垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．知識(shí)要點(diǎn)DOABEC垂徑定理2021/5/91AE＝BEAC＝BCAD＝BD⌒⌒⌒⌒CD是直徑，AB是弦，CD⊥AB①直徑過圓心②垂直于弦③平分弦④平分弦所對(duì)的優(yōu)弧⑤平分弦所對(duì)的劣弧題設(shè)結(jié)論DOABEC垂徑定理將題設(shè)與結(jié)論調(diào)換過來，還成立嗎？這五條進(jìn)行排列組合，會(huì)出現(xiàn)多少個(gè)命題？2021/5/92①直徑過圓心③平分弦②垂直于弦④平分弦所對(duì)優(yōu)弧⑤平分弦所對(duì)的劣弧（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．垂徑定理的推論1DOABEC已知：CD是直徑，AB是弦，CD平分AB求證：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC⌒⌒⌒⌒2021/5/93一個(gè)圓的任意兩條直徑總是互相平分，但它們不一定互相垂直．因此這里的弦如果是直徑，結(jié)論不一定成立．OABMNCD注意為什么強(qiáng)調(diào)這里的弦不是直徑？2021/5/94①直徑過圓心④平分弦所對(duì)優(yōu)弧③平分弦②垂直于弦⑤平分弦所對(duì)的劣弧垂徑定理的推論1（2）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧．已知：CD是直徑，AB是弦，并且AC＝BC

求證：CD平分AB，CD⊥AB，AD＝BD⌒⌒⌒⌒DOABEC2021/5/95①直徑過圓心⑤平分弦所對(duì)的劣弧③平分弦④平分弦所對(duì)優(yōu)弧②垂直于弦垂徑定理的推論1（2）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧．已知：CD是直徑，AB是弦，并且AD＝BD

求證：CD平分AB，CD⊥AB，AC＝BC⌒⌒⌒⌒DOABEC2021/5/96②垂直于弦③平分弦①直徑過圓心④平分弦所對(duì)優(yōu)弧⑤平分弦所對(duì)的劣弧（3）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．垂徑定理的推論1已知：AB是弦，CD平分AB，CD⊥AB，求證：CD是直徑，AD＝BD，AC＝BC⌒⌒⌒⌒DOABEC2021/5/97②垂直于弦④平分弦所對(duì)優(yōu)弧①直徑過圓心③平分弦⑤平分弦所對(duì)的劣弧推論1的其他命題......②垂直于弦⑤平分弦所對(duì)的劣弧①直徑過圓心③平分弦④平分弦所對(duì)優(yōu)弧（4）垂直于弦并且平分弦所對(duì)的一條弧的直徑過圓心，并且平分弦和所對(duì)的另一條弧．2021/5/98③平分弦④平分弦所對(duì)優(yōu)弧①直徑過圓心②垂直于弦⑤平分弦所對(duì)的劣弧（5）平分弦并且平分弦所對(duì)的一條弧的直徑過圓心，垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧．③平分弦⑤平分弦所對(duì)的劣弧①直徑過圓心②垂直于弦④平分弦所對(duì)優(yōu)弧2021/5/99④平分弦所對(duì)優(yōu)弧⑤平分弦所對(duì)的劣弧①直徑過圓心②垂直于弦③平分弦（6）平分弦所對(duì)的兩條弧的直徑過圓心，并且垂直平分弦．2021/5/910∴AM＝BM，

CM＝DM⌒⌒⌒⌒垂徑定理的推論2圓的兩條平行弦所夾的弧相等．MOABNCD證明：作直徑MN垂直于弦AB∵AB∥CD

∴直徑MN也垂直于弦CD∴AM－CM＝BM－DM

⌒⌒⌒⌒⌒⌒即AC＝BD2021/5/911ABCD兩條弦在圓心的同側(cè)兩條弦在圓心的兩側(cè)垂徑定理的推論2有這兩種情況：OOABCD2021/5/912CDABE已知：AB．求作：AB的中點(diǎn)．⌒⌒點(diǎn)E就是所求AB的中點(diǎn)．⌒作法：1．連結(jié)AB．2．作AB的垂直平分線CD，交AB于點(diǎn)E．⌒小練習(xí)2021/5/913ABCDE已知：AB．求作：AB的四等分點(diǎn)．⌒⌒作法：1．連結(jié)AB．3．連結(jié)AC．2．作AB的垂直平分線，交AB于點(diǎn)E．⌒4．作AC的垂直平分線，交AC于點(diǎn)F．⌒5．點(diǎn)G同理．點(diǎn)D、C、E就是AB的四等分點(diǎn)．⌒2021/5/914ABC作AC的垂直平分線作BC的垂直平分線這種方法對(duì)嗎？等分弧時(shí)一定要作弧所夾弦的垂直平分線．×2021/5/915CABO你能確定AB的圓心嗎？⌒作法：1．連結(jié)AB．2．作AB的垂直平分線，交AB于點(diǎn)C．⌒3．作AC、BC的垂直平分線．4．三條垂直平分線交于一點(diǎn)O．點(diǎn)O就是AB的圓心．⌒2021/5/9162021/5/917你能破鏡重圓嗎？ABCmnO作弦AB、AC及它們的垂直平分線m、n，交于O點(diǎn)；以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓．作法：依據(jù)：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．2021/5/918垂徑定理三角形d+h=rdhar有哪些等量關(guān)系？在a，d，r，h中，已知其中任意兩個(gè)量，可以求出其它兩個(gè)量．2021/5/919課堂小結(jié)1．圓是軸對(duì)稱圖形任何一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸．O2021/5/920

垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．2．垂徑定理DOABEC2021/5/921條件結(jié)論命題①③②④⑤①④②③⑤①⑤②③④②③①④⑤②④①③⑤②⑤①③④③④①②⑤③⑤①②④④⑤①②③平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦并且平分弦所對(duì)的兩條弧．平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧．弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧．垂直于弦并且平分弦所對(duì)的一條弧的直線經(jīng)過圓心，并且平分弦和所對(duì)的另一條弧．平分弦并且平分弦所對(duì)的一條弧的直線經(jīng)過圓心，垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧．平分弦所對(duì)的兩條弧的直線經(jīng)過圓心，并且垂直平分弦．3．垂徑定理的推論2021/5/922

經(jīng)常是過圓心作弦的垂線，或作垂直于弦的直徑，連結(jié)半徑等輔助線，為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件．4．解決有關(guān)弦的問題2021/5/9231．判斷：（1）垂直于弦的直線平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩弧．（）（2）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑一定平分這條弦所對(duì)的另一弧．（）（3）經(jīng)過弦的中點(diǎn)的直徑一定垂直于弦．（）（4）圓的兩條弦所夾的弧相等，則這兩條弦平行．（）（5）弦的垂直平分線一定平分這條弦所對(duì)的弧．（）√√隨堂練習(xí)2021/5/9242．在⊙O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求⊙O的半徑．·OABE解：答：⊙O的半徑為5cm．2021/5/9254．已知在⊙O中，弦AB的長為16cm，圓心O到AB的距離為6cm，求⊙O的半徑．解：連結(jié)OA．過O作OE⊥AB，垂足為E，則OE＝3cm，AE＝BE．∵AB＝16cm∴AE＝8cm

在Rt△AOE中，根據(jù)勾股定理有OA＝10cm

∴⊙O的半徑為10cm．．AEBO2021/5/9264、如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于E，CE=1，AB=10，求直徑CD的長。·OABECD解：連接OA，∵CD是直徑，OE⊥AB∴AE=1/2AB=5設(shè)OA=x，則OE=x-1，由勾股定理得x2=52+(x-1)2解得：x=13∴OA=13∴CD=2OA=26即直徑CD的長為26.