參數化模型的最小長度解第一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五內容

1，線性反演問題的最小方差解2，純欠定問題的解法3，混定問題的解法4，先驗信息在模型構置中的應用5，觀測數據和模型參數估算值之方差;6，線性規(guī)劃——范數解;7，范數解;第二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五1，線性反演問題的最小方差解在線性反演問題中，如果觀測數據的個數多于模型參數的個數，更準確地說，在Ｍ＞Ｎ＝ｒ的情況下，最簡單、最常用的反演方法是最小方差法。這里ｒ是數據方程數據核Ｇ的秩。第三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五設ｅ為觀測數據ｄ與理論計算值Ｇｍ之誤差向量，則方差（即目標函數）為：

第四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五ｅ＝第五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五展開上式得：

第六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五最小方差解必須滿足：所以：第七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五例:一組觀測數據為：現欲用一個平面方程：擬合之。式中：為模型參數；和是第個數據對應的坐標。第八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五2，純欠定問題的解法所謂純欠定問題，是指在中，未知參數的個數大于觀測數據的個數，且矩陣的秩的情況。換言之，在個方程中，既無相關方程，也無矛盾方程存在。從線性代數理論可知，此時有無限多個解能滿足線性方程組式，且其誤差均為零。這是因為，雖然觀測數據提供了一些確定模型參數的信息，但其數量不足以全部確定模型參數，或未提供確定模型參數的足夠充分的信息。因此，解不是惟一的，甚至有無限多能擬合觀測數據的解。第九頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五

為了求得反演問題的一個解，我們必須從無限多個能擬合觀測數據的解中，挑選出一個我們所需要的特定解。因此，解方程式時，必須加上一些在觀測數據中未包含的信息．這種附加給反演問題的信息叫“先驗信息”（prioriinformation）。。第十頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五說明：加先驗信息的目的是為了補充那些為確定模型參數所不足的信息。因此，為了使反演問題的解更切合實際情況，就應本著“缺什么信息，就補充什么信息”的原則。為了更好地運用“擇缺補充”的原則。第十一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五幾類可能的先驗信息：

第一類先驗信息是待求地球物理參數的物理性質和其可能的數值范圍。如速度，密度和電阻率等的非負性，它們都不可能小于零。而且它們的數值，根據一般物理常識可以限制在一定范圍以內。第二類先驗信息來自于其他已知的地質、地球物理和鉆井資料。比如反演地區(qū)基底的埋深，油層的厚度，或金屬礦的屬性等等。第三類，某此參數比其他參數對解決地球物理問題更重要，此時可以對模型參數進行加權，在一定權系數約束下求解。第十二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五第四類，也是純欠定問題解法中常應用的先驗信息，假定的地球物理模型“最簡單”。這里所謂最簡單是指在保留實際地球物理模型基本特征不變的情況下，對地球物理模型的一種簡化。解的長度，比如說解的歐幾里得長度為最小的模型，應該是一種最簡單的模型。

第十三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五設式是一純欠定問題，此時的目標函數，在該式約束之下有極小，即根據極值理論，必須引入拉格朗日算子“λ”將條件極值問題化為無條件極值問題。目標函數應為：第十四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五求上述目標函數的極小值問題可以化為求：第十五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五

第十六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五3，混定問題的解法——馬夸特（Marquardt）法當線性反演問題：呈現min（M，Ｎ）＞ｒ的情況時，稱為混定問題。解混定問題的方法，通常稱馬夸特法，或脊回歸法（ridgeregression），又稱為阻尼最小二乘法（damping）。第十七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五從M、N和r的關系看，由于矩陣的秩r意味著在方程（2.1）式中，只有ｒ個線性無關的方程，只能確定ｒ個非零的解。因此，是超定問題，而又是欠定問題。許多地球物理線性反演問題既不完全是超定問題，也不完全是欠定問題，常常表現為一種混定形式（即混定問題）。第十八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五鑒于混定問題的特殊性，它既有超定問題，也有欠定問題的性質，因此不難設想其目標函數應兼有方差項和模型長度項兩項內容，即：第十九頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五求Ｅ相對于m的偏導數，并設其為零，簡化后得：第二十頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五上式中：為阻尼系數或加權因子，它決定預測誤差項和模型范數長度項在極小化目標函數時各自之相對重要性。第二十一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五4，線性先驗信息在模型構制中的應用在線性反演問題中，如果觀測數據的個數多于模型參數的個數，更準確地說，在Ｍ＞Ｎ＝ｒ的情況下，最簡單、最常用的反演方法是最小方差法。這里ｒ是數據方程數據核Ｇ的秩。第二十二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五在解欠定問題時，需要對模型參數強加一些先驗信息，以增加（N-M）個不足的信息。然而，這并不表示，在解超定問題時，就不應該、不可能對模型參數強加任何先驗信息。恰恰相反，在解欠定問題時，可對模型參數強加先驗信息，在解超定問題時，也可對觀測數據強加已知的先驗信息。

第二十三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五先驗信息在模型構制中的應用:1.對模型參數的限制;2.對觀測數據的限制;3.等式限制條件的應用;4.不等式限制條件的應用.第二十四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五5，觀測數據和模型參數估算值之方差

不管是超定問題、欠定問題還是混定問題，均未涉及觀測數據的統(tǒng)計特征。實際地球物理資料的反演中，觀測數據是有誤差的。有誤差就要遵守一定的統(tǒng)計特性。在歐幾里得空間解地球物理反問題時，對觀測數據的統(tǒng)計特性有何要求，這是本次課要討論的問題。第二十五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五假定每一個觀測數據都是隨機變量，且服從高斯分布規(guī)律，即：

第二十六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五對M個獨立觀測數據來說其聯合分布滿足：第二十七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五欲使隨機變量d的概率最大，則必須使：

第二十八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五因范數就意味著觀測數據（或模型參數）必須遵守高斯正態(tài)分布的統(tǒng)計規(guī)律。實踐證明，大多數地球物理觀測數據都服從或近似服從高斯分布，這就為利用該范數極小求解地球物理問題提供了可靠的依據。第二十九頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五假定觀測數據服從高斯分布，具零平均值，在方差為的條件下，分析一下在反演映射過程中，觀測數據的誤差對模型參數有何影響。第三十頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五

第三十一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五利用數據方程（2.1）式，則（2.35）式可化為:故在最小方差意義下，有：第三十二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五最小方差解之協(xié)方差矩陣為：如觀測數據是相互獨立的，且均勻單位標準方差，則上式最后可簡化為：第三十三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五不管是最小方差解還是模型最小長度解，模型估計值之方差主要都取決于矩陣，或其特征值。特征值越小，引起的方差越大。由此可見，小特征值對模型參數的方差起著決定性的作用。第三十四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五6，線性規(guī)劃——范數解當觀測數據是隨機變量，且服從指數分布時，應該用范數解式才是符合統(tǒng)計規(guī)律的。下面介紹的是線性規(guī)劃法是一種解范數的行之有效的方法。線性規(guī)劃（linearprogramming）簡稱ＬＰ，是一種求條件極值的方法。其目標函數和約束條件都是關于自變量的線性方程。所以，線性規(guī)劃問題是求目標函數。第三十五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五線性規(guī)劃問題是求目標函數：在約束條件：的約束下的求極值問題。第三十六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五對式所示的約束條件，可引入松弛變量，把它變成等式：對形如式所示的約束條件，可引入松馳變量，把它變成等式：第三十七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五引進松弛變量的目的是把不等式的約束條件為等式約束條件，以構成統(tǒng)一的形式，即：式中：第三十八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五松弛變量的引入，非但不影響目標函數E在約束條件限制之下求最優(yōu)解，反而使問題大大簡化。這時線性規(guī)劃問題就變?yōu)榍竽繕撕瘮担涸诩s束條件式限制之下的極值問題。第三十九頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五7，范數解;前面講述了地球物理資料反演中常用的兩種“長度”——范數和范數所定義的長度。除了這兩種定義以外，其他范數同樣可以在反演中應用。由于范數不同，自然構制出來的模型就有差異，對統(tǒng)計量（也許是觀測數據，也許是模型參數）之統(tǒng)計特征的要求也不一樣。這是因為，范數的定義不同，對統(tǒng)計量的加權值就不一樣。突出最大者，它可以提供一種模型參數的最壞估計值。這里所謂的“最壞”是相對其他范數而言的，所以有人又稱它為“極端