學(xué)院數(shù)計出卷教師系主任簽名制卷份數(shù)專業(yè)20級工科，本科B班級編號江漢大學(xué)20——20學(xué)年第2學(xué)期考試試卷課程編號：課程名稱：高等數(shù)學(xué)Ⅰ（2）試卷類型：A、B卷考試形式：開、閉卷考試時間：120分鐘選擇題（本大題共5小題，每題3分，共15分）1.過點(1,3)且切線斜率為2x的曲線方程y=y(x)應(yīng)滿足的關(guān)系式是(A)A.=2x,y(1)=3;B.=2x;C.=2x;D.=2x,y(1)=3.2.設(shè)f(x+y,)=x2—y2,則f(x,y)=(A)A.;B.;C.;D.. 3.=4在下列情況下成立的是(D)A.f(-x,y)=-f(x,y); B.f(-x,y)=f(x,y);C.f(-x,-y)=f(x,y); D..f(-x,y)=f(x,y)且f(x,-y)=f(x,y).4.設(shè)L為圓周在第一象限部分,則第一類曲線積分=(B)A.; B.;C.; D..5.下列級數(shù)中絕對收斂的有(C)A.;B;;C.;D..二、填空題（本大題共7小題，每題3分，共21分）1.微分方程y=x的通解為y=cx2+x2lnx.2.過點(1,1,2)且與平面x—2y+5z—1=0平行的平面方程為x—2y+5z—9=0.3.設(shè)=,則dz=dx-dy.4.函數(shù)在點P(1,0)處沿從點P(1,0)到點Q(2,—1)方向的方向?qū)?shù).5.I=,交換積分次序得I=.6.設(shè)為錐面被z=0和平面z=3所截得的部分，則對面積的曲面積分=.7.函數(shù)f(x)=ln(1+x)展開成x-2的冪級數(shù)為f(x)=ln3+.計算題（本大題共6小題，每題8分，共48分）1.求微分方程的通解.解:特征方程解為，對應(yīng)齊次方程的通解為，由觀察法可設(shè)，代人原方程得,特解，故所求通解為=.2.求過點（－3，2，5）且與兩平面和的交線平行的直線方程.解:故所求直線方程為.3.設(shè)u=f(x,),其中f具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),求,.解:=+=+=……=++.4.計算I=,其中由錐面z=與z=1所圍成的閉區(qū)域.解:用柱面坐標(biāo)計算I==……=.5.計算曲線積分,其中L是從A(1,0)沿y=2上到點B(－1,0)的上半橢圓.解:由于=―2,=1,故可補線路用格林公式計算.=―=― =3+0=3()=3.6.求級數(shù)在收斂域內(nèi)的和函數(shù)并求.解:=x,=1收斂域為，令S(x)=,積分得===―1+，求導(dǎo)得=，―1<x<1,=.應(yīng)用題（6分）

求原點到曲面上的最短距離.解:目標(biāo)函數(shù):d2=x2+y2+z2,約束條件為:=(x―y)2―z2―=0作L(x,y,z,)=x2+y2+z2+[(x―y)2―z2―]解得(,―,0)或(―,,0),故d2=,即d=五、證明題（本大題共2小題，每題5分，共10分）

1.設(shè)，f為可導(dǎo)函數(shù)，證明：.證明：=，=，代人左==右.六.綜合題（5分）驗證在區(qū)域，為某函數(shù)的全微分，并求.解:計算得==+=…=（或=）注：將試題答案或解答過程寫在答題紙上常用公式：1.:,可令特解k=0,1,2；，可令特解,k=0,1,2.拉格朗日乘數(shù)法：目標(biāo)函數(shù)：，條件：，求可能的極值點時，可作拉格朗日函數(shù)3.第一類曲線積分：，則第一類曲面積分：4.格林公式：5.，高等數(shù)學(xué)Ⅰ（2）B卷答題紙題號一二三四五總分總分人得分得分評分人一、選擇題（本大題共5小題，每題3分，共15分）

1.（）2.（）3.（）4.（）5.（）得分評分人填空題（本大題共7小題，每題3分，共21分）1.；2.；3.；4.；5.；6.；7..得分評分人計算題（本大題共6小題，每題8分，共48分）

1.2.3.4.5.6.得分評分人四、應(yīng)用題（6分）

得分評分人五、證明題（5分）得分評分人六、綜合題（5分）序言：除了級數(shù)與三重積分高數(shù)下的知識基本都在這里了，而且都是考試必備知識，所以哪個知識點沒弄懂一定要針對性地找點題目弄懂！第八章向量代數(shù)與空間解析幾何平面的點法式方程：設(shè)平面過P（x0,yo,z0）,法向量，則平面方程為：平面法向量一般求法：一般法向量與倆向量，，則，如果不會用行列式就用高中方法求法向量即由求第九章多元函數(shù)微分學(xué)二元函數(shù)：二元函數(shù)的極限：求法與一元基本一致，下判斷其存在性：一般找倆條特殊路線，若二者極限不相等則二重極限不存在，即常取，等簡單路線，若結(jié)果與K有關(guān)則極限不存在（注意一定要將給消掉）例.判斷下列二重極限是否存在，存在并求其值（2）（3）解：（1）取，則原式==，與K有關(guān)，故極限不存在（2）取。則原式==，與K有關(guān)，故極限不存在（3）此題無法利用上述方法判斷其是否存在，故直接求原式===（用了第二個重要極限）二元函數(shù)連續(xù)性：在連續(xù)等價于4.偏導(dǎo)數(shù)求法：對x求則把y看成常數(shù)，反之亦然例. 求 （為二階偏導(dǎo)）解.5.全微分幾個概念間關(guān)系可微函數(shù)一定連續(xù)（不連續(xù)一定不可微）可微則偏導(dǎo)一定存在（逆命題不成立）且(全微分公式)函數(shù)有一階連續(xù)偏導(dǎo)則函數(shù)一定可微偏導(dǎo)不存在一定不可微例.討論函數(shù)在是否可微解.思路：求其在點極限是否存在，判斷其連續(xù)性從而判斷其是否可微取，則==取決于，故在點極限不存在（即使存在若不等于0，該函數(shù)在點不連續(xù)，亦不可微），故在點不連續(xù)，故函數(shù)在不可微復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：分道相加，連線相乘中間函數(shù)為一元：則其中可用表示（f對一個變量的偏導(dǎo)）同理可用表示，這樣就避免了u、v在最后結(jié)果中出現(xiàn)了例.，求解.，，則中間函數(shù)為二元：則下面舉一個特別重要的例子例.具有二階連續(xù)偏導(dǎo)，，求解.，，則由于具有二階連續(xù)偏導(dǎo)，故（表示對第2個變量v的偏導(dǎo)，其他同理）故原式這種題一定要弄懂！！！隱函數(shù)微分法一個方程情形：則，則例.求全微分dz解.令則，故方程組情形（有3個未知量時求的是導(dǎo)數(shù)，有4個未知量時求的是偏導(dǎo)）方法：對方程兩邊同時對x或y或其他變量求（偏）導(dǎo)即可例（1）求，（2）求，解.（1）方程組兩邊同時對z求導(dǎo)得：解得（2）方程兩邊同時對x求偏導(dǎo)得：解得方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)：設(shè)二元函數(shù)在點處可微，則在點處沿任意方向的方向?qū)?shù)都存在，且其值：其中為對x軸正向的轉(zhuǎn)角例.求在點（1,0）處沿從點P(2,1)到點Q（3,0）方向的方向?qū)?shù)解.方向即為向量所指方向，=，故，又，所以，，代入公式即得梯度：在梯度為，它是一個向量。多元函數(shù)求極值方法：先求其一階偏導(dǎo)為0的點（即駐點），再求其二階偏導(dǎo)將所得駐點代入，若其值大于0則此駐點是極值點，且當(dāng)小于0時為極大值，大于0時為極小值例.求其極值解.令二者等于0可得駐點為（2，-2）二階偏導(dǎo)：，，故=4>0且=-2小于0所以（2，-2）為其極大值點，代入的得極大值為8多元函數(shù)微分學(xué)幾何應(yīng)用曲面在某點切平面求法，舉例說明（填空題極易考到）例.曲面在點（1,2,0）處的切平面方程是？解.先令對其分別求x,y,z偏導(dǎo)得故其在（1,2,0）切平面方程為代入數(shù)據(jù)即得方程為2x+y-4=0曲面在某一點的法線為：重積分二重積分求法匯總：直角坐標(biāo)法X-型區(qū)域：Y-型區(qū)域：例.計算二重積分：（1），其中為所圍成的平面區(qū)域。（2）,其中為拋物線和直線所圍成的平面區(qū)域。y2=xy2=xoyxy=x-2積后積。即使用X-型區(qū)域聯(lián)立方程，解得交點為：區(qū)域于是(先求后面積分，由于對y積=分故可先把x看做常數(shù)，求=得的結(jié)果直接當(dāng)做前面的被積函數(shù)。另外后面積分中的常數(shù)可直接拿到前面積分中去）（2）化為先對后對的累次積分，即Y型區(qū)域。這時為因此（先求后面的積分，由于求的是x積分，故先把y當(dāng)做常數(shù)求，求得的結(jié)果直接當(dāng)做前面積分的被積函數(shù)，再繼續(xù)求即可得結(jié)果）極坐標(biāo)法在極坐標(biāo)中區(qū)域D可表示為（為區(qū)域上點和原點連線與X軸正向夾角，r為區(qū)域上點與原點的距離)則例.(1)，其中為圓周和及直線所圍成的在第一象限的區(qū)域。解.采用極坐標(biāo)系：積分區(qū)域如右圖所示。y={(y于是ox=ox===(2)，其中為圓周所圍成的在區(qū)域。解.采用極坐標(biāo)系：積分區(qū)域如右圖所示，xo圓周的極坐標(biāo)方程為，xo則積分區(qū)域為={(于是====曲線積分1.第一類曲線積分計算公式：若曲線L方程為則dt若給的曲線L方程為，則可看做代入上述公式可得dx例.（1）計算積分，為圓周：（）解.圓的參數(shù)方程為：，；此題直接用直角坐標(biāo)計算的比較麻煩。（2）計算積分其中是曲線上介于（0,0）、（1,1）之間的一弧解.由于所以2.第二類曲線積分若曲線方程為則同樣假如給的L方程為，則可看為代入公式得例.（1）計算曲線積分，其中是拋物線上從點到點的一段。解（2）計算曲線積分，其中為圓周（按逆時針方向繞行）解：圓周參數(shù)方程為格林公式：若曲線L組成一個單連通區(qū)域D，P（x,y）,Q(x,y)在D上有一階偏導(dǎo)數(shù)，則（平面單連通域的概念．設(shè)為平面區(qū)域，如果內(nèi)任一閉曲線所圍的部分都屬于，則稱為平面單連通區(qū)域，否則稱為復(fù)連通區(qū)域）例.計算：，L是沿圓周正向閉路解.所以，由格林公式得==平面曲線積分與積分路徑無關(guān)的條件：定理：若函數(shù)在區(qū)域有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，是單連通區(qū)域，那么以下四個條件相互等價：（ⅰ）對任一全部含在內(nèi)閉路,；（ⅱ）對任一含在內(nèi)的曲線，曲線積分與路徑無關(guān)（只依賴曲線的端點）；（ⅲ）微分式在內(nèi)是某一個函數(shù)的全微分，即；（ⅳ）在內(nèi)處處成立.一般我們用到的是，如果二者相等且滿足是單連通區(qū)域，則積分與路徑無關(guān)，這樣就可以轉(zhuǎn)換為兩點間的其他簡單曲線來做啦。曲面積分對面積的曲面積分――化為投影域上的二重積分計算方法與步驟：1）畫出曲面草圖，寫出曲面方程；2）做三代換：①；②；③曲面在面上的投影域．將對面積的曲面積分化為二重積分；3）在投影域上計算二重積分例.計算，其中是由平面x=0，y=0，z=0及x+y+z=1所圍成的四面體的邊界曲面。解.在平面x=0，y=0，z=0及x+y+z=1的部分依次記為，于是對于，由于的方程x=0，從而同理，，對于，的方程x+y+z=1可化為z=1-x-y，，在XOY坐標(biāo)面上投影區(qū)域：所以對坐標(biāo)的曲面積分