/第一學期課程名稱:專業英語(自學)中文書名:《信號解決導論》姓名:學號:學院:專業:翻譯內容:S.J.Orfanidis,IntroductiontoSignalProcessing,PrenticeHallInternational,Inc.,1996第六章6.1,6.2節譯文某些+英文原文+專業名詞譯文某些第六章傳遞函數6.1數字濾波器等效描述本章中,借助于z變換我們將討論幾種描述FIR和IIR濾波器等效數學辦法,它們是:傳遞函數H(z)頻率響應H(co)框圖實現和抽樣解決算法I/O差分方程零點/極點圖沖激響應h(n)I/O卷積方程其中最重要一種是傳遞函數H(z)。由傳遞函數我們可以很容易得出其他描述辦法。圖6.1.1表白了幾種等效描述之間關系。之因此需要這樣各種描述辦法是由于它們提供了濾波器內在含義,并且合用于不同目。圖6.1.1數字濾波器等效描述事實上,我們是從給定頻率響應H(w)(在圖6.1.1左下角)開始。然后通過濾波器設計辦法,我們可以得到滿足規定條件傳遞函數H(z)。由H(z)我們可以推表演框圖實現和相應樣值解決算法(在圖6.1.1右下角)。樣值解決算法讓我們清晰理解濾波器是如何實時解決。對于FIR濾波器,我們也可以先求沖激響應,然后可以采用基于卷積塊解決算法來實現濾波器運營(在圖6.1.1右上角)。6.2傳播函數下面用一種詳細例子來解釋傳遞函數所起中心作用以及它與其他幾種表述辦法關聯。給定傳遞函數H(z),我們可以不久得到:(a)沖激響應h(n);(b)滿足沖激響應差分方程;(c)把輸入和輸出聯系起來I/O方程;(d)濾波器框圖實現;(e)樣值解決算法;(約零點/極點圖;(g)頻率響應H(w)。反過來,(a)一(g)任意給定一種,也可以不久得到傳遞函數H(z)和別的表達方式。設有如下傳遞函數:(6.2.1)要得到沖激響應,我們可以用某些分使展開法將H(z)寫成:假定濾波器為因果性,我們得到:(6.2.2)h(n)所滿足差分方程可以從H(z)求得。普通做法是傳遞函數H(z)兩邊它同乘上分母多項式然后變換屆時域。(6.2.1)式兩變同步乘上分母得到:兩邊求z反變換并運用線性性和延時性,我們得到h(n)差分方程:(6.2.3)很容易證明屬于因果信號,也就是說其初始條件是h(-1)=0。由((6.2.2)式沖激響應h(n),我們可以得到濾波器I/O卷積方程,即:用第三章所簡介辦法可以將上式寫成Y(})差分方程。該差分方程也可以用卷積z域特性:用Z變換辦法求得。同樣,其做法就是約去分母多項式然后變換屆時域。對本例我們有:兩邊取z反變換,得到I/O差分方程為:(6.2.4)式(6.2.3)是(6.2.4)特殊狀況,x(n)-}'(n),y(n)-h(n)。如果從(6.2.4)式入手,我們可以通過相反環節得到傳遞函數H(z)。也就是說(6.2.4)式兩變取z變換得到:一旦I/O方程擬定后,我們可以用框圖來實現。例如,式((6.2.4)可以用圖6.2.1表達。這被稱為作為直接形式實現,由于它在方程6.2.4右側直接表達出來了。圖6.2.1H(z)直接實現形式就像FIR濾波器同樣,對框圖中所有延時器賦一種中間變量,可以得到樣值解決算法。也就是說我們定義:(估算輸出)(更新聲明)也可以表述為如下迭代算法:對每個輸入樣值x做如下操作:(直接形式)(6.2.5)這個特定濾波器頻率響應,可以通過用H(z)中。替代傳遞函數中z方式獲得。這種替代是有效,在這里,由于過濾器是穩定,因而其ROC,|z|>0.8,包括單位圓。我們發現:依照等式:其中a只能為實系數。我們可以得到頻率響應:其幅頻響應可以借助于極點/零點圖來畫出。這個濾波器在z=-0.4處有零點且在Z=0.8處有極點。圖6.2.2顯示了極點/零點在單位圓上相對位置:圖6.2.2極點/零點圖及其幅度響應當通過通過零點時,迅速變化幅度響應H(w)可以通過當在通過極點和凹谷時點跟蹤單位圓和繪出凸峰方式獲得。在單位圓上旋轉,接近極點時H(w)幅值最大,凸峰。接近零點時幅值最小,凹陷。當。=0時,最接近極點Z=0.8,該點為極峰。當時,最接近零點Z=-0.4,該點為零谷。在奈奎斯特間隔端點,我們可以計算出實際頻率響應值:該濾波器為一種低通濾波器。高頻分量衰減為低頻分量1/21?；蛘哂梅重惐磉_為:傳遞函數框圖實現辦法不是唯一。表達辦法上各不相似、數學描述等效傳遞函數也許得出不同差分方程,這些差分方程可以用不同框圖或抽樣解決算法來實現。例如:(6.2.1)式可以用某些分式展開為:上式可以用并行算法來實現,也就是說可以視為兩個傳遞函數之和:。圖6.2.3顯示了實現形式框圖。第一眼看上去,本方框圖傳遞函數是上述刀了之司也許不太明顯。圖6.2.3H(z)并行實現形式為了證明這一點,我們將沒有給定名稱所有信號依照商定加上名稱。輸出加法器有兩個輸入信號,一種直接來自輸入乘法器,既一2.Sx(n)。另一種記作中間變量w(n)。因而,輸出加法器方程為:(6.2.6)而w(n)可以看作是輸入為x(n)濾波器輸出:(6.2.7)(6.2.6),(6.2.7)兩式共同表述了框圖時域運算。將這兩個方程變換到Z域,我們得到:可以得到:解出Y(z)/X(z)可以得到其傳遞函數:通過引入中間變量保存延時器內容,即可得到上述框圖樣值解決算法:(6.2.6),(6.2.7)兩式可以用下列算法來替代:寫成算法形式就是:對每個輸入X做如下操作:(6.2.8)其她框圖實現辦法可以將I/O方程排列成不同形式而得到。第三種實現辦法就是下面圖6.2.4中所謂規范化形式。由z平面上濾波器方程開始:圖6.2.4H(z)規范實現形式定義中間變量輸出方程為:把這些方程寫成時域形式,我們得到:或:同樣:因而我們得到系統I/O方程為:其框圖如6.2.4所示。引入內部狀態變量:系統方程可以重寫如下:上述可以寫成算法形式:對每個輸入樣值x做如下操作:(6.2.9)框圖實現第四種辦法可以依照轉置規律來實現,就是用節點替代加法器、加法器替代節點、流動方向倒置、輸入輸出位置互換。由此產生調換實現如圖6.2.5所示。同樣,同樣我們可以設立中間狀態變量來保持延時器中內容。輸入到延時器內容為之和,在延時器中被延時成為。因而:描述上述框圖完整I/O方程為:圖6.2.5換位實現形式也可以表達為下述樣值解決算法:對每個輸入樣值X做如下操作:(6.2.10)為了證明它表達是同一種傳遞函數,我們可以將I/O方程變換到z域:求解第二個式子中代入到一式中解出得到:然后得到一旦給定了框圖之后,我們就可以很以便抽樣解決算法轉換成相應軟件或硬件。例如(6.2.9)式所描述可以用下列C程序filter.c來實現:/*filter.c一IIRexampleroutine*/doublefilter(x,w)usage:y=filter(x,w);doublex,*w;{doubley;w[0]=0.8*w[1]+x;y=5*w[0]+2*w[1];計算輸出w[1]=w[0];更新內部狀態returny;}在主程序中數組w必要聲明為一種二維數組。下面程序段演示了使用這個例程來解決N個輸入樣本:w=(double*)calloc(2,sizeof(double));for(n=0;n<N;n++)y[n]=filter(x[n],w);內部狀態數組w必要在初始化為零之前被濾波器第一次調用。這是間接地完畢了為w分派存儲單元。在這個例子中,我們目的不但是從一種濾波器描述如何通過使用z變換,也闡明了不同框圖實現相應于不同,但等同方式安排所需I/O濾波方程。一種更系統地討論濾波器實現將在下一章中提出。普通說來,IIR濾波器傳遞函數可以用兩個次數分別為L,M多項式之比來表達。即:作為商定,分母多項式0次項系數設定為。濾波器H(z)共有L個零點和M個極點,假設分子和分母多項式系數為實數,那么,如果存在任何復數零點或極點話,它們一定是以共扼復數對形式浮現。為了擬定這樣一種濾波器沖激響應h(n),我們必要采用第五章中所講過z反變換辦法,如某些分是展開辦法。z平面上零點和極點位置把整個z平面劃分為互相不交疊區域,每一種區域相應特定沖激響應h(n)ROC(收斂域)。為了得到穩定沖激響應,我們取包括單位圓那個收斂域。為了使穩定h(n)為因果信號,H(z)極點D(z)零點)必要嚴格位于單位圓以內。這樣話,H(z)反變換收斂域將會在單位圓以外。如上例所示,描述濾波器I/O差分方程許多,但是數學上是等效。每一種都可以由相應框圖和抽樣解決算法。最簡樸一種是直接形式,我們可以按如下辦法來獲得:兩邊同步乘上分母:變換屆時域:也可以寫成:注意如果分母多項式各個系數為0,也就是說,ai=0(i=I,2,...,M),D(z)=1,H(z)只具有分母多項式,H(z)=N(z),那就是說,IIR濾波器為一種FIR濾波器:在這種狀況下,差分方程(6.2.12)式成為常用輸出一種FIR濾波器卷積方程:FIR濾波器實現辦法在第四章簡介過。IIR濾波器各種實現辦法在第七章簡介。接下來,我們提出了某些進一步例子。在每一種狀況下,我們擬定傳遞函數,脈沖響應,頻率響應,極點/零點模式,框圖實現算法和樣值加工。例6.2.1擬定如下第三階FIR濾波器脈沖響應傳遞函數:h=[1,6,11,6]解:濾波器輸入輸出等式為有限沖影響應序列z變換為:由于H(z)有一種零點z=-1,我們可以將其分解為:用替代Z即可得到其頻率響應為:濾波器有零點z=-1,-2,-3,極點及頻率響應如下圖所示(在原點多極Z=0處未標出):該濾波器對高頻分量衰減,因而為一種低通濾波器。當z=-1或勿=二濾波器頻率響應為零。當z=0或。=0濾波器頻率響應為或H(0)=1+6+11+6=24。其樣直解決算法和框圖實現如下:框圖和樣值解決算法相應FIR直接形式在第4章中討論過。例6.2.2FIR濾波器I/O方程為:求傳遞函數f1(z)和沖激響應h(n)。解:把I/O方程變換到z域:其沖激響應為:h=[1,0,0,0,-1]。令即可得到頻率響應為:因而幅頻響應為:其零點為單位1四次根或:頻率響應在這些點上為0。頻率響應(僅畫出了奈奎斯特間隔某些。點未畫出來,它與。點混疊?？驁D實現與樣值解決算法如下:這是一種在,k=0,1,2,3四個頻率下多級梳狀濾波器特殊例子。梳狀濾波器及其應用將在第8章中討論。例6.2.3求下列兩差分方程傳遞函數和因果性沖激響應。解:對于(a)我們兩邊做Z變換得到:求解得到傳遞函數為:。因而因果性沖擊響應為:極點z=0.5位于單位圓低頻區,極點z=-0.5位于單位圓高頻區。濾波器對低頻和高頻分量都加強,像是一種2-band帶通濾波器,也可以說是一種帶阻濾波器,對高頻和低零分量中間頻率衰減。事實上,H(z)在w=0,π(z=士1)時零點、極點和頻率響應、框圖實現、樣值解決算法分別如下,在高/低頻端峰值都不會太高,由于兩極并不接近單位圓。實現給定差分方程和相應樣值解決算法框圖是:對(b)兩邊做Z變換得到:求解得到傳遞函數為:注意到極點為共扼復極點,因而因果性沖激響應為:表達為指數衰減形式為:兩復共扼極點位于單位圓“中頻區”,。因而濾波器加強中頻分量,就像是一種帶通濾波器。同樣,該值在框圖和相應樣值解決算法如下:這兩例僅僅在差分方程中系數與否為0.25不同便導致了截然不同極點位置,頻率響應。專業名詞術語某些FIRfiltersFIR濾波器IIRfiltersIIR濾波器transferfunction傳遞函數frequencyresponse頻率響應blockdiagram框圖sampleprocessing抽樣解決differenceequation差分方程impulseresponse沖擊響應convolutionalequation卷積方程pole/zeropattern極點/零點圖digitalfilters數字濾波器algorithm算法timedomain時域z-transformsz變換linearity線性性delayproperty延時性causalsolution因果系統directformrealization直接實現形式magnituderesponse幅頻響應lowpassfilter低通濾波器highfrequencies高頻分量attenuate衰減fractionexpansionform分式展開形式parallel并行polepeaks凸峰zerodips凹谷symmetric對稱antisymmetric反對稱bilineartransformation雙線性變換mapping映射nonlinear非線性first-orderlowpass/highpassfilter一階低通/高通濾波器high-orderfilter高階濾波器inversediscreteFouriertransform序列傅氏反變換inversefastFouriertransform迅速傅立葉反變換FFT(fastFouriertransform)迅速傅立葉變換zero-meanwhiteGaussiannoise零均值高斯白噪聲piece-wiselinear分段線性finite-duration有限長samplingrate采樣率samplingtimeinterval采樣間隔frequencyleakage頻率泄露mainlobe主瓣physicalfrequencyresolution物理頻率辨別率computationalfrequencyresolution計算頻率辨別率midfrequency中頻resolvabilitycondition可辨別條件initialize初始cascadeform級聯型register寄存器quantizationeffectsindigitalfilters數字濾波器中量化效應roundofferror舍入誤差sample-by-sampleprocessingalgorithm逐個樣本解決算法digitalwaveformgenerator數字波形產生器two-dimensionalarray二維數組finearphase線性相位bandstop帶阻transitionband過渡帶pas