第三章線性空間與線性變換目前一頁\總數六十六頁\編于八點3.1線性空間的定義與性質0數軸平面三維空間yxzOxyO常見的幾何空間：目前二頁\總數六十六頁\編于八點幾何空間R3的運算運算規律加法：數乘：目前三頁\總數六十六頁\編于八點目前四頁\總數六十六頁\編于八點對幾何空間進行推廣，通過抽象出幾何空間線性運算的本質；在任意研究對象的集合上定義具有線性運算的代數結構。線性空間目前五頁\總數六十六頁\編于八點若對于任一數與任一元素，總有唯一的一個元素與之對應，稱為與的積，記作定義１設是一個非空集合，為一個數域．如果對于任意兩個元素，總有唯一的一個元素與之對應，稱為與的和，記作如果上述的兩種運算滿足以下八條運算規律:目前六頁\總數六十六頁\編于八點那么就稱為數域上的線性空間．目前七頁\總數六十六頁\編于八點

2．判別線性空間的方法：一個集合，對于定義的加法和數乘運算不封閉，或者運算不滿足八條性質的任一條，則此集合就不能構成線性空間．注

1．凡滿足以上八條規律的加法及數乘運算，稱為線性運算．特別地，當集合中定義的加法和乘數運算是通常的實數間的加乘運算，則只需檢驗對運算的封閉性．目前八頁\總數六十六頁\編于八點例1實數域上的全體矩陣，對矩陣的加法和數乘運算構成實數域上的線性空間，記作．注目前九頁\總數六十六頁\編于八點加法：數乘:目前十頁\總數六十六頁\編于八點例3全體正實數R+,定義加法和數量乘法如下：解：零元為常數1目前十一頁\總數六十六頁\編于八點故在該加法和數乘運算下，對應集合構成實數域上的線性空間。負元為1/a目前十二頁\總數六十六頁\編于八點注：線性空間的元素統稱為“向量”，但它可以是通常的向量，也可以是矩陣、多項式、函數等.線性空間的簡單性質：零元素是唯一的；負元素是唯一的；

0=0;k0=0;(-1)=-；

如果k=0,那么k=0或=0。01=01+02=02

-1=(-1)+0=(-1)+(+(-2))=((-1)+)+(-2)=0+(-2)=-2目前十三頁\總數六十六頁\編于八點3.4線性子空間對三維幾何空間：yxzO任何過原點的平面是R3的子集在該平面上的所有向量對于向量的加法和數乘運算構成一個二維的線性空間。R3的線性子空間目前十四頁\總數六十六頁\編于八點線性子空間

定義：設W是數域F上線性空間V的非空子集合.如果W中的向量對V中所定義的向量加法和數乘運算也構成F上的線性空間，則稱W為V的線性子空間,簡稱子空間.定理:

W是V的非空子集合，則W是V的子空間的充要條件是V的子空間注V和零子空間是V的平凡子空間；其它子空間稱為V的真子空間.目前十五頁\總數六十六頁\編于八點生成子空間目前十六頁\總數六十六頁\編于八點3.2向量的線性相關性如果線性空間V以通常的向量作為元素，即V中含有無窮多個向量。如何用有限個向量刻劃空間中的所有向量？需要討論向量間的關系.如三維幾何空間：yxzO目前十七頁\總數六十六頁\編于八點線性組合與線性表示設V是數域F上的一個線性空間，是V中的一組向量，是數域F

中的數，那么向量稱為向量的一個線性組合，有時也稱向量

可以由線性表示。例1:

目前十八頁\總數六十六頁\編于八點目前十九頁\總數六十六頁\編于八點線性相關與線性無關設V是數域F上的一個線性空間，且如果在數域F中存在s個不全為零的數,使得則稱向量組線性相關.否則稱向量組線性無關，即若則必有此時至少有一個向量可以由其他向量線性表示。目前二十頁\總數六十六頁\編于八點進一步來理解向量組的線性相關與線性無關考慮等式目前二十一頁\總數六十六頁\編于八點注：(1)給定向量組，該向量組要么線性相關，要么線性無關。(2)含有零向量的向量組一定線性相關。(3)向量組只包含一個向量時：若,則說線性相關；若,則說線性無關。目前二十二頁\總數六十六頁\編于八點解：令即故目前二十三頁\總數六十六頁\編于八點解：令即系數矩陣為方陣故方程組Ax=0存在非零解.即線性相關.目前二十四頁\總數六十六頁\編于八點即r(A)=2<3，故Ax=0存在非零解.另解：同理，對,令即故線性無關.注：向量組只包含兩個非零向量時，則目前二十五頁\總數六十六頁\編于八點定理1n維列向量組線性相關的充要條件是r(A)<s，其中線性相關性的判定推論

n個

n維列向量組線性相關的充要條件是|A|=0，其中注：若給定的是行向量組，需要將其轉化成列向量組。目前二十六頁\總數六十六頁\編于八點例5設判斷是線性相關還是線性無關？解故r(A)=3<5目前二十七頁\總數六十六頁\編于八點

證28目前二十八頁\總數六十六頁\編于八點目前二十九頁\總數六十六頁\編于八點定理2

向量組線性相關的充要條件是其中至少有一個向量可以由其他向量線性表示.定理3線性相關線性相關定理4線性無關線性相關部分相關,

則整體相關;整體無關,

則部分無關.目前三十頁\總數六十六頁\編于八點向量組的等價性質目前三十一頁\總數六十六頁\編于八點定理1下列命題等價(1)(2)C的行向量組可由B的行向量組線性表示(3)C的列向量組可由A的列向量組線性表示目前三十二頁\總數六十六頁\編于八點推論1矩陣A經過初等行(列)變換化為B,則A的行(列)向量組與B的行(列)向量組等價。定理2若向量組線性無關，且可由線性表示，則推論2等價的線性無關向量組必含有相同個數的向量.目前三十三頁\總數六十六頁\編于八點3.4線性子空間對三維幾何空間：yxzO任何過原點的平面是R3的子集在該平面上的所有向量對于向量的加法和數乘運算構成一個二維的線性空間。R3的線性子空間目前三十四頁\總數六十六頁\編于八點線性子空間

定義：設W是數域F上線性空間V的非空子集合.如果W中的向量對V中所定義的向量加法和數乘運算也構成F上的線性空間，則稱W為V的線性子空間,簡稱子空間.定理:

W是V的非空子集合，則W是V的子空間的充要條件是V的子空間注V和零子空間是V的平凡子空間；其它子空間稱為V的真子空間.目前三十五頁\總數六十六頁\編于八點生成子空間目前三十六頁\總數六十六頁\編于八點如果線性空間中含有無窮多個向量。如何找出有限個向量刻劃空間中的所有向量？如三維幾何空間：yxzO3.4線性子空間目前三十七頁\總數六十六頁\編于八點基、維數和坐標注:(1)規定V={}為零維空間.(2)有限維線性空間V的基不唯一.目前三十八頁\總數六十六頁\編于八點向量組的秩(一)：若以的部分組為基目前三十九頁\總數六十六頁\編于八點目前四十頁\總數六十六頁\編于八點尋基求秩的過程明確向量組線性關系的過程(找最大線性無關組的過程)目前四十一頁\總數六十六頁\編于八點目前四十二頁\總數六十六頁\編于八點解43目前四十三頁\總數六十六頁\編于八點繼續行變換(行最簡形)目前四十四頁\總數六十六頁\編于八點總結：求列向量組最大線性無關組或生成子空間的基：(1)將向量按列寫成矩陣：(2)用初等行變換將矩陣化為行階梯形；(3)行階梯形非零行的行數r即為空間的維數；

(4)如果行階梯形每個非零行的首非零元對應列指標為，則(5)若要明確其他向量和最大無關組的線性關系，需繼續進行行變換將矩陣化為行最簡形…….目前四十五頁\總數六十六頁\編于八點注：若生成向量組為行向量組，則可以轉置為列向量組，選取部分組為對應子空間的基.轉置不改變行向量組的線性關系。(二)：若不以的部分組為基目前四十六頁\總數六十六頁\編于八點則需要找與等價的線性無關向量組(二)：若不以的部分組為基Recall推論

矩陣A經過初等行(列)變換化為B,則A的行(列)向量組與B的行(列)向量組等價。目前四十七頁\總數六十六頁\編于八點初等行變換(行階梯形)目前四十八頁\總數六十六頁\編于八點解：行變換故是所求空間的一組基.目前四十九頁\總數六十六頁\編于八點矩陣的行秩與列秩給定矩陣A，稱矩陣A的行向量組生成的子空間R(A),

對應空間的維數為矩陣的行秩；稱矩陣A的列向量組生成的子空間C(A)，

對應空間的維數為矩陣的列秩.目前五十頁\總數六十六頁\編于八點回顧：求列向量組生成子空間的維數：(1)將向量按列寫成矩陣：(2)用初等行變換將矩陣化為行階梯形；(3)行階梯形非零行的行數即為空間的維數。

初等行變換行向量組：(行秩=矩陣的秩)(列秩=矩陣的秩)目前五十一頁\總數六十六頁\編于八點3.6歐氏空間對三維幾何空間：yxzO定義了向量長度，向量夾角線性空間中對向量如何度量？目前五十二頁\總數六十六頁\編于八點向量的內積目前五十三頁\總數六十六頁\編于八點目前五十四頁\總數六十六頁\編于八點向量的長度與夾角目前五十五頁\總數六十六頁\編于八點目前五十六頁\總數六十六頁\編于八點目前五十七頁\總數六十六頁\編于八點歐氏空間的標準正交基目前五十八頁\總數六十六頁\編于八點得即解：59目前五十九頁\總數六十六頁\編于八點施密特正交化目前六十頁\總數六十六頁\編于八點例2.用施密特正交化方法,將向量組化成標準正交向量組.先正交化：

取解：61目前六十一頁\總數六十六頁\編于八點再單位化：得規范正交向量組如下62目前六十二頁\總數六十六頁\編于八點證明