例1（2020·陜西省成陽市期末）已知數列{an}滿足an＋1＝

，且a1＝3（n∈N*）．（1）證明：數列{

}是等差數列；（2）求數列{an}的通項公式．由遞推關系求等差數列的通項公式（1）由遞推關系式，結合等差數列的定義即可完成證明；解析：

（1）由得故數列{}是等差數列．（2020·陜西省成陽市期末）已知數列{an}滿足an＋1＝

，且a1＝3（n∈N*）．（1）證明：數列{

}是等差數列；（2）求數列{an}的通項公式．由遞推關系求等差數列的通項公式解析：

（2）由（1）知

所以（2）由（1）及等差數列的通項公式求出

的表達式，即得an．例1（2020·陜西省成陽市期末）已知數列{an}滿足an＋1＝

，且a1＝3（n∈N*）．（1）證明：數列{

}是等差數列；（2）求數列{an}的通項公式．由遞推關系求等差數列的通項公式名師點評：數列{an}未必是等差數列，但與之相關的數列{

}是等差數列，求出相關等差數列的通項公式，即得{an}的通項公式．例1由遞推關系求等差數列的通項公式例2已知數列{an}滿足an＋1＝3an＋3n（n∈N*），且a1＝1，求數列{an}的通項公式．解析：將an＋1＝3an＋3n兩邊同時除以3n＋1，將遞推關系式的兩邊同時除以3n＋1，通過觀察發現數列{}為等差數列，求其通項公式后易得數列{an}的通項公式．得即由等差數列的定義知，故an＝n·3n－1．數列{}是以

為首項，為公差的等差數列，所以

名師點評：對于此類遞推關系式，常常是將等式兩邊同時除以某個指數式．由遞推關系求等差數列的通項公式例3已知數列{an}滿足：an＋1＋an＝4n－3（n∈N*），且a1＝2，求數列{an}的通項公式．解析：由an＋1＋an＝4n－3得，an＋an－1＝4n－7（n≥2），將遞推關系式中的n替換為n－1，兩式相減得an＋1－an－1＝4（n≥2），由等差數列的定義知數列{an}的奇數項與偶數項分別構成以4為公差的等差數列，進而以奇、偶分類求通項公式．兩式相減得an＋1－an－1＝4（n≥2）．由等差數列的定義知，數列{an}的奇數項與偶數項分別構成以4為公差的等差數列．由遞推關系求等差數列的通項公式已知數列{an}滿足：an＋1＋an＝4n－3（n∈N*），且a1＝2，求數列{an}的通項公式．方法一

由a1＝2及a2＋a1＝1，知a2＝－1，將遞推關系式中的n替換為n－1，兩式相減得an＋1－an－1＝4（n≥2），由等差數列的定義知數列{an}的奇數項與偶數項分別構成以4為公差的等差數列，進而以奇、偶分類求通項公式．所以當n為奇數時，an＝a1＋（

－1）×4＝2n；當n為偶數時，an＝a2＋（

－1）×4＝2n－5．綜上，數列{an}的通項公式為an＝例3由遞推關系求等差數列的通項公式已知數列{an}滿足：an＋1＋an＝4n－3（n∈N*），且a1＝2，求數列{an}的通項公式．方法二

當n為奇數時，將遞推關系式中的n替換為n－1，兩式相減得an＋1－an－1＝4（n≥2），由等差數列的定義知數列{an}的奇數項與偶數項分別構成以4為公差的等差數列，進而以奇、偶分類求通項公式．a2k－1＝a1＋4（k－1）?當n為偶數時，an＝設n＝2k－1，k∈N*，則k＝

，an＝a1＋4（

－1）＝2n；設n＝2k，k∈N*，則k＝

，a2k＝a2＋4（k－1），a2＝－1?an＝2n－5．綜上，數列{an}的通項公式為例3名師點評：已知數列中相鄰兩項的和的遞推關系，將n替換為n＋1（或n－1）并將兩式相減，建立新的遞推關系是解題的突破口．解決本題時要注意，原數列的第n項或是奇數項中的第

項，或是偶數項中的第

項．由遞推關系求等差數列的通項公式已知數列{an}滿足：an＋1＋an＝4n－3（n∈N*），且a1＝2，求數列{an}的通項公式．將遞推關系式中的n替換為n－1，兩式相減得an＋1－an－1＝4（n≥2），由等差數列的定義知數列{an}的奇數項與偶數項分別構成以4為公差的等差數列，進而以奇、偶分類求通項公式．例3由遞推關系求等差數列的通項公式解題通法將遞推數列轉化為等差數列的常見形式當已知數列不是等差數列時，則需構造與之相關的等差數列，利用等差數列的通項公式，求出包含an的關系式，進而求出an．將題設中的遞推關系式轉化為等差數列的常見形式如下：轉化為（an＋2－an＋1）－（an＋1－an）＝常數，則數列{an＋1－an}是等差數列．轉化為

＝常數，則數列{}是等差數列．由遞推關系求等差數列的通項公式解題通法將遞推數列轉化為等差數