普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試全國乙卷理科數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目標(biāo)答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦潔凈后，再選涂其余答案標(biāo)號，回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求。1.設(shè)，則()A. B. C. D.2.已知集合，，則()A. B.S C.T D.Z3.已知命題，；命題，，則以下命題中為真命題是()A. B. C. D.4.設(shè)函數(shù)，則以下函數(shù)中為奇函數(shù)是()A. B. C. D.5.在正方體中，P為中點(diǎn)，則直線PB與所成角為()A. B. C. D.6.將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個項(xiàng)目，每個項(xiàng)目最少分配1名志愿者，則不一樣分配方案共有()A.60種 B.120種 C.240種 D.480種7.把函數(shù)圖象上全部點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數(shù)圖象，則()A. B. C. D.8.在區(qū)間與中各隨機(jī)取1個數(shù)，則兩數(shù)之和大于概率為()A. B. C. D.9.魏晉時期劉徽撰寫《海島算經(jīng)》是關(guān)于測量數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測量海島高.如圖，點(diǎn)E，H，G在水平線AC上，DE和FG是兩個垂直于水平面且等高測量標(biāo)桿高度，稱為“表高”，EG稱為“表距”，GC和EH都稱為“表目距”，GC與EH差稱為“表目距差”，則海島高()A. B.C. D.10.設(shè)，若為函數(shù)極大值點(diǎn)，則()A. B. C. D.11.設(shè)B是橢圓上頂點(diǎn)，若C上任意一點(diǎn)P都滿足，則C離心率取值范圍是()A. B. C. D.12.設(shè)，，，則()A. B. C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知雙曲線一條漸近線為，則C焦距為_____________.14.已知向量，，若，則____________.15.記內(nèi)角A，B，C對邊分別為a，b，c，面積為，，，則_____________.16.以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個三棱錐三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖編號依次為_________________（寫出符合要求一組答案即可）.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證實(shí)過程或演算步驟，第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生依照要求作答。（一）必考題：共60分。17.某廠研制了一個生產(chǎn)高精產(chǎn)品設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品某項(xiàng)指標(biāo)有沒有提升，用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)以下：舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為和.（1）求，，，；（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)均值較舊設(shè)備是否有顯著提升（假如，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)均值較舊設(shè)備有顯著提升，不然不認(rèn)為有顯著提升）.18.如圖，四棱錐底面是矩形，底面ABCD，，M為BC中點(diǎn)，且.（1）求BC；（2）求二面角正弦值.19.記為數(shù)列前n項(xiàng)和，為數(shù)列前n項(xiàng)積，已知.（1）證實(shí)：數(shù)列是等差數(shù)列.（2）求通項(xiàng)公式.20.設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)極值點(diǎn).（1）求a.（2）設(shè)函數(shù)，證實(shí)：.21.已知拋物線焦點(diǎn)為F，且F與圓上點(diǎn)距離最小值為4.（1）求p.（2）若點(diǎn)P在M上，PA、PB是C兩條切線，A、B是切點(diǎn)，求面積最大值.（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答，假如多做，則按所做第一題計(jì)分。22.【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，圓心為，半徑為1.（1）寫出一個參數(shù)方程.（2）過點(diǎn)作兩條切線，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，求這兩條切線極坐標(biāo)方程.23.【選修4-5：不等式選講】（10分）已知函數(shù).（1）當(dāng)初，求不等式解集；（2）若，求a取值范圍.

普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試全國乙卷理科數(shù)學(xué)參考答案1.答案：C解析：本題考查復(fù)數(shù)基本運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)及其應(yīng)用.設(shè)復(fù)數(shù)，可得，則，可得，，所以.2.答案：C解析：本題考查集合表示與運(yùn)算.因?yàn)椋?3.答案：A解析：本題考查慣用邏輯用語應(yīng)用.由當(dāng)初，，知p是真命題；由當(dāng)初，，得，知q也是真命題，所以，是假命題，所以是假命題，是假命題，是真命題，是真命題，是假命題.4.答案：B解析：本題考查函數(shù)性質(zhì).由，得，，所以，顯然不是奇函數(shù)；是奇函數(shù)；顯然不是奇函數(shù)；，顯然不是奇函數(shù).5.答案：D解析：本題考查立體幾何中線面關(guān)系及解三角形應(yīng)用.如圖，記正方體棱長為a，則，所以，.在中，由余弦定理得，所以.又因?yàn)椋约礊橹本€PB與所成角，所以直線PB與所成角為.6.答案：C解析：本題考查排列與組合問題.依照題目條件知花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項(xiàng)目中有1個項(xiàng)目分配2名志愿者，先分組再排列，可知不一樣分配方案共有（種）.7.答案：B解析：本題考查三角函數(shù)圖象伸縮變換和平移變換、三角函數(shù)解析式.依照題目條件逆向思維，把函數(shù)圖象向左平移個單位長度，可得，再將圖象上全部點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來2倍，可得，即.8.答案：B解析：本題考查簡單線性規(guī)劃及其應(yīng)用、幾何概型概率問題.由題目條件設(shè)，，且，則作出對應(yīng)平面區(qū)域如圖所表示，可知所求概率為.9.答案：A解析：本題考查數(shù)學(xué)文化、解三角形問題.如圖所表示，連接FD并延長交AB于點(diǎn)M，設(shè)，，則有，而.又，，所以，則有，所以.10.答案：D解析：本題考查函數(shù)性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)計(jì)算與應(yīng)用.（穿針引線法）當(dāng)初，若a為極大值點(diǎn)，則如圖1，必定有，，可知B項(xiàng)和C項(xiàng)錯誤；當(dāng)初，若a為極大值點(diǎn)，則如圖2，則有，，可知A項(xiàng)錯誤，總而言之，可知D項(xiàng)正確.11.答案：C解析：本題考查橢圓方程與幾何性質(zhì)、離心率，二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，不等式求解.由題可得，設(shè)，，則有，可得，故，依照題目條件知時，取得最大值，則有，整理得，即，解得，故橢圓離心率，即.12.答案：B解析：本題考查代數(shù)式大小比較、函數(shù)圖象與性質(zhì)、導(dǎo)函數(shù)及其應(yīng)用.因?yàn)椋瑒t有，能夠排除選項(xiàng)A，D；設(shè)函數(shù)，則有，求導(dǎo)可得，當(dāng)初，，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，可排除選項(xiàng)C.總而言之，.13.答案：4解析：本題考查雙曲線方程與幾何性質(zhì)、漸近線方程及其性質(zhì).由雙曲線可得其漸近線方程為，而其中一條漸近線為，則有，解得，故，所以C焦距為.14.答案：解析：本題考查平面向量坐標(biāo)運(yùn)算、向量位置關(guān)系以及數(shù)量積.因?yàn)椋Y(jié)合可得，解得.15.答案：解析：本題考查解三角形應(yīng)用.由三角形面積公式得，解得.又，由余弦定理，得，所以.16.答案：②⑤或③④解析：本題考查幾何題三視圖.由高度可知，側(cè)視圖只能為②或③.當(dāng)側(cè)視圖為②時，則該三棱錐直觀圖如圖1，平面平面ABC，，，，此時俯視圖為⑤；當(dāng)側(cè)視圖為③時，則該三棱錐直觀圖如圖2，平面ABC，，，，此時俯視圖為④.17.答案：（1）由題中數(shù)據(jù)，可得，，，.（2），，所以，故新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)均值較舊設(shè)備有顯著提升.18.答案：（1）連接BD.因?yàn)榈酌鍭BCD，且平面ABCD，所以.又因?yàn)椋矫鍼BD，平面PBD，所以平面PBD.又平面PBD，所以，所以.又，所以，所以，則，所以，解得.（2）易知DA，DC，DP兩兩垂直，故以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所表示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，，設(shè)平面AMP法向量為，則有即令，則，，故.設(shè)平面BMP法向量為，則有即令，則，故，所以，設(shè)二面角平面角為，則，所以二面角正弦值為.19.答案：（1）當(dāng)初，，由，解得.當(dāng)初，由題知，代入，可得，所以，所以是認(rèn)為首項(xiàng)，為公差等差數(shù)列.（2）由題意，得.由（1）可得.由，可得.當(dāng)初，，顯然不滿足該式，所以20.答案：（1）由題意，定義域?yàn)椋睿瑒t，，則.因?yàn)槭呛瘮?shù)極值點(diǎn)，則有，即，所以.當(dāng)初，.因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞減，又因?yàn)椋援?dāng)初，；當(dāng)初，，所以當(dāng)初，是函數(shù)極大值點(diǎn).總而言之，.（2）由（1）知，，要證，只需證實(shí)，因?yàn)楫?dāng)初，；當(dāng)初，，所以需證實(shí)，即，令，則，當(dāng)初，；當(dāng)初，，又，所認(rèn)為極小值點(diǎn)，所以，即，故，所以.21.答案：（1）點(diǎn)到圓M上點(diǎn)距離最小值為，解得.（2）由（1）知，拋物線方程為，即，則，設(shè)切點(diǎn)，，直線PA方程為，又點(diǎn)在拋物線上，所以，所以，同理可得，，聯(lián)立從而得到.設(shè)，聯(lián)立消去y并整理可得，所以，即，且，，所以.因?yàn)椋c(diǎn)P到直線AB距離，所以①，又點(diǎn)