課時作業(二十二)圓柱、圓錐、圓臺、球的外表積和體積一、選擇題1.假設圓錐的高等于底面直徑，那么它的底面積與側面積之比為()∶2 B.1∶eq\r(3)C.1∶eq\r(5) D.eq\r(3)∶2答案：C2.圓臺上、下底面面積分別是π，4π，側面積是6π，這個圓臺的體積是()A.eq\f(2\r(3)π,3) B.2eq\r(3)πC.eq\f(7\r(3)π,6) D.eq\f(7\r(3)π,3)答案：D3.(多項選擇)如圖，一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑2R相等，以下結論正確的選項是()R2R2D.圓柱、圓錐、球的體積之比為3∶1∶2答案：CD解析：依題意得球的半徑為R，那么圓柱的側面積為2πR×2R＝4πR2，∴A錯誤；圓錐的側面積為πR×eq\r(5)R＝eq\r(5)πR2，∴B錯誤；球面面積為4πR2，∵圓柱的側面積為4πR2，∴C正確；∵V圓柱＝πR2·2R＝2πR3，V圓錐＝eq\f(1,3)πR2·2R＝eq\f(2,3)πR3，V球＝eq\f(4,3)πR3，∴V圓柱∶V圓錐∶V球＝2πR3∶eq\f(2,3)πR3∶eq\f(4,3)πR3＝3∶1∶2，∴D正確．應選CD.4.?九章算術?是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題：“今有委米依恒內角，下周八尺，高五尺，問：積及為米幾何？〞其意思為：“在屋內墻角處堆放米(如下圖，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？〞1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有() B.22斛C.36斛 D.66斛答案：B5.等邊圓柱(軸截面是正方形)、球、正方體的體積相等，它們的外表積的大小關系是()A.S球<S圓柱<S正方體 B.S正方體<S球<S圓柱C.S圓柱<S球<S正方體 D.S球<S正方體<S圓柱答案：A6.圓臺的上、下底面半徑和高的比為1∶4∶4，假設母線長為10，那么圓臺的外表積為() B.100πC.168π D.169π答案：C7.(多項選擇)如下圖，△ABC的三邊長分別是AC＝3，BC＝4，AB＝5，過點C作CD⊥AB，垂足為D.以下說法正確的選項是()BC所在直線為軸，將此三角形旋轉一周，所得旋轉體的側面積為15πBC所在直線為軸，將此三角形旋轉一周，所得旋轉體的體積為36πAC所在直線為軸，將此三角形旋轉一周，所得旋轉體的側面積為25πAC所在直線為軸，將此三角形旋轉一周，所得旋轉體的體積為16π答案：AD解析：以BC所在直線為軸旋轉時，所得旋轉體為底面半徑為3，母線長為5，高為4的圓錐，∴側面積為π×3×5＝15π，體積為eq\f(1,3)×π×32×4＝12π，∴A正確，B錯誤；以AC所在直線為軸旋轉時，所得旋轉體為底面半徑為4，母線長為5，高為3的圓錐，側面積為π×4×5＝20π，體積為eq\f(1,3)×π×42×3＝16π，∴C錯誤，D正確．應選AD.二、填空題8.假設圓錐的側面綻開圖是圓心角為180°，半徑為4的扇形，那么這個圓錐的外表積是________.答案：12π9.現有橡皮泥制作的底面半徑為5，高為4的圓錐和底面半徑為2，高為8的圓柱各一個．假設將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個，那么新的底面半徑為________.答案：eq\r(7)解析：設新的底面半徑為r，那么有eq\f(1,3)×πr2×4＋πr2×8＝eq\f(1,3)×π×52×4＋π×22×8，解得r＝eq\r(7).10.湖面上漂著一個小球，湖水結冰后將球取出，冰面上留下了一個直徑為6cm，深為1cm的空穴，那么該球的半徑是________cm，外表積是________cm2.答案：5100π三、解答題△ABC中，C＝90°，分別以AC，BC，AB所在直線為軸旋轉一周所得三個幾何體的體積分別為V1，V2，V.求證：eq\f(1,V2)＝eq\f(1,V\o\al(2,1))＋eq\f(1,V\o\al(2,2)).證明：如圖，設AC＝b，BC＝a，作CH⊥AB于H，那么AB＝eq\r(a2＋b2).由射影定理，得AH＝eq\f(b2,\r(a2＋b2))，BH＝eq\f(a2,\r(a2＋b2))，CH2＝AH·BH＝eq\f(a2b2,a2＋b2).三個幾何體分別是兩個圓錐和組合體(有公共底面的圓錐組合體)，依題意，得V1＝eq\f(1,3)πS1h1＝eq\f(1,3)πa2b，V2＝eq\f(1,3)S2h2＝eq\f(1,3)πb2a，V＝eq\f(1,3)π·CH2·AB＝eq\f(1,3)π·eq\f(a2b2,a2＋b2)·eq\r(a2＋b2)＝eq\f(1,3)π·eq\f(a2b2,\r(a2＋b2))，所以eq\f(1,V\o\al(2,1))＋eq\f(1,V\o\al(2,2))＝eq\f(9a2＋b2,π2a4b4)＝eq\f(1,V2).12.一個高為16的圓錐內接于一個體積為972π的球，在圓錐里又有一個內切球．求：(1)圓錐的側面積；(2)圓錐內切球的體積.解：(1)如下圖，作出軸截面，那么等腰△SAB內接于⊙O，而⊙O1內切于△SAB.設⊙O的半徑為R，那么有eq\f(4,3)πR3＝972π，所以R3＝729，RSE＝2R＝18.由于SD＝16，所以ED＝2.連接AE，又由于SE是直徑，所以SA⊥AE，SA2＝SD·SE＝16×18＝288，所以SA＝12eq\r(2).由于AB⊥SD，所以AD2＝SD·DE＝16×2＝32，所以AD＝4eq\r(2).所以S圓錐側＝π×4eq\r(2)×12eq\r(2)＝96π.(2)設內切球O1的半徑為r，由于△SAB的周長為2×(12eq\r(2)＋4eq\r(2))＝32eq\r(2)，所以eq\f(1,2)r×32eq\r(2)＝eq\f(1,2)×8eq\r(2)×16，所以r＝4.所以內切球O1的體積V球＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(256,3)π.13.軸截面為正三角形的圓錐內有一個內切球，假設圓錐的底面半徑為2，求球的體積.解：如下圖，作出軸截面，由于△ABC是正三角形，所以CD＝eq\f(1,2)AC＝2，所以AC＝4，AD＝eq\f(\r(3),2)×4＝2eq\r(3)，由于Rt△AOE∽Rt△ACD，所以eq\f(OE,AO)＝eq\f(CD,AC).設OE＝R，那么AO＝2eq\r(3)－R，所以eq\f(R,2\r(3)－R)＝eq\f(1,2)，所以R＝eq\f(2\r(3),3).所以V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))3＝eq\f(32\r(3)π,27).所以球的體積等于eq\f(32\r(3)π,27).14.一個圓錐的底面半徑為2cm，高為6cm，在其內部有一個高為xcm的內接圓柱.(1)求圓錐的側面積；(2)當x為何值時，圓柱的側面積最大？并求出側面積的最大值.解：(1)圓錐的母線長為eq\r(62＋22)＝2eq\r(10)(cm)，所以圓錐的側面積S1＝π×2×2eq\r(10)＝4eq\r(10)π(cm2).(2)畫出圓錐的軸截面如下圖.