2023年高考數學模擬試卷

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.設正項等比數列｛q｝的前〃項和為S“，若$2=3,%+%=12,則公比4=（）

A.±4B.4C.±2D.2

2.已知復數z滿足訖=2+。則z的共朝復數是（）

A.-1-2zB.-1+2/C.1-2/D.l+2i

3.已知雙曲線。:耳-立=1（。>0）的一個焦點與拋物線/=8丫的焦點重合，則雙曲線。的離心率為（）

a~3

A.2B.73C.3D.4

4.已知函數/（x）的圖象如圖所示，則可以為（）

5.從5名學生中選出4名分別參加數學，物理，化學，生物四科競賽，其中甲不能參加生物競賽，則不同的參賽方案

種數為

A.48B.72C.90D.96

2x+y-2<Q

6.己知丫,7滿足不等式組,^-2^-140,則點尸（羽^）所在區域的面積是（）

x>0

54

A.1B.2C.-D.-

45

x-y+l<0,

7.已知EF為圓（x—Ip+（y+Ip=1的一條直徑，點M（x,y）的坐標滿足不等式組2x+y+3N0,則證.礪的

取值范圍為（）

"o']

A.I，13B.[4,13]

c.[4,12]D-I，12

8.點。為A4BC的三條中線的交點，且Q4_LQB,AB=2,則恁.前的值為（）

A.4B.8C.6D.12

9.若集合A={x||x|<2,xeR},B={>>|y=-x2,xe/?},則ACB=（）

A.{x|0<x<2}B.{x|x<2}C.{x|-2<x<0}D.0

10.在AABC中，內角A的平分線交8C邊于點。，AB=4,AC=8,BD=2,則的面積是（）

A.160B.Ji?C.3D.8G

11.已知底面是等腰直角三角形的三棱錐P-A8C的三視圖如圖所示，俯視圖中的兩個小三角形全等，則（）

Q

A.PA,PB,PC兩兩垂直B.三棱錐P-45C的體積為§

C.\PA\=\PB\=\PC\=s/6D.三棱錐P-A8C的側面積為3蓬

12.直三棱柱ABC-A4cl中，CA=CC、=2CB,ACLBC,則直線BQ與Ag所成的角的余弦值為（）

A石n下「2亞八3

A.—B.C.----D.—

5355

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知數列{q}滿足q=1,g=g對任意〃N2,〃eN*,若（a,,.,+2tz?+1）=3a?_{an+{,則數列{a,}的通項公式

14.高三（1）班共有56人，學號依次為1,2,3,…，56,現用系統抽樣的辦法抽取一個容量為4的樣本，已知學

號為6,34,48的同學在樣本中，那么還有一個同學的學號應為.

15.已知AABC內角A、B、C的對邊分別為。、b、c,a=2出力=4,A4BC外接圓的面積為4萬，則A4BC的面積

為.

16.根據記載，最早發現勾股定理的人應是我國西周時期的數學家商高，商高曾經和周公討論過“勾3股4弦5”的問

題.現有AABC滿足“勾3股4弦5”，其中“股”45=4,。為“弦”8C上一點(不含端點)，且滿足勾股定理,

則轉_叫而=.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17

17.(12分)已知等比數列｛4｝是遞增數列，且q+q=彳，a2a=4.

(1)求數列｛《,｝的通項公式；

(2)若4=w.(〃eN*),求數列他,｝的前〃項和S“.

18.(12分)已知拋物線卬：丁2=2〃吠〃>0)上一點。92)到焦點尸的距離為2,

(1)求/的值與拋物線W的方程；

(2)拋物線上第一象限內的動點A在點C右側，拋物線上第四象限內的動點8,滿足。4_LBF,求直線AB的斜率

范圍.

19.(12分)直線/與拋物線C:y2=2px(p>0)相交于「，。兩點，且QPLOQ,若「，。到x軸距離的乘積為16.

(1)求。的方程；

(2)設點尸為拋物線。的焦點，當APEQ面積最小時，求直線/的方程.

20.(12分)已知數列｛4｝滿足4=2,%+|=2%+2"(〃eN"),其前〃項和為S..

(1)通過計算為，墨，?，猜想并證明數列｛%｝的通項公式；

(2)設數列｛〃｝滿足4=1,=若數列｛%｝是單調遞減數列，

求常數，的取值范圍.

21.(12分)已知函數/(同二紋不"―1.

(1)證明：當x>()時，/>%；

(2)若函數/(x)只有一個零點，求正實數a的值.

22.(10分)已知函數/1(x)=lnx—<xv+a,其中a〉O.

(1)討論函數/(x)的零點個數；

(2)求證：e'+sinx>xlnx+l.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.D

【解析】

由S?=3得4+%=3,又/+%=(%+“2)/=12,兩式相除即可解出4.

【詳解】

解：由$2=3得4+4=3,

2

又用+4=(?i+a2)q=12,

/.q2=4,：.q--2,或q=2,

又正項等比數列得q＞。，

:.q=2,

故選：D.

【點睛】

本題主要考查等比數列的性質的應用，屬于基礎題.

2.D

【解析】

兩邊同乘“，化簡即可得出答案.

【詳解】

i?z=2+i兩邊同乘-i得z=L2i,共物復數為1+2。選D.

【點睛】

z=a+bi(a,beR)的共加復數為^=a-hi

3.A

【解析】

根據題意，由拋物線的方程可得其焦點坐標，由此可得雙曲線的焦點坐標，由雙曲線的幾何性質可得片+3=4,解

可得a=l,由離心率公式計算可得答案.

【詳解】

根據題意，拋物線/=8＞，的焦點為（0,2）,

22

則雙曲線與—土=1的焦點也為（0,2）,即。=2,

a23

則有/+3=4,解可得a=l,

雙曲線的離心率6=￡=2.

a

故選：A.

【點睛】

本題主要考查雙曲線、拋物線的標準方程，關鍵是求出拋物線焦點的坐標，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.

4.A

【解析】

根據圖象可知，函數/（X）為奇函數，以及函數在（0,+紇）上單調遞增，且有一個零點，即可對選項逐個驗證即可得出.

【詳解】

首先對4個選項進行奇偶性判斷，可知，/（x）=e'-eT為偶函數,不符合題意，排除B；

X

pl-V|

其次，在剩下的3個選項，對其在（0,+8）上的零點個數進行判斷，/（無）=二在（0,+8）上無零點，不符合題意，排除

X

2

D；然后，對剩下的2個選項，進行單調性判斷，/（幻=1-］在（0,+。）上單調遞減，不符合題意，排除C

故選：A.

【點睛】

本題主要考查圖象的識別和函數性質的判斷，意在考查學生的直觀想象能力和邏輯推理能力，屬于容易題.

5.D

【解析】

因甲不參加生物競賽，則安排甲參加另外3場比賽或甲學生不參加任何比賽

①當甲參加另外3場比賽時，共有C3'?A；=72種選擇方案;②當甲學生不參加任何比賽時，共有A/=24種選擇方案.綜

上所述，所有參賽方案有72+24=96種

故答案為：96

點睛：本題以選擇學生參加比賽為載體，考查了分類計數原理、排列數與組合數公式等知識，屬于基礎題.

6.C

【解析】

畫出不等式表示的平面區域，計算面積即可.

【詳解】

不等式表示的平面區域如圖：

y

0(0,-g)，C(0,2),怛必=乎，忸q=6所以陰影部分面積%8=(忸0|?忸==；

故選：C.

【點睛】

本題考查不等式組表示的平面區域面積的求法，考查數形結合思想和運算能力，屬于常考題.

7.D

【解析】

首先將該?標轉化為祈②_1，只需求出的取值范圍即可，而MT表示可行域內的點與圓心7(1,-1)距離，數

形結合即可得到答案.

【詳解】

作出可行域如圖所示

設圓心為則何?赤=(而+定)?(而+取")=

’?‘.?21'>2.2

(MT+TE)(MT-TE)=MT-TE=MT-b

過T作直線X-y+l=O的垂線，垂足為B,顯然MBWMTWMA，又易得A(—2,1),

^p_|l-(-l)+l|_3V2

所以M4=7[1-(-2)]2+(-1-1)2=V13，ID=—.-=---,

2

--27

故MdM下:MT-le[-,12].

故選：D.

【點睛】

本題考查與線性規劃相關的取值范圍問題，涉及到向量的線性運算、數量積、點到直線的距離等知識，考查學生轉化

與劃歸的思想，是一道中檔題.

8.B

【解析】

2AC-BC=3AOAC=2A0+B0

可畫出圖形，根據條件可得,從而可解出《一一一，然后根據。4_LO6,AB=2進

2BC-AC=?>BdBC=2B0+A0

行數量積的運算即可求出ACBC=（2AO+BO）（2W+^0）=8.

【詳解】

如圖：

B

點。為AABC的三條中線的交點

:.AO=-(AB+AC)=-(2AC-BC),BO=-(BA+BC)=-(2BC-AC)

3333

2AC-BC=3AOAC=2A0+W

,由《可得:

2BC-AC=3BOBC=2B0+A0

又因OA_LO6,AB=2,

222

ACBC^(2AO+BO)(2BO+AO)=2AO'+2BO=2AB=8?

故選：B

【點睛】

本題考查三角形重心的定義及性質，向量加法的平行四邊形法則，向量加法、減法和數乘的幾何意義，向量的數乘運

算及向量的數量積的運算，考查運算求解能力，屬于中檔題.

9.C

【解析】

試題分析：化簡集合〃=[-Z2I3=(YO,OL二〃03=[-20]

故選C.

考點：集合的運算.

10.B

【解析】

利用正弦定理求出CO,可得出8C,然后利用余弦定理求出cos8,進而求出sin8,然后利用三角形的面積公式可

計算出AA8D的面積.

【詳解】

?.?4)為的角平分線，則N84O=NC4Z>.

-.■ZADB+ZADC=7r,則NADC=;r—NADB,

.-.sinZADC=sin（萬一ZADB）=sinZADB,

在△A6￡）中，由正弦定理得---------=----------,即----------=----------

sinZADBsinNBA。sinZADBsinABAD

在A4CD中，由正弦定理得---------=-----------,即----------=----------

sinZADCsinZADCsinZADCsinZCAD

2I

①十②得k=1,解得8=4,.?.BC=BO+CD=6,

CD2

r+i汨r>AB~+BC~—AC~1.rJl5

由余弦定理得cosB-------------------------——，sinjB=Vl-cos-B=------

2ABBC44

因此，AABO的面積為SMB0=；AB-6Osin8=A.

故選：B.

【點睛】

本題考查三角形面積的計算，涉及正弦定理和余弦定理以及三角形面積公式的應用，考查計算能力，屬于中等題.

11.C

【解析】

根據三視圖，可得三棱錐P-A8C的直觀圖，然后再計算可得.

【詳解】

解：根據三視圖，可得三棱錐P-A3C的直觀圖如圖所示,

其中。為A8的中點，底面ABC.

114

所以三棱錐P-48c的體積為一x—x2x2x2=—,

323

.?.|AC|=|BC|=|Pq=2,.?.恒邳=J|ACf+忸=2及,.-.|m|=|DB\=\DC\=42,

：\PA|=|PB|=|PC\=,+（V2）123*=76,

-,-\PAf+\PBf^\ABf,.-.PA，PB不可能垂直，

即PA,PB,PC不可能兩兩垂直,

,?tSSPBA=1x2V2X2=2V2,?；S"BC=S*AC=?戊）2一寸X2=^5.

三棱錐P-ABC的側面積為2#）+272.

故正確的為C.

故選：C.

【點睛】

本題考查三視圖還原直觀圖，以及三棱錐的表面積、體積的計算問題，屬于中檔題.

12.A

【解析】

設C4=CC|=2CB=2,延長A至。，使得連BD,CQ,可證4V/BO,得到NC/。（或補角）

為所求的角，分別求出BG，Ag，C。，解AGB。即可.

【詳解】

設CA=CG=2C8=2,延長A4至。，使得4瓦=4。，

連8D,CQ,在直三棱柱ABC-44G中，AB//AlBi,AB=AtBt,

AB//B,D,AB=B、D,四邊形A8。4為平行四邊形，

:.ABJIBD,:.NC\BD（或補角）為直線與A用所成的角,

在RfABCq中,Be】ZcCj+BC?=小,

在m△A4cl中，A4={A]C：+B]C：=d,cosNB[4G=2

7r

在中,

C,D2^C,2+A,D2-2^0,-A,DcosZB^C,=4+20—16=8,

2523

在中，AB,=7M+AI=-'-BD=AB]=3,

8G2+B￡)2—CQ25+9-8石

在△8C[￡)中,cosZCjBD=

2BC~BD—66―T

故選：A.

【點睛】

本題考查異面直線所成的角，要注意幾何法求空間角的步驟“做”“證”“算”缺一不可，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

【解析】

由4(a,,_l+2an+l)=3an_ian+i可得--------=2(-------),利用等比數列的通項公式可得---------=2”,再利用

"??+1勺4%4用4

累加法求和與等比數列的求和公式，即可得出結論.

【詳解】

..11,11、

a2

由?+2。“+J=3a?.1a,(+1,得；;-----=(———)

Un+\UnUnUn-\

11cc1L

-----=2,數歹！J{-------}是等比數列，首項為2,公比為2,

a

?244田n

I_7n

=2"-'+2n-2+---+2+l=------=2"-I,

1-2

,1,1

〃=1，7=1,滿足上式，??=-.

故答案為:一

2—1

【點睛】

本題考查數列的通項公式，遞推公式轉化為等比數列是解題的關鍵，利用累加法求通項公式，屬于中檔題.

14.20

【解析】

根據系統抽樣的定義將56人按順序分成4組，每組14人，則1至14號為第一組，15至28號為第二組，29號至42

號為第三組，43號至56號為第四組.而學號6,34,48分別是第一、三、四組的學號，所以還有一個同學應該是15+6-1=20

號，故答案為20.

15.2A/3

【解析】

由外接圓面積，求出外接圓半徑，然后由正弦定理可求得三角形的內角A6,從而有C,于是可得三角形邊長，可得

面積.

【詳解】

設外接圓半徑為「，貝”=兀/=4兀/=2,

71

由正弦定理=2r=4,得sinA=—,sinB=1，

sinAsinB2A孕吟°6

，c=2,a=2^3>S=^ac=2\[3.

故答案為：26.

【點睛】

本題考查正弦定理，利用正弦定理求出三角形的內角，然后可得邊長，從而得面積，掌握正弦定理是解題關鍵.

144

16.--

25

【解析】

先由等面積法求得AD,利用向量幾何意義求解即可.

【詳解】

3x412

由等面積法可得AD=w=不，依題意可得，AD±BC,

所以（0月一直）45=4反45=|而『=易.

,144

故答案為：-

【點睛】

本題考查向量的數量積，重點考查向量數量積的幾何意義，屬于基礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

21

17.(1)??=2-⑵S,l=i+(n-l)2-

【解析】

(D先利用等比數列的性質，可分別求出4，%的值，從而可求出數列｛4｝的通項公式；(2)利用錯位相減求和法可

求出數列也｝的前〃項和S”.

【詳解】

17

解：(1)由｛%｝是遞增等比數列，4+=萬，~a\a5=4,

f171仙=8

Qi+Qq5=——4M—

聯立彳'2,解得「2或_]_9

%%=4[%=8r5-2

因為數列｛4｝是遞增數列，所以只有符合題意，

q=8

則/=&=16,結合“>()可得4=2,

a\

數列｛《,｝的通項公式：%=2"-2；

(2)由2=〃&(〃eN*),

,]

...2=〃-2"-2；.?.5=/；

那么S“=lx2T+2x2°+3x2i+—+w-2"2,①

則2s“=lx2°+2x2i+3x22+...+(〃-l)2"-2+/z.2"T,②

將②-①得：

2nl,1

Sn=—QT+2。+2+2?+2'-)+〃?=g—2"T+n-2~=；+(n-l)2'-.

【點睛】

本題考查了等比數列的性質，考查了等比數列的通項公式，考查了利用錯位相減法求數列的前〃項和.

2

18.(1)1；y=4x(2)kABe(-00,(0,+oo)

【解析】

(1)根據點CQ,2)到焦點戶的距離為2,利用拋物線的定義得f+"=2,再根據點在拋物線上有2pf=4,列方程

2

組求解,

(2)設A(幺,〃)(。>2),8(生力)(。<0),根據?A?勺8=-1=〃=6b再由。>2,b<0,求得

444一人

-4—26v〃v—2,當a=-b,即〃二一26時，直線斜率不存在；當。工一匕時，

4=4f

AB白/a+bl6b20b—尸，令/(幻=妥*，利用導數求解，

-------"7T十020b—b

444-Z?

【詳解】

(1)因為點CQ,2)到焦點尸的距離為2,

即點C億2)到準線的距離為2得f+3=2,

2

又2Pt=4,解得p=2,f=l,

所以拋物線方程為V=4x

a2b2

(2)設A(—,")(a>2),5(—力)3<0),

44

,,,.16〃

由=-1=>a=匚廬

由。>21<0,則4一從<0,-^〉2=>7—26<8<一2

4-b~

當a=-〃，即人=一2逐時，直線斜率不存在；

_b-a_4_4_4(4-Z?2)

當ax—Z?時，AB~b2a2~~a+b~~20b-b3

---------------7+b

444一從

人，/、44—〃80-8/

令f(x)=--------(x)=4--------------------1?一<n0,

20b-廿'(20心-獷

所以在(-4-2A/5,-2A/5),(-2A/5,-2)上分別遞減

1_,/5

則kAB€(-00,—廣)D(0,+8)

【點睛】

本題主要考查拋物線定義及方程的應用，還考查了分類討論的思想和運算求解的能力，屬于中檔題,

19.(1)y2=4x；(2)x=4

【解析】

(1)設出兩點的坐標，由距離之積為16,可得X%=T6.利用向量的數量積坐標運算，將OP_LOQ轉化為

麗-0。=%/+乂%=0.再利用兩點均在拋物線上，即可求得p的值，從而求出拋物線的方程；

(2)設出直線/的方程，代入拋物線方程，由韋達定理發現直線，恒過定點M(4,0),將APFQ面積用參數，表示，

求出其最值，并得出此時的直線方程.

【詳解】

解：(1)由題設P(ax),Q(x2,y2)

因為P,。到x軸的距離的積為16,所以y%=T6,

又因為QP_LOQ,.?.麗.詼=玉%+凹方=0，

y；￡256.c

...X1X9=16=—?二———,..p=2

廠2p2p4P2

所以拋物線C的方程為>2=4x.

(2)因為直線/與拋物線兩個公共點，所以/的斜率不為0,

所以設d：》="+加

x=ty+m

聯立s，得廣-4ty-4m=0,

y2=4x

即y+%=4/,>1>2=-16=-4根，

/.m=4

即直線/恒過定點M(4,0),

所以“呻TFMIM_=|川6/+64,

當。=0時，APFQ面積取得最小值12,此時x=4.

【點睛】

本題考查了拋物線的標準方程的求法，直線與拋物線相交的問題，其中垂直條件的轉化，直線過定點均為該題的關鍵,

屬于綜合性較強的題.

20.(1)a?=(n+l)-2n-',證明見解析；(2)I

【解析】

(1)首先利用賦值法求出去與，去的值，進一步利用定義求出數列的通項公式；⑵首先利用疊乘法求出數列的通

項公式，進一步利用數列的單調性和基本不等式的應用求出參數，的范圍.

【詳解】

(1)數列伍“｝滿足4=2,=2%+2"(neN*),其前〃項和為S?.

所以％=2。］+2=6,%=2%+2?=16,

則2=2,"=3,烏=4,

2°222

所以猜想得：4=(〃+1).2"。

證明：由于a-=24+2”,

所以4號=工+,，

2"+'2"2

則:居-E(常數)'

所以數列｛妥｝是首項為1，公差為;的等差數列.

所以/=l+g("-l)=g+］，整理得”“=(〃+De,

(2)數列曲,｝滿足4=1,%=二〃(〃€%*),

71+2

%hn-2瓦n+\n43'

所以“=小.貝匹廣(高

794?

所以"=2向(寸—，-)=2"大-'+力

4A，ot>__4______2_=____2_n___2

所以------1---------<0,整理得〃+2H+1n24-3n+22

H+-+3

〃+2724-1n

2-------1

由于〃+*+3..6,所以3/3,即，>一.

n〃+—+33

n

【點睛】

本題考查的知識要點：數列的通項公式的求法及應用，疊乘法的應用，函數的單調性在數列中的應用，基本不等式的

應用，主要考察學生的運算能力和轉換能力，屬于中檔題型.

21.(1)證明見解析；(2)

2

【解析】

(1)把/轉化成x>|lnx,令g(x)=x-14nx,由題意得，即證明8(%)向,>()恒成立，通過導數求證即可

_(_2f

(2)直接求導可得，、"廠a/，令/(%)=0,得x=2——或x=0,故根據0與2+—的大小關

J(%)=--------------------aa

e

系來進行分類討論即可

【詳解】

證明：(1)令g(x)=x-^lnx,則g〈x)=l一~—=.

22s

分析知，函數g(x)的增區間為(|,+司，減區間為：0，"

所以當時，g(x)m「g(|)=|一|ln|=|(lTnm(|(l_ln|)>0).

所以x>|lnx,即x〉m)，

所以er〉j.

所以當x>0時，e”〉?

解：(2)因為/(幻=加+尤+1—1,所以_“3+(2A_1)X「口一一廠卜

//⑴=

討論：

IX2(X2\

①當。=時，/'U)=--—喬4°，此時函數/(X)在區間(一”)上單調遞減?

又/(0)=0,

故此時函數/(X)僅有一個零點為0；

②當0<4<g時，令/(力>0,得好！<x<0,故函數/(x)的增區間為(牛Lo),減區間為,00,《1)

(0,+co).

又極大值/(0)=0,所以極小值/(-']<().

當x<—時，有Ove"<l.

a

yLax2+x+l>ax2+x>0,此時

故當0<a<；時，函數/(X)還有一個零點，不符合題意；

③當a>(時,令/(%)>0得0<x<§」，故函數/(x)的增區間為(0,號」)，減區間為(―8,0),('」,+8

又極小值/(o)=o,所以極大值/(用二1)〉。.

若x>2,貝