自動控制原理演示文稿目前一頁\總數六十五頁\編于十一點自動控制原理課件目前二頁\總數六十五頁\編于十一點

系統分析是指一個實際系統的數學模型建立后，對系統穩定性、穩態誤差和瞬態響應等三個方面的性能進行分析，也就是以數學模型為基礎分析系統在指定的性能指標方面是否滿足要求。

時域分析引言

數學模型的建立為分析系統的行為和特性提供了條件。

分析的目的在于揭示系統在外部輸入信號作用下各個變量的運動規律和系統的基本特性，以及改善系統特性使之滿足工程要求的基本途徑。

目前三頁\總數六十五頁\編于十一點

分析系統的方法可分為三類：時域法、根軌跡法和頻域法。

時域分析法是一種直接在時間域中對系統進行分析的方法，具有直觀、準確的優點，可以提供系統時間響應的全部信息。

缺點：難以判斷系統結構和參數對動態性能的影響，很難用于系統的設計；對于高階系統，系統分析的工作量將急劇增加，不易確定其性能指標，必須借助計算機實現。目前四頁\總數六十五頁\編于十一點學習目標

明確誤差和穩態誤差的定義，明確利用終值定理計算穩態誤差的限制條件

明確穩定性概念及系統穩定的充要條件，熟練掌握勞斯判據及其應用

明確典型系統階躍響應的特點及其動態性能與系統參數、零極點分布的關系

熟悉系統階躍響應性能指標

明確影響穩態誤差的因素

熟練掌握用終值定理求穩態誤差的方法目前五頁\總數六十五頁\編于十一點重點和難點

難點：系統參數對系統性能的影響，基于輸入輸出模型的時間響應關系重點：典型系統性能指標，穩定性分析，穩態誤差求取目前六頁\總數六十五頁\編于十一點3.1系統時間響應的性能指標

控制系統性能的評價分為動態性能指標和穩態性能指標兩類。為了求解系統的時間響應，必須了解輸入信號的解析表達式。然而，在一般情況下，控制系統的外加輸入信號具有隨機性而無法預先確定，因此需要選擇若干典型輸入信號。目前七頁\總數六十五頁\編于十一點一、典型輸入信號1.階躍輸入信號

階躍輸入信號可表示為：tRR為階躍信號的幅值，是一常數。R=1時叫做單位階躍信號，記做1(t)，否則記為R·1(t)。

表示在t=0時刻出現了幅值為R的跳變，是最不利的外作用。常用階躍函數作為評價系統動態性能的典型外作用。所以階躍函數在自動控制系統的分析中起著特別重要的作用。目前八頁\總數六十五頁\編于十一點2.單位脈沖輸入信號又稱δ(t)函數，它是在ε→0時求極限情況得到的。數學表達式為：tX(t)ε但脈沖函數在現實中是不存在的，只是數學上的定義，在現實系統中常把作用時間很短，幅值很大而強度有限的一些外作用近似看作脈沖函數。當A=1時，稱為單位脈沖函數，記作δ(t)，強度為A的脈沖函數r(t)表示成r(t)=Aδ(t)。目前九頁\總數六十五頁\編于十一點3.斜坡輸入信號（也叫速度函數）

斜坡輸入信號可表示為：ttgφ=RφR為常數，此信號幅值隨時間t作等速增長變化，其速率為R。目前十頁\總數六十五頁\編于十一點4.拋物線（加速度）輸入信號拋物線輸入信號可表示為：tR為常數，此信號幅度隨時間以加速度R增長。目前十一頁\總數六十五頁\編于十一點5.正弦輸入信號正弦輸入信號可表示為如：tX(t)R﹣RR為常數，表示正弦輸入信號的幅值。該信號隨時間以頻率ω作等幅振蕩。ω=2πf為正弦函數的角頻率，這里，初始相角φ=0，如果初始相角φ不等于0，那么正弦函數x(t)的表達式為：x(t)=Asin(ωt-φ)。目前十二頁\總數六十五頁\編于十一點

正弦函數也是控制系統常見的一種典型外作用，很多實際的隨動系統就是經常在這種正弦函數作用下工作的，更為重要的是系統在正弦函數作用下的響應，即頻率特性，是自動控制理論中研究系統性能的重要依據。目前十三頁\總數六十五頁\編于十一點究竟使用哪種典型信號分析系統？取決于系統在正常工作時最常見的輸入信號形式

若輸入是突然的脈動－脈沖信號若輸入是突變的躍變－階躍信號若輸入隨時間逐漸變化－斜坡信號若輸入是周期信號－正弦信號

……目前十四頁\總數六十五頁\編于十一點二、動態過程和穩態過程1.動態過程（過渡過程或瞬態過程）：

時域分析法研究系統輸入變化時，其輸出隨時間變化的響應特性。y(t)=f(x(t))

系統的時間響應分為動態響應和穩態響應或稱動態過程與穩態過程。

系統在輸入信號作用下，系統輸出從初始狀態到最終狀態的響應過程，反映系統的動態性能。目前十五頁\總數六十五頁\編于十一點2.穩態過程（靜態過程）：

過渡過程中，當時間趨于無窮大時系統的輸出狀態，反映出系統的穩態性能。注意：穩態過程不是指輸出數值不變，而是指輸出變化形式固定不變。1.50.510-0.5051015目前十六頁\總數六十五頁\編于十一點三、動態性能和穩態性能1.動態性能(1)峰值時間tp階躍響應曲線達到第一峰值所需要的時間。0.150.050.10tAtptp愈小，表明控制系統反應愈靈敏。目前十七頁\總數六十五頁\編于十一點(2)

最大偏差A和超調量σ

被控輸出第一個波的峰值與給定值的差，如圖中的A，A=y(tp)。隨動控制系統:超調量(3-4-1)y(∞)為過渡過程的穩態值。定值控制系統：通常采用超調量這個指標：1.50.510tptB0.150.050.10ttpA偏差e=設定值R-輸出y目前十八頁\總數六十五頁\編于十一點0.150.050.10ttptsA(3)衰減比n在過渡過程曲線上，同方向上相鄰兩個波峰值之比。如圖，n=B：B’。n愈大，過渡過程衰減的越快，反之，n愈小，過渡過程的衰減程度也愈小。

一般操作經驗希望過程有兩、三個周波結束，一般常取n=4:1~10:1。l

當n＝1時，過渡過程則為等幅振蕩；B目前十九頁\總數六十五頁\編于十一點(4)調節時間ts

階躍響應到達穩態的時間。

工程上常取在被控變量進入新穩態值的±5％或±2％的誤差范圍，并不再超出的時間。

ts的大小一般與控制系統中的最大時間常數有關，ts越短，系統響應越快。0.150.050.10ttpABts目前二十頁\總數六十五頁\編于十一點(5)上升時間tr僅適用隨動系統。第一次達到系統新穩態值所需的時間，定義為上升時間。對于非振蕩的過渡過程曲線：從穩態值的10％上升到90％所需的時間。1.50.510tptstBtr目前二十一頁\總數六十五頁\編于十一點余差或穩態誤差e(∞)

過渡過程結束時穩態值與給定值之差，是表示控制系統精度的重要質量指標。1.50.510tptstBtr2.穩態性能目前二十二頁\總數六十五頁\編于十一點總結：

1、峰值時間和上升時間反映了系統的初始快速。4、穩態誤差反映了系統的調節精度。3、最大偏差、超調量和衰減比反映了系統的平穩性。2、調節時間反映了系統的整體快速性。1.50.510tptstBtr目前二十三頁\總數六十五頁\編于十一點h(t)t時間tr上升峰值時間tpAB超調量σ%=AB100%調節時間ts動態性能指標定義1目前二十四頁\總數六十五頁\編于十一點表征快速性表征平穩性動態性能表征穩態精度

常用表征系統動態性能指標定義1目前二十五頁\總數六十五頁\編于十一點h(t)t上升時間tr調節時間ts動態性能指標定義2目前二十六頁\總數六十五頁\編于十一點3-2一階系統的時域分析一階系統：可用一階微分方程描述的系統。例：網絡的輸入電壓Ul和輸出電壓U2間的動態特性由下列一階微分方程來描述：RCU1(t)U2(t)i(t)目前二十七頁\總數六十五頁\編于十一點描述一階系統動態特性的微分方程式的標準形式：T稱為時間常數，表示系統的慣性大小

K表示對象的增益或放大系數(3-2-1)傳遞函數是：目前二十八頁\總數六十五頁\編于十一點（假設K＝1，系統的初始條件為零。）2.1單位階躍響應單位階躍1(t)的拉氏變換為：(3-2-2)把(3-2-2)式代入(3-2-1)式，取拉氏反變換有：(3-2-3)(3-2-1)目前二十九頁\總數六十五頁\編于十一點由式（3-2-3）求出：一階系統單位階躍響應是單調上升的指數曲線(3-2-3)t＝T時，y(T)＝1-e-1＝0.632ty(t)0T2T3T4T5Tt＝5T時,y(5T)＝0.993…t＝4T時,y(4T)＝0.982t＝3T時,y(3T)＝0.95t＝2T時,y(2T)＝0.86563.2％86.5％98.2％99.3％B1A0.63295％目前三十頁\總數六十五頁\編于十一點forT=[5,10,30]G=tf([1],[T1]);step(G,160);holdon;endgridonaxis([016001.1]);title(‘T:[5,10,30]一階系統單位階躍響應曲線');set(gca,'ytick',0:0.1:1.1);gtext('T=5');gtext('T=10');gtext('T=30');目前三十一頁\總數六十五頁\編于十一點結論：

時間常數T決定系統的慣性：

T越小，即系統慣性越小，過渡過程越快；

T越大，即系統慣性越大，過渡過程越慢。目前三十二頁\總數六十五頁\編于十一點說明：2、工程上，以響應曲線達到穩態值誤差的2%（或5％）所需的時間，記為過渡時間（調節時間）,記作ts。1、一階系統的單位階躍響應的穩態誤差是零，3、對一階系統來說，是四倍（三倍）的時間常數，即ts=4T（ts=3T）。4、時間常數T反應一個系統的慣性，時間常數越小，系統的響應就越快，反之，越慢。一階系統也被稱為一階慣性系統。目前三十三頁\總數六十五頁\編于十一點研究輸出曲線的變化速率:對（3-2-3）式求導：(3-2-3)T—1ty(t)0T2T3T4T5TB163.2％86.5％98.2％99.3％A0.63295％斜率=1/T目前三十四頁\總數六十五頁\編于十一點說明：1.

一階系統階躍響應曲線的另一個重要特性是在t＝0處切線的斜率等于1/T。2.

一階系統如能保持初始反應速度不變，則當t＝T時，輸出將達到其穩態值。3.

實際上，一階系統過渡過程y(t)的變化速率，隨著時間的推移，是單調下降的。(3-2-5)ty(t)0T2T3T4T5TB163.2％86.5％98.2％99.3％A0.63295％斜率=1/T目前三十五頁\總數六十五頁\編于十一點一階系統單位階躍響應的重要性質：總結：ty(t)0T2T3T4T5TB163.2％86.5％98.2％99.3％A0.63295％斜率=1/T1、經過一倍時間常數，即t=T時，系統從0上升到穩態值的63.2%。2、在t＝0處曲線切線的斜率等于1/T。3、當t＞4T時，一階系統的響應曲線已經達到穩態值（穩態誤差小于2%）。目前三十六頁\總數六十五頁\編于十一點實驗方法求取一階系統的傳遞函數：

63.2％T對一階系統的單位階躍響應曲線，思考題：

若系統增益K不等于1，系統的穩態值應是多少？如何用實驗方法從響應曲線中求取K值？

2、從t＝0處的切線斜率求得。1、直接從達到穩態值的63.2%對應的時間求出一階系統的時間常數；目前三十七頁\總數六十五頁\編于十一點2.2單位斜坡響應單位斜坡函數x(t)=t的拉氏變換為：(3-2-6)把(3-2-6)式代入式(3-2-1)，(3-2-1)目前三十八頁\總數六十五頁\編于十一點取上式的拉氏反變換，即得系統的單位斜坡響應：它和輸入參數的誤差為[x(t)=t]：x(t)y(t)TTtx(t)y(t)目前三十九頁\總數六十五頁\編于十一點特點：1、系統的動態響應是一個指數型的上升過程，先逐步加快，最后以輸入相同的速度直線升高，并與輸入相平行。2、系統的穩態響應為y(∞)=t－T，是一個與輸入斜坡函數斜率相同但時間遲后T的斜坡函數。3、輸出總是小于輸入，誤差逐步從零增大到時間常數T并保持不變，因此T也是穩態誤差。系統的

時間常數T越愈小，系統跟蹤輸入信號的穩態誤差也就越小。x(t)y(t)TTt目前四十頁\總數六十五頁\編于十一點2.3單位脈沖響應系統輸出量的拉氏變換式恰好與系統的傳遞函數相同，稱為脈沖響應，其表達式為：目前四十一頁\總數六十五頁\編于十一點0T2T3T4T5T0初始斜率特點：1、一階系統的脈沖響應為一單調下降的指數曲線；2、說明系統的慣性越小（T越小），系統的響應越快。目前四十二頁\總數六十五頁\編于十一點注意：

系統在單位脈沖輸入信號作用下，輸出的拉氏變換恰好為系統的傳遞函數。即

對上式進行拉氏反變換，即得系統的脈沖響應函數：實驗測定系統的傳遞函數：常用單位脈沖信號作用于系統，來測定系統的單位脈沖響應，由此可以求得系統的傳遞函數。目前四十三頁\總數六十五頁\編于十一點總結與分析：一階系統對典型試驗信號的響應123輸入信號x(t)輸出響應y(t)t1(t)δ(t)l

線性定常系統對輸入信號導數的響應，可以通過把系統對輸入信號的響應進行微分求得；這一結果適合所有的線性定常系統。線性時變系統或非線性系統都不具備這種性質。l

系統對輸入信號積分的響應，可以通過把系統對原輸入信號的響應進行積分求得，而積分常數則由零初始條件決定。目前四十四頁\總數六十五頁\編于十一點習題：例1設單位負反饋系統的單位階躍響應為：（1）求系統的單位脈沖響應（2）求該系統的閉環傳遞函數和開環傳遞函數解：(1)對單位階躍響應求導，可得單位脈沖響應函數：(2)對上式求拉氏變換，可得系統的閉環傳遞函數：可求出系統的開環傳遞函數：G0-Y(s)X(s)目前四十五頁\總數六十五頁\編于十一點例3-1：水銀溫度計近似可以認為一階慣性環節，用其測量加熱器內的水溫，當插入水中一分鐘時才指示出該水溫的98%的數值（設插入前溫度計指示0度）。如果給加熱器加熱，使水溫以10度/分的速度均勻上升，問溫度計的穩態指示誤差是多少？解：1）一階系統，階躍輸入，輸出響應達98%，調節時間：ts=4T=1分，則T=0.25分。2）單位斜坡信號時穩態跟蹤誤差是T，故當水溫以10度/分作等速變換，穩態指示誤差為10T=2.5度。目前四十六頁\總數六十五頁\編于十一點1）利用傳遞函數的定義例3-2：已知某系統在單位斜坡輸入時的輸出為：求系統的傳遞函數，及單位階躍輸入時的解：

目前四十七頁\總數六十五頁\編于十一點研究：一階系統的特征參數K、T對過渡過程的影響。00246810125101520K=20K=10K=200204060801001200.511.52T=20T=10T=2在單位階躍信號作用下：目前四十八頁\總數六十五頁\編于十一點上節課內容回顧上升時間tr的定義？峰值時間tp的定義？調節時間ts的定義？最大超調量σ%的定義？一階系統的時間常數T如何確定？目前四十九頁\總數六十五頁\編于十一點3-2

二階系統的時域分析3.1二階系統數學模型的標準形式二階系統的微分方程：寫成標準形式,令：有：(3-3-1)目前五十頁\總數六十五頁\編于十一點標準傳遞函數：兩個特征參數：叫做系統的無阻尼自然頻率叫做阻尼系數（阻尼比）（3-3-2）有（3-3-3）(3-3-1)目前五十一頁\總數六十五頁\編于十一點求解這個二階系統的特征方程：（3-3-3）可得它的兩個根（極點）（3-3-4）目前五十二頁\總數六十五頁\編于十一點圖3-7

阻尼系數不同時特征根在s平面上的位置當阻尼系數ζ取不同值時，二階系統特征根的性質（3-3-4）0<ζ<1欠阻尼ζ=1臨界阻尼ζ>1過阻尼ζ=0無阻尼ζ<0目前五十三頁\總數六十五頁\編于十一點3.2二階系統的單位階躍響應1、0＜ζ＜1時的欠阻尼情況這時系統有一對共軛復根(見圖3-8)：圖3-8極點位置式中，，稱為有阻尼自然頻率。目前五十四頁\總數六十五頁\編于十一點（3-3-3）式可改寫成取上式的拉氏反變換，有（3-3-3）目前五十五頁\總數六十五頁\編于十一點因此，Y(s)的拉氏反變換為：(3-3-5)式中，，稱為阻尼角。此時，y(t)的輸出為衰減振蕩過程。1.50.510-0.50510151目前五十六頁\總數六十五頁\編于十一點特點：①系統的單位階躍響應y(t)及其偏差信號e(t)均為衰減的正弦振蕩曲線。②其振蕩頻率為，衰減速度取決于ζωn,③從（3-3-6）式中還可以看出，當時間趨于無窮大時，系統的偏差等于零。Y(t)e(t)圖3-9欠阻尼二階系統的單位階躍響應1.50.510-0.5051015二階系統的偏差信號e(t)是：(3-3-6)目前五十七頁\總數六十五頁\編于十一點2、ζ=0時的無阻尼情況系統具有一對共軛純虛根將ζ＝0代入式(3-3-5)，可得到y(t)＝l-cosωnt由此可知，當阻尼比ζ＝0

時，①系統的階躍響應將變為等幅振蕩。②

穩態時仍是等幅振蕩。③

振蕩頻率為ωn。(3-3-5)(3-3-7)1211.50.5200246810目前五十八頁\總數六十五頁\編于十一點頻率ωn和ωd具有鮮明的物理涵義:ωn是無阻尼(即ζ＝0)時二階系統等幅振蕩過程的頻率，因此也稱為無阻尼振蕩頻率。l

顯然，ωd低于ωn,且隨著ζ的增大，ωd的值減小l

ωd是欠阻尼(0＜ζ＜1）時，系統衰減振蕩過程的振蕩頻率，因此稱為有阻尼振蕩頻率。1211.50.5200246810目前五十九頁\總數六十五頁\編于十一點3、ζ=1時的臨界阻尼情況系統具有兩個相等的負實根此時，由式(3-3-3)得到取上式的拉氏反變換，得二階系統的過渡過程：(3-3-8)（3-3-3）目前六十頁\總數六十五頁\編于十一點

阻尼系數為1時，二階系統的過渡過程是一個無超調的單調上升過程。11.50.520024681012圖3-10二階系統的標準曲線(ζ=0,0.2,0.4,0.8,1.0,1.4,2)1.50.510-0.5051015ζ=1目前六十一頁\總數六十五頁\編于十一點4、ζ＞1時的過阻尼情況這時二階系統具有兩個不等的負實根，即因此，若令：則Y(s)可寫成：目前六十二頁\總數六十五頁\編于十一點總結：

阻尼比ζ＞1時，稱為過阻尼