學(xué)年第二學(xué)期數(shù)學(xué)與物理方程期末試卷出卷人：歐崢1、長(zhǎng)度為l的弦左端開始時(shí)自由，以后受到強(qiáng)度為的力的作用，右端系在彈性系數(shù)為k的彈性支承上面；初始位移為初始速度為試寫出相應(yīng)的定解問題。(10分)2、長(zhǎng)為的均勻桿，側(cè)面絕熱，一端溫度為0度，另一端有已知的恒定熱流進(jìn)入，設(shè)單位時(shí)間流入單位截面積的熱量為，桿的初始溫度分布是，試寫出其定解問題。(10分)3、試用分離變量法求定解問題(10分)：.4、分離變量法求定解問題(10分)5、利用行波法，求解波動(dòng)方程的特征問題（又稱古爾沙問題）(10分)：6、用達(dá)朗貝爾公式求解下列一維波動(dòng)方程的初值問題（10分） 7、用積分變換法求解定解問題（10分）：8、用積分變換法求解定解問題(10分)：9、用格林函數(shù)法求解定解問題(10分)：10、寫出格林函數(shù)公式（三維）及滿足的條件，并解釋其物理意義。(10分)

3、解令（2分），代入原方程中得到兩個(gè)常微分方程：，（2分），由邊界條件得到，對(duì)的情況討論，只有當(dāng)時(shí)才有非零解，令，得到為特征值，特征函數(shù)(1分)，再解，得到（2分），于是（1分）再由初始條件得到（1分），所以原定解問題的解為（1分）4、解：令 （1分）將其代入定解問題可以得到：（1分）（1分）(2)的解為：（2分）對(duì)于(1)，由分離變量法可得一般解為（2分）由初始條件可求得：(2分)所以，原定解問題的解為： (1分)5、解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at) （2分）令x-at=0得=F（0）+G（2x） （2分）令x+at=0得=F（2x）+G(0) （2分）所以F(x)=-G(0).G（x）=-F(0). （2分）且F（0）+G(0)= （1分）所以u(píng)(x,t)=+- （1分）即為古爾沙問題的解。6、解令(1分)，代入原方程中，將方程齊次化，因此(2分)，再求定解問題(2分)由達(dá)朗貝爾公式得到以上問題的解為 (4分)故 (1分)7、解對(duì)y取拉普拉斯變換(1分)，對(duì)方程和邊界條件同時(shí)對(duì)y取拉普拉斯變換得到(3分)，解這個(gè)微分方程得到(3分)，再取拉普拉斯逆變換有(2分)所以原問題的解為.(1分)8、解：對(duì)于初值問題關(guān)于x作Fourier變換，得： （2分）該方程變?yōu)閹?shù)的常微分方程的初值問題。解得 （2分）于是 （2分）則由，得：。 （2分）作像函數(shù)的Fourier逆變換（2分）9、解：設(shè)為下半平面中任意一點(diǎn)。已知二維調(diào)和函數(shù)的積分表達(dá)式為(1分)設(shè)為調(diào)和函數(shù)，則由第二格林公式知（2）（1）＋（2）可得(2分)若能求得滿足（3）則定義格林函數(shù)，則有(2分)由電象法可知，為的象點(diǎn)，故可取 (1分)顯然其滿足（3）。從而可得格林函數(shù)(3分)故而(1分)10、解：（1）格林函數(shù)公式（三維）為：G（M，M）=—g（M，M） （2分）其中函數(shù)g滿足的條件為：式中為區(qū)域的邊界曲面 （3分）（2）格林函數(shù)的物理意義：在某個(gè)閉合導(dǎo)電曲面內(nèi)M點(diǎn)處放一個(gè)單位正電荷，則有它在該導(dǎo)電曲面