shí)，n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)π.證當(dāng)n=3時(shí)，命題成立.因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角和等于π=(3-2)π.假設(shè)時(shí)命題成立.任意一個(gè)k+1多邊形，聯(lián)結(jié)，那么的內(nèi)角和就等于三角形的內(nèi)角和加上k邊形的內(nèi)角和.前者等于π，后者由歸納法假定，等于(k-2)π.因此k+1多邊形

的內(nèi)角和等于π+(k-2)π=(k-1)π=((k+1)-2)π.命題得證.34謝謝觀賞2019-8-26定理1.3.2（第二數(shù)學(xué)歸納法）設(shè)有一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題.如果①當(dāng)n=1時(shí)命題成立；②假設(shè)命題對(duì)于一切小于k的自然數(shù)來(lái)說(shuō)成立，則命題對(duì)于k也成立；那么命題對(duì)于一切自然數(shù)n來(lái)說(shuō)都成立.數(shù)學(xué)歸納法可以推廣到良序集合上，即所謂超限歸納原理。35謝謝觀賞2019-8-261.4整數(shù)的一些整除性質(zhì)一、內(nèi)容分布

1.4.1整除與帶余除法

1.4.2最大公因數(shù)

1.4.3互素

1.4.4素?cái)?shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)二、教學(xué)目的

1.理解和掌握整除及其性質(zhì)。

2.掌握最大公因數(shù)性質(zhì)、求法。

3.理解互素、素?cái)?shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)。三、重點(diǎn)、難點(diǎn)

整除、最大公因數(shù)性質(zhì)、互素有關(guān)的證明。36謝謝觀賞2019-8-261.4.1整除與帶余除法

設(shè)a，b是兩個(gè)整數(shù)，如果存在一個(gè)整數(shù)d，使得b=ad，那么就說(shuō)a整除b（或者說(shuō)b被a整除）。用符號(hào)a|b表示a整除b。這時(shí)a叫做b

的一個(gè)因數(shù)，而b叫做a的一個(gè)倍數(shù)。如果a不整除b，那么就記作.整除的基本性質(zhì)：①②

③④⑤每一個(gè)整數(shù)都可以1和-1整除。每一個(gè)整數(shù)a都可以被它自己和它的相反數(shù)-a整除⑥⑦37謝謝觀賞2019-8-26定理1.4.1（帶余除法）設(shè)a，b

是整數(shù)且，那么存在一對(duì)整數(shù)q和r，使得滿足以上條件整數(shù)q和r的唯一確定的。證令。因?yàn)椋許是N的一個(gè)非空子集。根據(jù)最小數(shù)定理（對(duì)于N），S含有一個(gè)最小數(shù)。也就是說(shuō)，存在，使得r=b-aq是S中最小數(shù)。于是b=aq+r，并且。如果，那么，而38謝謝觀賞2019-8-26所以。這是與r是S中最小數(shù)的事實(shí)矛盾。因此

.

假設(shè)還，使得于是就有。如果那么由此或者，或者。不論是哪一種情形，都將導(dǎo)致矛盾。這樣必須，從而

，也就是說(shuō)39謝謝觀賞2019-8-261.4.2最大公因數(shù)設(shè)a，b是兩個(gè)整數(shù)，滿足下列條件的整數(shù)d叫做a與b的最大公因數(shù)：；①。

如果②①一般地，設(shè)是n個(gè)整數(shù)。滿足下列條件的整數(shù)d叫做的一個(gè)最大公因數(shù)：②40謝謝觀賞2019-8-26定理1.4.2

任意個(gè)整數(shù)都有最大公因數(shù)。如果d是的一個(gè)最大公因數(shù)，那么-d

也是一個(gè)最大公因數(shù)；的兩個(gè)最大公因數(shù)至多只相差一個(gè)符號(hào)。證由最大公因數(shù)的定義和整除的基本性質(zhì)，最后一個(gè)論斷是明顯的。現(xiàn)證，任意n個(gè)整數(shù)有最大公因數(shù)。如果

，那么0顯然就是的最大公因數(shù)，設(shè)不全為零。考慮Z的子集I顯然不是空集，因?yàn)閷?duì)于每一個(gè)i

41謝謝觀賞2019-8-26又因?yàn)椴蝗珵榱悖訧含有非零整數(shù)。因此是正整數(shù)集的一個(gè)非空子集，于是由最小數(shù)原理，有一個(gè)最小數(shù)d。我們說(shuō)，d就是的一個(gè)最大公因數(shù)。首先，因?yàn)椋詃>0并且d有形式又由帶余除法，有42謝謝觀賞2019-8-26定理1.4.3

設(shè)d是的一個(gè)最大公因數(shù)。那么存在整數(shù)，使得。如果某一，如，那么而。這與d是中的最小數(shù)的事實(shí)矛盾。這樣，必須所有，即。另一方面，如果。那么

。這就證明了d是的一個(gè)最大公因數(shù)。證若，那么d=0，定理顯然成立。設(shè)不全為零，由定理1.4.2的證明，知

，.因而存在，使得

。43謝謝觀賞2019-8-261.4.3互素設(shè)a，b是兩個(gè)整數(shù)，如果（a,b）=1，那么就說(shuō)a與

b互素。一般地，是n個(gè)整數(shù)，如果

，那么就說(shuō)這n個(gè)整數(shù)互素。（1）

定理1.4.4

n個(gè)整數(shù)互素的充分且必要條件是存在整數(shù)，使得證如果互素，那么由定理1.4.2立即得到等式（1）成立。反過(guò)來(lái)，設(shè)等式（1）成立。令

。那么c能整除（1）式中的左端。所以c|1，因此c=1,即。44謝謝觀賞2019-8-261.4.4素?cái)?shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)一個(gè)正整數(shù)p>1叫做一個(gè)素?cái)?shù)，如果除±1和±p外，沒(méi)有其它因數(shù)。定理1.4.5

一個(gè)素?cái)?shù)如果帶隊(duì)兩個(gè)整數(shù)a

與b的乘積，那么它至少整除a與b中的一個(gè)。證設(shè)p是一個(gè)素?cái)?shù)，如果p|ab，但，由上面所指出的素?cái)?shù)