返回總目錄TheoreticalMechanics第三篇動力學

第13章動量定理制作與設計賈啟芬

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第13章動量定理目錄13.1動量13.2力的沖量13.3動量定理13.4質心運動定理

TheoreticalMechanics

第13章動量定理13.1動量

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13.1動量13.1.1質點的動量質點的動量是用來度量質點機械運動的一個物理量。質點的動量等于其質量與速度的乘積，即

動量是矢量，動量的方向與速度方向相同。在國際單位制中，動量的單位為kg·m/s。動量的量綱是

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13.1動量13.1.2質點系的動量

返回首頁質點系的動量主矢：質點系中各質點動量的矢量和。簡稱質點系的動量

由運動學關系將質心坐標公式代入上式得

質系的動量等于質系的質量與質心速度的乘積，方向與質心速度方向相同。TheoreticalMechanics

圖示三種情形剛體的動量的計算：c)繞中心轉動的均質輪，其動量為零。13.1動量13.1.2質點系的動量

返回首頁b)a)c)a)方向與質心速度方向相同均質滾輪b)TheoreticalMechanics

如果質點系是由多個剛體組成，則質點系動量為mi、vCi分別為第

i個剛體的質量和它的質心的速度。13.1動量13.1.2質點系的動量

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第13章動量定理13.2力的沖量

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13.2力的沖量

返回首頁力的沖量：力與其作用時間的乘積。它表明了力對物體作用的時間積累效應。TheoreticalMechanics

13.2力的沖量13.2.1常力的沖量常力的沖量為常力矢量與其作用時間的乘積

沖量是矢量，其方向與作用力的方向相同。在國際單位制中，沖量的單位與動量的單位相同，為kg·m/s。沖量的量綱是

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13.2力的沖量13.2.2任意力的沖量

返回首頁元沖量：任意力（常力或變力）在微小時間間隔dt內的沖量。任意力在有限時間內（t1至t2）的沖量可用一個矢量積分表示TheoreticalMechanics

13.2力的沖量13.2.3力系的沖量

返回首頁力系的沖量：作用于質點系上力系的各力沖量的矢量和，即交換求和與積分的順序，得力系的沖量等于力系的主矢在同一時間內的沖量。式中為力系的主矢。

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第13章動量定理13.3動量定理

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天津大學13.3動量定理13.3.1質點的動量定理13.3.2質點系的動量定理

13.3.3流體在管道中流動時的動壓力

13.3.4動量守恒

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13.3動量定理13.3.1質點的動量定理

返回首頁設質量為m的質點在力F的作用下運動，速度為v：由牛頓第二定律：質量是常量時，有：質點動量定理的微分形式：質點的動量對時間的一階導數等于作用在質點上的力。

質點動量定理的積分形式：質點在t1至t2時間內動量的改變量等于作用于質點的合力在同一時間內的沖量。乘以dt積分TheoreticalMechanics

13.3動量定理13.3.2質點系的動量定理

返回首頁作用于該質點上的力有外力和內力。將n個方程相加，得K=質點系的動量

質點系動量定理的微分形式：質點系動量對時間的一階導數，等于作用于該質點系上所有外力的矢量和。根據動量定理的微分形式，有取質點系任一質量為mi的質點，速度為v：TheoreticalMechanics

投影x、y、z

在瞬時t1至t2這段時間內積分，得

質點系動量定理的積分形式：質點系在t1至t2時間內的動量的改變量等于作用于該質點系的所有外力在同一時間內的沖量的矢量和，即投影x、y、z

13.3動量定理13.3.2質點系的動量定理

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13.3動量定理13.3.3流體在管道中流動時的動壓力

以定常流動流體動約束力的確定為例，說明質點系動量定理在流體動力學中的應用。一般流體流動的性質是十分復雜的，在此只討論不可壓縮的理想流體，而且流動是定常的，即流體各質點流經空間同一固定點的速度不隨時間改變。

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圖示管道中充滿不可壓縮定常流動的流體。管道壁和進出口截面形成一邊界面，稱為控制面，取控制面ABCD內的流體為研究對象。設進出口截面面積分別為A1和A2，流體速度分別為v1和v2，流體密度為是常量，體積流量Q也為常量。根據連續流條件

在瞬時t，所研究流體的動量為KABCD。經過△

t

時間，流體運動到了abcd位置，其動量為Kabcd。在△

t時間間隔內質點系動量的增量為dK

13.3動量定理13.3.3流體在管道中流動時的動壓力

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等號兩邊同時除以dt

研究流體所受到的外力有：流體的重力W，管壁的反力FN，以及進口截面AB、出口截面CD上的流體壓力F1、F2（這些力都是分布力的合力）。13.3動量定理13.3.3流體在管道中流動時的動壓力TheoreticalMechanics

由動量定理得

它表明：在穩定流動中，管內液體在單位時間流出的動量與流入的動量之差，等于作用在管內液體上的體積力與表面力的矢量和（主矢），這就是關于液體流動的歐拉公式。13.3動量定理13.3.3流體在管道中流動時的動壓力

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得到附加動約束力FN的表達式

若將管壁對于液體的約束力FN分為兩部分。為液體動量不改變時，管壁對液體的靜約束力；

為對應于動量變化而產生的附加動約束力。則有

流量、進出口截面處的速度矢量差越大，附加動約束力越大。因此，設計大流量或高速流動管道時，應考慮附加動約束力的影響。13.3動量定理13.3.3流體在管道中流動時的動壓力

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13.3動量定理例題例一水柱以速度v沿水平方向射入一光滑葉片。設水柱的射入速度與葉片相切，水柱的截面積為A，密度為，水柱離開葉片時的傾角為，不計水柱的重量。若葉片固定不動，求葉片對水柱的附加動約束力主矢的分量Fx和Fy。

解：選擇葉片上的水柱為研究對象。因AB、CD兩處截面積A和密度均相等，所以v1＝v2＝v，葉片僅改變水流速的方向。

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13.3動量定理例題向x軸投影向y軸投影

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13.3動量定理13.3.4動量守恒如果外力系的主矢量為零，即如果外力系的主矢量在某一坐標軸上的投影為零，即質系動量守恒K=常矢量=常量質系動量守恒

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幾點討論：質系動量的變化只決定于外力的主矢量。內力不能改變系統的總動量，只能使系統中各質點間彼此進行動量交換。只有作用于質點系上的外力才能改變質點系的動量。動量守恒方程中所用的速度必須是絕對速度。要確定一個正方向，必須按動量投影的正負去計算。在動力學問題中，動量守恒定律常用來求速度。13.3動量定理13.3.4動量守恒

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13.3動量定理例題例質量為mA的小棱柱體A在重力作用下沿著質量為mB的大棱柱B的斜面滑下，設兩柱體間的接觸是光滑的，其斜角均為，如圖。若開始時，系統處于靜止，不計水平地面的摩擦。試求此時棱柱體B的加速度aB。

解：由整體受力圖看出，，所以整個系統在x方向的動量守恒。

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13.3動量定理例題

返回首頁初始時系統靜止，即TheoreticalMechanics

式中還包含一個未知量ar。因此，必須再建立一個方程。由題設條件，棱柱體A沿棱柱體B滑下，由動能定理13.3動量定理例題

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將上式對t求導，且，求解得13.3動量定理例題

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例真空中斜向拋出一物體，在最高點時，物體炸裂成兩塊，一塊恰好沿原軌道返回拋射點O，另一塊落地點的水平距離OB則是未炸裂時應有水平距離OB0的兩倍，求物體炸裂后兩塊質量之比。13.3動量定理例題

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解：設炸裂后兩物塊的質量分別為m1與m2，炸裂前共同速度為v，炸裂后的速度分別為v1與v2。

由于，所以系統在x方向動量守恒。13.3動量定理例題設下落的水平距離

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由于炸裂前后，水平方向的運動為勻速運動，水平方向運動的距離正比于水平速度，即同理所以解得13.3動量定理例題

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第13章動量定理13.4質心運動定理

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天津大學13.4質心運動定理

返回首頁將質點系的動量K=MvC代入動量定理的表達式

質心運動定理：質點系的質量與其質心加速度的乘積等于作用于質點系的外力的矢量和。質心運動定理描述的是質點系隨同質心的平行移動。TheoreticalMechanics

天津大學

（1）質系質心的運動，可以視為一質點的運動，如將質系的質量集中在質心上，同時將作用在質系上所有外力都平移到質心上，則質心運動的加速度與所受外力的關系符合牛頓第二定律。幾點討論

如在定向爆破中，爆破時質系中各質點的運動軌跡不同，但質心的運動軌跡近似一拋物線，由此可初步估計出大部分物塊堆落的地方。13.4質心運動定理

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天津大學定向爆破的飛石

為了某種工程需要，人們想削去一座山頭或想拆掉一座樓房而不影響周圍的建筑，往往采用定向爆破。定向爆破時，為了確保周邊一定范圍以外區域內建筑物以及人身安全，必須預先計算爆破飛石散落的地點。你知道爆破飛石散落的地點是根據什么計算出來的嗎？實例現象的解釋13.4質心運動定理

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天津大學13.4質心運動定理

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天津大學

（2）質系的內力不影響質心的運動，只有外力才能改變質心的運動。13.4質心運動定理

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天津大學

汽車行駛是靠車輪與路面的摩擦力。發動機內氣體的爆炸力，對汽車來說是內力。13.4質心運動定理

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天津大學13.4質心運動定理

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天津大學（3）應用時取其投影式13.4質心運動定理

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天津大學（4）剛體系統質心運動定理矢量形式在直角坐標上投影形式是作用于整個剛體系上外力的主矢量13.4質心運動定理

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天津大學質心運動守恒定理13.4質心運動定理

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13.3動量定理例題例質量為mA的小棱柱體A在重力作用下沿著質量為mB的大棱柱B的斜面滑下，設兩柱體間的接觸是光滑的，其斜角均為，如圖。若開始時，系統處于靜止，不計水平地面的摩擦。試求小棱柱體A下滑l距離時，棱柱體B的位移d。

解：由整體受力圖看出，，所以整個系統在x方向的質心守恒。

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13.3動量定理例題

常量，于是得到開始位置時，質系的質心坐標為

設A右下滑距離為l，B左移距離為d，質系的質心坐標為

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例題例A物重P1，沿楔狀物D的斜面下滑，同時借繞過滑車C的繩使重P2的物體B上升，如圖。斜面與水平成

角，滑輪、繩的質量和一切摩擦均略去不計。求楔狀物D作用于地板凸出部分E的水平壓力。

解：首先應用動能定理求出系統的運動，然后用質心運動定理來求約束力。由動能定理13.4質心運動定理

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例題于是，有式對t求一階導數，并消去v，得13.4質心運動定理

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以整個系統包括楔塊D為研究對象，應用質心運動定理，有

這是地板凸出部分對楔狀物D的約束力，凸出部分E的水平壓力的大小與它相等，方向與圖示方向相反。例題13.4質心運動定理

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例勻質細桿AB長為l，質量為m，端點B放在光滑的水平面上。開始時，桿靜立于鉛垂位置如圖示，受擾動后，桿倒下。求桿運動到與鉛垂線成角φ時，桿的角速度、角加速度和地面的約束力FN。

解：以桿為研究對象，從其受力圖可知，，即質心在x方向的位置守恒，利用此條件，可知質心C的速度沿鉛垂方向；然后，用動能定理求桿的角速度、角加速度。例題13.4質心運動定理

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利用vC鉛垂向下，AB桿的瞬心為I例題13.4質心運動定理動能定理I獲得補充方程

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對時間t求一階導數，注意到，化簡后得例題13.4質心運動定理I

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為求約束力FN，先求質心C的加速度aC，現以B為基點求aC，如圖所示在鉛垂上投影，有用質心運動定理例題13.4質心運動定理

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例電動機的外殼固定在水平基礎上，定子重P1、質心為C1；轉子重P2、質心為C2，如圖。由于制造、安裝誤差，C2不在轉軸上，其偏心距為e。已知轉子勻角速度轉動，角速度為，求基礎的支座約束力。又假設電動機沒有螺栓固定，且各處摩擦均不計，若整個電動機處于靜止狀態時，轉子開始勻速轉動，求電動機外殼的運動。

例題13.4質心運動定理

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解：先研究電動機固定在基礎上的情形，整個電動機由兩部分組成，這兩部分質心的運動規律均為已知。可以運用質心運動定理求外力的主矢。以整個電動機為研究對象，定子質心C1加速度為零。轉子質心C2的加速度為e2，方向始終指向轉軸。所受外力為P1、P2、Fx、Fy和力偶距M。例題13.4質心運動定理

返回首頁由質心運動定理

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例題13.4質心運動定理

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例題13.4質心運動定理

返回首頁研究電動機沒有固定的情形

轉子轉動后，設定子的水平位移為s，則轉子質心的位移為，TheoreticalMechanics

再來研究電動機沒有固定的情形。電動機在水平方向沒有外力，整個系統由靜止開始運動，因此，系統的質心坐標xC應保持不變。假設開始時，轉子在鉛垂位置，即，例題13.4質心運動定理

返回首頁將式在x軸上投影，得TheoreticalMechanics

式中負號說明，定子的位移不是向右而是向左平移。

由此可見，當轉子有偏心而又沒有螺栓緊固在基礎時，電動機轉動起來后，機座將在光滑的水平面上作簡諧運動。在鉛垂方向，前面已算出Fy，它的最小值為當Fy時，即，電動機將跳離地面。蛙式打例題13.4質心運動定理

返回首頁夯機的夯頭架所以能自動跳起來，就是這個道理。TheoreticalMechanics

例題13.4質心運動定理

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例題13.4質心運動定理

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例今有長為AB＝2a，重為Q的船，船上有重為P的人，設人最初是在船上A處，后來沿甲板向右行走，如不計水對于船的阻力，求當人走到船上B處時，船向左方移動多少？解：將人與船視為一質點系。作用于該質點系上的外力有人和船的重力P和Q及水對于船的約束力FN，顯然各力在x軸上投影的代數和等于零。此外，人與船最初都是靜止的，于是根據質心運動定理可知人與船的質心的橫坐標xC保持不變。例題13.4質心運動定理

返回首頁OTheoreticalMechanics

人在A處船在AB位置時，質心的坐標為

人走到B處時，設船向左移動的距離為l，在此情形下，人與船的質心的坐標為例題13.4質心運動定理

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常量，于是得到例題13.4質心運動定理

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由以上結果看出：（1）人向前走，船向后退，改變人和船運動的力是人與船間的摩擦力，這是質點系的內力。因此，內力雖然不能直接改變質心的運動，但能改變質點系內各質點的運動。(2)船后退的距離取決于人走的距離2a和人與船的重量比值，比值越小則船移動的距離也越小。例題13.4質心運動定理

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例勻質曲柄OA質量為m1、長為r，以勻角速度繞O轉動，帶動質量為m3的滑槽作鉛垂運動，E為滑槽質心，DE＝b，滑塊A的質量為m2。當t=0時，＝0。不計摩擦，試求＝30時：(1)系統的動量；（2）O處鉛垂方向的約束力。

解：建立坐標系如圖。系統質心坐標為例題13.4質心運動定理

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將xC、yC分別對t求導，得=30時，系統的動量TheoreticalMechanics

例題13.4質心運動定理

返回首頁由得TheoreticalMechanics

以上解題過程基本步驟為：先求質心坐標，將其對時間求一階導數即得質心速度。注意動量是矢量，因此用矢量式表達最簡明。將質心速度再對t求一次導數即得質心加速度，從而可用質心運動定理求得約束力。例題13.4質心運動定理

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動量定理習題

返回首頁1已知跳傘者質量m=60kg，自停留在空中的直升飛機中跳出，落下h=100m后，將降落傘打開。不計開傘前的阻力，開傘后所受的阻力不變，經5s后跳傘者的速度減為4.3m/s，傘重不計；求阻力的大小。代入數值，解得F=1068N44.27m/s解開傘時的速度為由動量定理向鉛垂軸投影TheoreticalMechanics

動量定理習題

返回首頁求桿無初速倒下時，端點A相對圖示坐標系的軌跡。5已知均質桿AB長為l，直立于光滑的水平面上；解桿初始靜止，且Fx=0，x方向質心位置守恒。即，質心C始終在y軸上，A點坐標為即端點A的軌跡為橢圓。

消去參數，得TheoreticalMechanics

動量定理習題

返回首頁求圖示瞬時此系統的動量。

已知均質桿OA、AB桿與均質輪的質量均為m，OA=l1，AB=l2，輪的半徑為R，輪作純滾動，OA桿的角速度為ω；解OA、AB桿與輪子質心的速度方向如圖所示，其大小分別為則此系統的動量為K

=mv1+mv2=mvB（←）TheoreticalMechanics

動量定理習題

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已知重物質量m1=2000kg，起重機質量m2=20000kg，OA=8m，開始時，該系統靜止，桿與鉛垂位置成60角，水的阻力和桿重均略去不計；求當OA轉至圖示位置時，起重機的位移。解設起重機x軸正向運動了x，因該系統初始靜止，且Fx

=0，故x方向該系統質心位置守恒。在初始位置和圖示位置，質心的坐標分別為TheoreticalMechanics

動量定理習題

返回首頁由xC1=xC2，解得（←）TheoreticalMechanics

動量定理習題

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已知均質鼓輪O的質量為m1，重物B、C的質量分別為m2與m3，斜面光滑，傾角為，重物B的加速度為a；求軸系O處的約束反力。解整體受力與運動分析如圖所示， TheoreticalMechanics

動量定理習題

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動量定理習題

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已知平臺AB的質量為m1，與地面間的動滑動摩擦系數為f；