近世代數題解

第一章基本概念

§1.1

1.

證任取NWACKBUO,則

?r￡A且NWBUC.從而或XWC.

若MCS,則xeAAB.從而x￡(AnB)U(AnC).因此

Afi(BUC)=(AnB)U〈AnC).

反之，任取x￡(AnH)U(AC|C),類似可得xG^n(BUC).

故

(ACB)u(AnOSAO(BUC).

因此，An(BUC)=(AnB)U(AflC).

同理可得4〉中另一等式.

2.若ACB=Anc,問：是否B=C?把n改成U時又如何？

解不一定有舊=。例如

A={1},B={1,2},C={1,3}.

把n改成u后也不一定有B=C.例如

A={1},B={2},C={1,2}.

3.設A是有限集合，且|A|=z證明：|產(A)|=2".

證因為|A|="，故A的含笈(0E40n)個元素的子集共有

C：個，從而A共有

2-=(1+1)"=C：+CL4----FC：

個子集，即［r(A)|=2".

4.

證設|A|=m,|B|=”/AnB|=&,則顯然

IAUBI=m+n—A,

由此即得要證的等式.

5.

證設zW(AUB)',即EGAUB故HGA且工aB從而

HGA'且x￡B'.故zWA'nB.

從而(AUB>'GA'nB'.反推上去得A'nB'G(AUB)'.故得證.

另一等式可類似證明.

近世代數題解§1.2

2.

解中是映射，且是滿射,但不是單射.

3.

8=CACTC為上

F〃階滿秩方陣）.若〃A）=

解設（

g〈A），則

1

y（）=/（CAC'）=C/<^）C

B

=Cg（A）CI=g（CAC-）=g（B）.

，

即卯

FA」到F]的一個映.又

類似知，是單射和射，

是[[B

射易k滿

從而<p雙射

是.

近世數題解§1.3

解代

）

3）代數算，2）不是代數運.

解1與是運算

實際上就是

“中A個素可重復的全排列戌

這

解元數

例如=E與/o=A—A.

BB—B

4.

?

解丁A4）

|=27,|S（M）|=6.乘法表從略.

〈

.

5

解例如b：1

----a2,2---?1,其余a---*1x;

--

?

r

1---*33---1，其余1----*h.

：-,-

近世代題解§1.4

數

1.

解

律和交換律不滿足-例

結合

都如

（。0）0=4,。（0。6）=2,

1。1

C]3

故（1。）。01。（。

00）.又10=2,OC.L,故

0#

2.

解）交換

1滿，但結合律不足.例如

律足滿

（l?lo=4,。（1）=2.

）01。0

2）結合律、交律都滿

足.因為知與都等

換易

于

a十力+c-ab—be-c+a6c.

a

）

.解1略2）例規

3如定

a°a=a“0b=c.

，

其中但互異

.

4.

解“顯然是代數運且滿

交律.結律也滿.因

算足

換又合足為

根高公因式的性質知：

據最

5.略

世代題解§.5

近數1

）

1.解D是自

態映射，但非射和單射；2）是雙

，不是自同映射3是自同態

同

滿射

但構映

）

，但滿射和

射.是雙，非自同構映射.

射

非單4射但

2略

.

3

.

解例如.，一*工（

2VxWQ）.顯燃，杷2換任意一個

p：

成

。及1的有數

后P均為Q非恒等自構.

推

理，的同

4.

解當s滿足結合律時，。不一定滿足.例如，M為整數集，代數

運算是臧法（不滿足結合律）；又麗={1}，代數運算為乘法（當然滿

足結合律）,但顯然

夕wjr------?1（VhWM）

是M到面的同態滿射，故M-M.

5.

證1）由M）=M2，設中：h---?,（VHCEMI）是其一?同構映

射，貝IJ，'：y—（其中0工）=>>顯然是A42至!jM,的一個同

構映射，故

2）同理?由，/Vfz含M,,分別設有同構映射er且

d；a--->b、r：h>c.

則ma--c是Mi到M3的同構映射，故A久言人人

（應注意，b不能號成”.因為此時c是無意義的.）

§1.6

1.

解R是A4的一個關系.又顯然滿足對稱性.但是，反身性和

傳遞性不滿足.例如，L及1;又顯然

4,3+1,411+7,但是4>3+7,

即3R1,1R7,但是3衣7.

2.解1）不是.因為不滿足對稱性；2）不是.因為不滿足傳遞性；

3）是等價關系；4）是等價關系.

3.解3）每個元素是一個類，4）整個實數集作成一個類.

4.

解上面第2題中1）與2）是符合本題題意的兩個例子.又設

Q是有理數集，規定

aRb<?|>a2~hb2~0（a?EQ）.

則易知此關系不滿足反身性，但是卻滿足對稱性和傳遞性（若把。換成實數域的任一子域均可;

實際上這個例子只有數。和。符合關系，此外任何二有理數都不符合關系）.

5.

證若M中二元素a與〃符合關系就記為（。，6）.現在一切

這樣的（a,6）作成的集合記為R,它是R的一個子集.

反之，設入二R.則規定：a與b符合關系當且僅當

Ca,6）eR2.

即R的子集可決定M的一個關系.

6.證1）略2）

由1）及分配性以及習題1.1第5題可知：

（AUB）—（AnB）=（AUB）n（AnB>,

=（AUB）n（八'Ub'〉；（D

又（A--B）U（B—八）=（AnB'>U（8n4）

=：（AnB,）uB]nr（AnB,）UA,]

=[（AUB）n（BUB'）：in[（AUA'）n（A'uB）j

=（AUB）n（A'UB'）.（2）

由（1）與（2）知，得證.

7.

證1）任取/SA,則<p〈r〉eMA）.從而

1￡拶7（6人）》，故A三卬（A））.

若少是單射.則任取>6>7（中〈A）），必MGCpCA）,從而有

zGA使中（*>=0>）.但因p是單射，故

>=HGA,p7（MA）?A.

因此，，（P（A））=A..

2）任取yBWYB））,則有2￡"“舊》使丫=中（工）.但由于

工U中MB）,故3工）￡8,即y=0：N）￡B.因此

d*T（B））三民

又當中為滿射時，任取z'ea則存在sex使平（]）=]'.于

是,

tp~'CB）,P（工）Wi（B）），

即于（97（8））,故又有小中7（8）），因此

8.

證1）任取y￡p〈AUE）.則存在NEAIJB,使工）.

若HGA,貝”手（工）￡孑（A）,于是

y—（p（.jr）E<jp（A）U卬<B）;

若HGB.則同理可得上式.因此

<p（.AUB）。中（A）Up（B）.

反之，任取>，W'（A》U（p（8）,不妨設3G+（A）.于是存在

工￡A使；y=￥（H）.而工￡AAAUB,因此

從而WA）Ua（B）^95（AUB）.故

9（A）U*（B）=+（AUiO.

2）任取yep（ACE）,則有使p〈z）=y

由于HGACB,故A,①WB.從而

）=牛（=>6A）,_y=Mz）ep（B）,

因此，_yWyi（A）故

cp（.AnB）A）n<p（j3）.

9.

證1)乘積S是集合A到C的映射.設且4r

皿，則由于o是單射，故

。(工]jr2)；

又由于r是單射，因此

r(?7(.ri>>^r(<T(x2)),即ra)<-rz)?

故”是集合A到C的單射.

反之，設m是A到。的單射，則對A中任二不同元素不，不有

(rrr)(Jti)—(r<r)-，r[a(-rtr￡<r(.x>)工

從而b(a?i)rs(k2)，即。是A到B的單射.

2)設都是滿射，則任取cEC,由于t是滿射，故存在6￡B

使

r(6)=c.(1)

又由于c是A到B的滿射，故對于有a￡A使

<T(￡l)=6.(2)

從而由(1),(2)得

r[夕(a)]=c,即(s)(a)=c.

亦即為是A到C的滿射.

反之,設乘積e是A到C的滿射.則任取。任。,必有。￡人使

(nj)(a)=c,即T[o(a)]=c.

現令5=則r(.b)=c.故r是集合R到C的滿射.

注應注意，當9是單射時，r不一定是單射.例如，A是正整

數集合，5與C都是整數集合，又

o：A----?B?a----*-a2

r1B-?C,b----?Ib|,

則易知乘積e是單射，但r不是單射.

對滿射也可舉出類似例子.

10.

證1)設b是單射，令B'={6'W'efi,6'Kb(A)},貝IJ

B=b(A)UB',且黃A)nS'=0

現任取一固定a'WA,則由于。是單射，故易知

r：b-----?a?當660(A),b=a(a〉；

b'一?/,當6,C.

是集合舊到A的一個映射，且對任意A都有

(TO")(a)—a,即rex=1A.

反之，若存在映射r：B-A使R=L,則因1A是雙射，當

妹是單射.故由上題知B是單射.

2)設b是滿射，則任取在A的子集。中任意取定

一個元素。，并令

T：B------A?b----丁(6)=a,

其中。3=也于是顯然對任意6W8都有

(crr><6)=zr<r(fe)>=cr(￡Z)—h.

因此crr=l;,.

反之，若存在映射r：B--A使”二1八則由干1口是雙射.

當然是滴射，故由上題知，。是滿射.

11.

證1)設】是單射，且g=仃2,其中n，r2都是集合X到A

的映射，則任取aGX,有

=

(tfTi)(a)=(ffr2)(a),<7(ri(a))tr(r2(a)).

因為o是單射，故口(a)=rz<a>,從而ri—r2.

反之，設對任意集合X到A的任意映射門，々，由。口=皿可

得口=功，則。必為單射.因若不然，則在A中存在元素卬#°2，使

。(“1)=0(5).今取X=A,并令n：x---?與0：1----*a2

(ViEX),則

(an)(x)=<r(n(z))=c(ai),

(or；)(x)=a(r2(x))=tF(<22).

但因(J(ai)=。(如)，故(。口)(H)=(<7T2)(H),從而

(JT\

又由于？1(1〉=。1戶牝=口(工)，故fiKrz.這與假設矛盾.因此u必

為單射.

2)設5為滿射，且72=口°,其中口，口是集合B到集合y的

兩個映射.則對任意6GB有aGA使4a)=6.于是

(Ti。)(a)=(r”〉(a),T\(/>)—tz(fr).

因此T)—T>.

反之，設對B到任意集合Y的任意映射ri.T2有口°=調。必

有門h?，則a必為滿射.因若不然，則必、

=聲0；

再任取一個階不小于2的集合V,則在丫中任意取定元素)及

yi^y?，易知

Y

n：b----*-V、E—*Vi與r25b--、B----?v?

是B到v的兩個不同映射，其中

—(A),"EB'.

且對集合A中任意元素a都有

（T]O）（a）=門（（r（a））Hy,

（女o）（a）=Q（o（a））=y.

從而給”=打。.但是Tj，矛盾.

因此,C必為滿射.

12.

證反證法.假設P（A）與A之間存在雙射令

下面來考察八AC

若fCACGA一則根據人之定義，Ai中無八A3矛盾；若

f（AQ與4，則同樣根據A）之定義，又有"A,）￡Ai，也矛盾.因

此,P（A）與A之間不存在雙射.

第二章群

§2.1群的定義和初步性質

一、主要內容

1.群和半群的定義和例子特別是一船線性群、〃次單位根群和四元數群等例子.

2.群的初步性質

1）群中左單位元也是右單位元且惟一；

2）群中每個元素的左逆元也是右逆元且惟一：

3）半群G是群o方程akb馬ya=b在G中有解