數(shù)學(xué)欣賞主講：張文俊深圳大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院張文俊TheBeautyofMathematics

數(shù)學(xué)之美分形動(dòng)畫數(shù)學(xué)之美E-mail:zwj@10.方圓合一，自然規(guī)律——

、、e的聯(lián)手

正態(tài)曲線描述了自然與社會(huì)中的大量現(xiàn)象。比如，自然生長(zhǎng)的各種動(dòng)植物的高度、重量、體積的分布；人類的身高、體重、血壓……以至一些非數(shù)量性的指標(biāo)如智力、心理素質(zhì)等；10.方圓合一，自然規(guī)律——

、、e的聯(lián)手憑直覺(jué)截取某一計(jì)劃長(zhǎng)度的繩子時(shí)實(shí)際截取結(jié)果的分布等。10.方圓合一，自然規(guī)律——

、、e的聯(lián)手在高考中，不能根據(jù)原始分?jǐn)?shù)判定學(xué)習(xí)質(zhì)量。必須找到一個(gè)不變的測(cè)量參照點(diǎn)和一個(gè)對(duì)同批考生參加所有的考試都保持等值的測(cè)量單位。標(biāo)準(zhǔn)分可以解決這個(gè)問(wèn)題。采用標(biāo)準(zhǔn)分的依據(jù)就是，考試分?jǐn)?shù)呈正態(tài)分布狀態(tài)。10.方圓合一，自然規(guī)律——

、、e的聯(lián)手按照標(biāo)準(zhǔn)分：考分介于400和600之間的人占68.26%；考分超過(guò)800和抵于200的人總共占0.27%，其中超過(guò)800的人占0.135%。第三節(jié)

五個(gè)重要常數(shù)自然對(duì)數(shù)的底e0，1與虛數(shù)單位i圓周率五個(gè)重要常數(shù)的關(guān)系InThisSection0，1與虛數(shù)單位i

0，1與虛數(shù)單位i

1.數(shù)字0（1）幾何：坐標(biāo)原點(diǎn)，正、負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)；（2）代數(shù)：加法的零元；（3）豐富的含義：0°C，起點(diǎn)，0！=1，a0=1，0沒(méi)有輻角，0沒(méi)有對(duì)數(shù)0，1與虛數(shù)單位i2.數(shù)字1（1）整數(shù)單位，在加法下，一切自然數(shù)均由1生成；在乘法下，1是啞元。0，1與虛數(shù)單位i（2）“1”的各種表現(xiàn)

0，1與虛數(shù)單位i（3）關(guān)于“1”的猜想---谷角猜想一切自然數(shù)都可以借助“2”、“3”，經(jīng)過(guò)加、減、乘、除回歸為“1”。法則：偶數(shù)÷2奇數(shù)×3+1；循環(huán)進(jìn)行。3.虛數(shù)單位i

圓周率1問(wèn)之源——圓的來(lái)歷圓的來(lái)歷：

6000年前，在尼羅河三角洲1000公里處的美索不達(dá)米亞平原的人們，受圓月啟發(fā)，發(fā)明了輪子。2問(wèn)之斜源——什么囑是圓輪周率酬？圓周挖率——圓的砌周長(zhǎng)液與圓籮的直駝徑之筍比；17殺37年瑞士數(shù)學(xué)禮家歐拉引入繩記號(hào)；17蕩61年德國(guó)數(shù)學(xué)識(shí)家La枕mb樸er愿t證明是無(wú)理駱數(shù)；18土82年德國(guó)數(shù)學(xué)貿(mào)家Li織nd茫ma莫n證明是超越碰數(shù)——即它逼不是車任何暗整系蠅數(shù)多更項(xiàng)式查的根量。2問(wèn)之睜源——什么斥是圓骨周率損？圓周公窩式：C=置2r圓面梢積公式征：A=r2圓周修率有佳何重采要？2問(wèn)之傍源——什么水是圓租周率族？球體患表面格積公式辦：A=昌4r2球體敏體積公式：V=（4/直3）r33求之側(cè)法（1）實(shí)江驗(yàn)、所測(cè)量時(shí)間濤：公元晶前5世紀(jì)購(gòu)之前傅；地點(diǎn)末：古代自中國(guó)唱、古右埃及詢、古往巴比姥倫；數(shù)值唯：33求之旱法（2）“好兩面冠夾攻厚”(內(nèi)接枕、外牽切正返多邊偶形)時(shí)間墓：公元發(fā)前25庫(kù)0年左究右；地點(diǎn)今：希臘活；人物斤：Ar嗓ch角im括ed某es；數(shù)值辭：22踢3/督71腔<<2經(jīng)2/勇7阿基傻米德（Ar多ch懶im座ed志es棒,莖28戀7俯B.自C.腦21謠2啞B.央C.）3求之綱法（3）“純割圓圈術(shù)”時(shí)間淚：3世紀(jì)堡中；地點(diǎn)蛾：中國(guó)離；人物于：劉徽蒙；數(shù)值尸：3.需14杯12互4劉徽油（生雷于公先元25污0年左駐右）火，中酸國(guó)數(shù)辟學(xué)家姻，著毀有《九章所算術(shù)慰注》和《海島偉算經(jīng)》．割圓販術(shù)細(xì)譜解先作雁一個(gè)半自徑為1的單雕位圓嗚；然后醬做內(nèi)林接正儲(chǔ)六邊催形由此萬(wàn)逐步恩算出2n×6內(nèi)接菠正多邊形的驅(qū)周長(zhǎng)。（n=仔1聽(tīng),未2灰,助3銳,祖…）割圓元術(shù)細(xì)賀解劉徽認(rèn)為：“割之越細(xì)，所迷失越少，占割之落又割保，以藏至于不可榜割，則與鋒圓合雪體而許無(wú)所跡失矣！”劉徽一直計(jì)算到96邊形的嚴(yán)周長(zhǎng)，得≈3.看1412扭4。3求之云法（4）互“綴濟(jì)術(shù)”時(shí)間：5世紀(jì)茄中期另；地點(diǎn)：中國(guó)萬(wàn)；人物：祖沖陳之；數(shù)值晚：準(zhǔn)確驗(yàn)到7位小堤數(shù)祖沖汁之（42予9—呼50揭0）是羊我國(guó)交南北貞朝時(shí)燈期著鏡名數(shù)沖學(xué)家3求之載法（5）代廣數(shù)表鐮達(dá)式（16世紀(jì)架末，35位小旁數(shù)）（6）微饒積分寇方法遭（18世紀(jì)帽以后并：超跑過(guò)5億位譽(yù)小數(shù)胸）。4表之桂道15沫92年,法國(guó)男數(shù)學(xué)抽家韋達(dá)利用攝半角找公式訪給出主了的如脈下無(wú)縱窮乘謠積表飛達(dá)：4表之爺?shù)?6把55年,英國(guó)報(bào)數(shù)學(xué)詢家瓦里慮斯在以騙極小匠長(zhǎng)方視形近爬似計(jì)酬算1/敲4圓面銀積時(shí)日利用友二項(xiàng)好式定昂理給舍出的如少下無(wú)宰窮乘額積表綱達(dá)：4表之修道16圍58積年，布龍層科爾給出嫌了4/的如蹈下連微分?jǐn)?shù)頌表達(dá)4表之蓄道16福74處年，錢德國(guó)粥數(shù)學(xué)敵家萊布六尼茨利用章反正么切級(jí)喜數(shù)給穴出了的如蝦下無(wú)耗窮級(jí)鋒數(shù)表階達(dá)：4表之更道牛頓的表吊達(dá)式婆：34表之余道歐拉的表中達(dá)：24表之止道17婆06年，隨英國(guó)擾數(shù)學(xué)計(jì)家梅欽建立位了1僚e3表之填道17脫34年，Eu梨le影r給出5捉之傅術(shù)(1睛)概率丙方法向：投針百問(wèn)題梅：蒲豐（Co傷mt激e斯de雜B第uf尤f(wàn)o專n,遼1淚70統(tǒng)7巡壽17設(shè)88）法國(guó)擊博物尊學(xué)家在17豬77年刊按行的《或然算術(shù)》一書中，提出夾投針廚問(wèn)題5捉之醒術(shù)在一臭張白嗚紙上鞏畫上洽間距勿為2的許如多平敏行線喜，將壟長(zhǎng)度蒼為1的小擴(kuò)針一恢枚一媽枚地?fù)茝母咄滋庪S極意投注到紙?jiān)瓷稀?捉之顫術(shù)設(shè)投算針次敗數(shù)為n，針洲與平號(hào)行線爹的相既交次漠?dāng)?shù)為k（n），搞則5捉之訊術(shù)為什閉么？a.小針任碰線舅次數(shù)盲與針更的長(zhǎng)裳度成蘿正比敞，與蠅針是孕否彎狹曲以切及彎乒曲的劇方式銜無(wú)關(guān)乳；b.直徑猛等于驗(yàn)平行年線寬啦度的備圓周另每投色一次存都要臺(tái)與平緞行線收有兩耗個(gè)交合點(diǎn)。5捉之山術(shù)19籍01年,意大輝利數(shù)藝學(xué)家拉茨鼻瑞尼進(jìn)行枕了34猜08次投勸針,由此游給出稿圓周犯率的近榴似值3.接14絲式15糊92閱9.5捉之慌術(shù)(2規(guī))數(shù)論匙方法蓄：19說(shuō)04年,R粥.查特照根據(jù)婚數(shù)論常中的戴結(jié)論吧指出速：隨意悲寫兩面?zhèn)€自找然數(shù)軋，兩皇數(shù)互渣質(zhì)的跡概率啦為6算之丟路遠(yuǎn)古檔：中國(guó)惑、埃俘及測(cè)量付，周慢三徑糟一尾（《周髀藝算經(jīng)》）公元郵前20雪00年：巴比影倫，3，公元戒前5世紀(jì)敲：希臘拳，3.突14潛166算之曉路公元戴前25完0年左碑右：希臘幅，（Ar辜ch疑im后ed言es）“兩面愛(ài)夾攻樓”（盈內(nèi)接密、外費(fèi)切正女多邊朗形）安，得封到3.垮14病08小45眾07瞎04專2≈22徒3/紙71故<<2么2/喇7≈3炭.1旱42捷85喪71餐42篩8…6算之疼路公元1世紀(jì)晌初：中國(guó)鎖劉員歆≈3.挑15撈4公元1世紀(jì)碎末：中國(guó)完張壩衡≈3.嚇14籮66≈1望01/增2≈3.顧16糧26算之位路公元3世紀(jì)倦中：中國(guó)睬劉系徽商用惠割圓涼術(shù)算廈出≈3.掉14排12起4公元5世紀(jì)均中：中國(guó)究祖沫沖之冒用“闊綴術(shù)蔥”或諸劉徽仔的方伐法，限準(zhǔn)確疏到7位小瘡數(shù)6算之責(zé)路祖沖廣之算出7位小荷數(shù)，督指出3.弊14離25嘩92碑6卷<<啞3.故14娃15自92源735今5/寫11栗3(祖率染、密點(diǎn)率)醒<<詞22假/7（約嚼率）密率：≈35初5/并11迅3槍=僻3.腔14秒15厭92中92撈03浩56算之窩路再看發(fā)看：將11兩33襲55倒寫無(wú)再加1得55述33楊11仍+1君=繞5也53江31稼2，中間鏈斷開(kāi)欣相除涌得55洲3/鴿31鄰2≈1.寬77已2435鏈89崗7而6算之冷路15彈96年：荷蘭要數(shù)學(xué)贊家Lu倘do污rf，15位--濕-3幕5位(在西壺方，藝圓周激率又叉被稱另為是Lu趣do陶rf常數(shù)住）17世紀(jì)好：72位18世紀(jì)棵：13雷7位19世紀(jì)唇：52紋7位6算之拳路19模73年：法國(guó)壘數(shù)學(xué)柏家用削計(jì)算晝機(jī)10忌0萬(wàn)位19消89年：日本萬(wàn)金墊田康氧正53翠6,拿87軌0,辜00粱0位7追之懸由從應(yīng)范用的擺角度剃來(lái)講多，只很要有勾十幾繳位就告足夠飛了。余比如鎖，在占知道戴地球量精確徹直徑突的情則況下脅，要需計(jì)算登精確挽到1厘米叉的地糾球赤墾道周斥長(zhǎng)，降只要的9位小蟻數(shù)即耍可。剖如果夏要計(jì)死算以婆地球室為心消，以央從地紀(jì)球到敞月亮渣距離詠為半康徑的若圓周病長(zhǎng)，臂利用的18位小疊數(shù)，艙其誤夫差不演超過(guò)0.搜00攏01宇mm古,這種青精度衫實(shí)在柴是不橫必要虎的。7追之仁由但是甘，為城什么臭人們雷希望幟把的值到算得小那么銜精細(xì)蝕呢？煉又為關(guān)什么的小立數(shù)值衛(wèi)有如妄此的屆魅力衣呢？7追之汁由（1）它著可以考檢驗(yàn)溫超級(jí)覆計(jì)算傲機(jī)的振硬件蟲和軟懸件的秩性能殊；（2）計(jì)春算方鏡法和夕思路名可以陸引發(fā)愛(ài)新的訊概念惜和思府想；（3）的數(shù)罪字展絕開(kāi)真疼的沒(méi)香有一滲定的甘模式挑嗎？踏它的川樣式私含有賭無(wú)窮諸的變?yōu)a化嗎趴？（4）的數(shù)御字展會(huì)開(kāi)中復(fù)某些祥數(shù)字活出現(xiàn)詠的頻其率會(huì)揚(yáng)比另蓮一些漠高嗎鉗？是約否它伸們并晉非完鹽全隨富意？8記之唱方我國(guó)擊流傳蓮一個(gè)癥有趣捏的故圈事：謹(jǐn)山腳蝦下一氏所小秘學(xué)的魔一個(gè)戴數(shù)學(xué)圖老師對(duì)，每滲天都干要爬育上山村頂?shù)牟室蛔宜聫R擊與和倦尚對(duì)不飲。櫻一天求，上嚴(yán)山前獎(jiǎng)他布戒置學(xué)慚生背星圓周混率，執(zhí)要求眾每個(gè)歸學(xué)生洞必須害背出22位小飛數(shù)，績(jī)一個(gè)斤聰明售的學(xué)拐生把湊老師洲上山字喝酒磁的事健編成倒一段搭順口養(yǎng)溜：侄“山菜顛一預(yù)寺一協(xié)壺酒臟，爾攝樂(lè)苦靜煞吾扛，把蔽酒吃昂，酒櫻殺爾姜，殺雙不死李，樂(lè)桶爾樂(lè)克。”營(yíng)按照獨(dú)漢語(yǔ)沫諧音意，這施段話次就是歉：3.薦14藥15困9,殿26稱53中5,即89傍7,業(yè)93活2,顧38浪4,究62旅6，這恰幼好為的前22位小井?dāng)?shù)的抽近似施值。8記之愈方英語(yǔ)草中也彩有人肥編出票一句諸話來(lái)盆記憶的七乘位小真數(shù)：功“Ma芳y扯I僚ha賭ve償a暫l衫ar鍛ge切c掠on懸ta械in優(yōu)er貞o盯f辣co術(shù)ff竿ee鐘?”狡(我可舅以要疊一大侄杯咖屋啡嗎怒？)這句蛇話中裝各個(gè)話單詞線所包頓含的皂字母哄數(shù)就熱是中各鵲位數(shù)曬字的普數(shù)值恰。9談之砍趣（1）與音輕樂(lè)（預(yù)日本惱教師陪）（2）利融用取稀整記及號(hào)，患一切味整數(shù)帆都可昆以通應(yīng)過(guò)為瓜數(shù)不地多的的運(yùn)扮算來(lái)那表達(dá)艘。自然籮對(duì)數(shù)注的底e1.e——自然浙變化淚規(guī)律e就是率大家君熟悉膀的“擴(kuò)自然餃對(duì)數(shù)粉的底藝”，丸稱其饒為“冶自然吧”，王實(shí)實(shí)泊在在恢地是羽因?yàn)樗醋V映了銀萬(wàn)物邪生老藏病死佩的自胃然規(guī)諷律。2.e由何秩來(lái)？最大粘復(fù)利鋼問(wèn)題甚：假定竭銀行右活期買存款斃年利那率為10我0%，那勁么一元微存款特到年南底可邊得本負(fù)息和震為2元；半年途時(shí)將田存款聽(tīng)取出縫，再霉存入選銀行此，年蔑底本莖息和塊就是1.裹5+基1.約5×貪50后%啦=數(shù)(1飾.5嫌)2=撿2.耽25元；按季雕度取遍出，弄再存委入，撥年底延本息炸和為(1擋.2冬5)4≈戀2.龍44元；一年嘆分期抱越多赴，年傍底得秩到的眉本息纖和也存就越率多。2.e由何石來(lái)？如果禁一年孕分為n期計(jì)折息，華則每棉期利縮慧率為1/n，存謙款1元，戒年底鄉(xiāng)豐本息遙和為(1鍬+1滋/n)n元。(1幻玉+1詢/n)n隨著n的增哥大而予增大殼，但嘉是決遇不會(huì)嫩超過(guò)3，它菊的極竿限是清一個(gè)超越客無(wú)理海數(shù)3.e的表悶達(dá)一個(gè)捷美麗朱而友糕善的緩表達(dá)戶式4.e的奧羊秘以e為底籠的指抱數(shù)函諸數(shù)y陸=ex是一丟個(gè)具燒有重團(tuán)要地期位和屯美妙左性質(zhì)輕的函踩數(shù)，匆它是愁一個(gè)超越嬸函數(shù)，是藍(lán)增函軋數(shù)，窗而且綱其增穩(wěn)長(zhǎng)速牙度（猶導(dǎo)數(shù)框）與貞其自照身函床數(shù)值竿相同敢，即其反億函數(shù)——對(duì)數(shù)秩函數(shù)y=ln禍x，也木是一克個(gè)超督越函沉數(shù)，瘦但其渡導(dǎo)數(shù)倍則是胡有理列函數(shù)膨。4.e的奧繭秘e不僅啄描述念了銀挎行利群息的溜計(jì)算喬問(wèn)題少，它跌也反然映了芒許多艘事物會(huì)的發(fā)皺展規(guī)屠律，蚊比如鐮，人咐口增亮長(zhǎng)問(wèn)兼題，米魚類腐養(yǎng)殖滑與捕刻撈問(wèn)徑題、撞電子化、生步物、敘經(jīng)濟(jì)滾、化豬學(xué)等允各方攤面都絨包含藥的奧畏秘。4.e的奧曲秘素?cái)?shù)券分布鄰規(guī)律:德國(guó)數(shù)學(xué)釣家高斯在15歲時(shí)路發(fā)現(xiàn)峽素?cái)?shù)普的分娛布與e密切蓬相關(guān)符，如屠果記(n灣)為不排超過(guò)n的素發(fā)數(shù)的榜個(gè)數(shù)仔，則獅有4.e的奧技秘一個(gè)閥數(shù)若角干等派分，舟要使汁各部均分乘春積最缺大，買應(yīng)使盟每份窗盡量鉛接近e。五個(gè)奇常數(shù)物的關(guān)達(dá)系五個(gè)窩重要貿(mào)常數(shù)改的關(guān)龜系1.歐拉飽公式在歐拉蕩公式中取?=，得傻到五個(gè)泡重要寶常數(shù)勝的關(guān)線系12.Sh爭(zhēng)om牙be示rt猜想Sh謠om限be視r(shí)t猜想宅：的數(shù)隱字中訪必有e的前n位數(shù)燈字；同時(shí)e的數(shù)地字中只必有的前n位數(shù)茶字。3.R.雙G.拴Du布gg束le累by的發(fā)現(xiàn)渥太或華大揮學(xué)生扣物化眉學(xué)家R.雜G.窩Du特gg量le策by發(fā)現(xiàn)（精于確到4位小策數(shù)）第四哲節(jié)黃金多分割侄與斐肢波那革契數(shù)康列黃金辦數(shù)之勻數(shù)字暈美黃金鬧分割蹲之來(lái)飛歷黃金初數(shù)與鑄斐波索那契屑數(shù)列黃金侵?jǐn)?shù)與牢自然感之美In吼T劫hi棉s脊Se圖ct抓io烏n黃金旱數(shù)的雨應(yīng)用黃金捷分割容之來(lái)照歷1黃金盟分割—神賜釘?shù)谋鹊壤龝編煛洳伎伺撇肌⒋捌趹簟⒙┱掌唷⒎砍砷g、垂桌面魚、五熄角星攀；雄摧偉的憤建筑循，盛貸開(kāi)的辣花朵僑，健斷美的成形體煮、舒塑適的棄氣溫螺；舞量臺(tái)報(bào)府幕，智講臺(tái)則演講部，動(dòng)般植物段繁殖用等。1黃金衫分割—神賜不的比辨例方形著：尊長(zhǎng)：繡寬≈1.編61子8;寬：辦長(zhǎng)≈0.唯61帆8氣溫?zé)幔喝梭w砍體溫37：適鳳宜氣吉溫23通≈1蜘.6編18奸;適宜林氣溫23：人俗體氣心溫37仙≈0.壓61摧8黃金胸比，剩黃金也數(shù)0.芝61商81黃金察分割—神賜妖的比橡例古希拴臘：農(nóng)最美移、最奴巧妙16世紀(jì)貼，Po醒ch吹io化ly:神賜勁的比鏈例17世紀(jì)勾，Ka晨rp百le隊(duì)r:造物潤(rùn)主賜套予自腰然界隸傳宗君接代陸的美詢妙之垃意；幾何可學(xué)的射兩大擁瑰寶強(qiáng)之一2黃金州分割細(xì)之來(lái)銜歷（1）中忙外比據(jù)《幾何括原本》記載,古希午臘的冊(cè)歐多樂(lè)克斯哀（Eu吉do腫xu粗sofCn優(yōu)id忌os,公元焰前40婚0—前35陜5年）鉤將一渴個(gè)單開(kāi)位長(zhǎng)折的線呢段分姐成兩粱部分裕，使勸得2黃金犁分割刊之來(lái)盡歷稱比砌值x為中爺外比港，或恰中末固比、居外內(nèi)移比，沾易知悅其值鋼為方蔬程x2+x-1嚇=0的一倍個(gè)根2黃金陣分割浴之來(lái)偏歷（2）黃偵金分大割把線幟段分健成中應(yīng)外比留的分屬割叫嶼“黃金紫分割”（晚畫家析達(dá)．勉芬奇霜命名汁），昂無(wú)理她數(shù)叫做秧“黃金睛數(shù)”（壤希帕圍斯）2黃金箱分割加之來(lái)慰歷（3）優(yōu)嘉美的張比：1:叼0制.6宇18淡≈0語(yǔ).6譜18零:0科.3幟82紡≈1繞.6因18觸:1黃金送數(shù)與斐波火那契要數(shù)列1.小兔擇問(wèn)題冠與斐鬧波那半契數(shù)貿(mào)列中世慢紀(jì)的意大閥利數(shù)學(xué)呢家斐波齊那契（Fi銅bo議na供cc素i擋Le墳on粘ar貢do宰,約11梯70級(jí)—1船25繳0），襖著有俊一本洲重要犬著作《算盤包書》。1.小兔蝴問(wèn)題戒與斐址波那預(yù)契數(shù)超列《算盤刮書》中記捆載一稿個(gè)搭“兔天子繁弊殖問(wèn)淋題”缺：一對(duì)洋兔子窗每個(gè)僚月都避生一做對(duì)兔雜子，澡生出伙來(lái)的償兔子么在出箏生兩墊個(gè)月討之后將，也術(shù)每個(gè)旦月生騰一對(duì)勉兔子陷。那順么，盛從一碗對(duì)小泄兔開(kāi)倍始，絹滿一撞年時(shí)稿可以屠發(fā)展吧到多絲式少對(duì)云兔子畢？1.小兔球問(wèn)題程與斐菜波那猴契數(shù)錢列1月1對(duì)1.小兔勉問(wèn)題眾與斐迅波那疾契數(shù)磨列1月1對(duì)2月1對(duì)1.小兔潤(rùn)問(wèn)題送與斐白波那麗契數(shù)稿列1月1對(duì)2月1對(duì)3月2對(duì)1.小兔椒問(wèn)題罵與斐弓波那沙契數(shù)蝦列1月1對(duì)2月1對(duì)3月2對(duì)4月3對(duì)1.小兔叼問(wèn)題扁與斐茄波那種契數(shù)幣列1月1對(duì)2月1對(duì)3月2對(duì)4月3對(duì)5月5對(duì)1.小兔詠問(wèn)題腎與斐襯波那輩契數(shù)迅列1月1對(duì)2月1對(duì)3月2對(duì)4月3對(duì)5月5對(duì)6月8對(duì)1.小兔銷問(wèn)題未與斐醉波那睛契數(shù)占列1月1對(duì)2月1對(duì)3月2對(duì)4月3對(duì)5月5對(duì)6月8對(duì)7月13對(duì)1.小兔會(huì)問(wèn)題杜與斐煙波那統(tǒng)契數(shù)每列列表1月2月3月5月4月6月7月8月9月11月10月12月112358132134558914示4斐波下那契圣數(shù)列蛙問(wèn)題從的答昆案是14撒4對(duì)。1.小兔眉問(wèn)題浙與斐轟波那郵契數(shù)束列這個(gè)摟數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，14每4，…叫斐波菠那契郊數(shù)列，其雞特點(diǎn)曉是：世從第凍三項(xiàng)悠開(kāi)始拉，每丟一項(xiàng)欺都是猶其前朽面兩含項(xiàng)之押和。悠這因叉為1.小兔征問(wèn)題昂與斐漫波那孕契數(shù)竭列2.數(shù)列搞的生斷成函譯數(shù)與巡壽通項(xiàng)符公式生成事函數(shù)是研僵究數(shù)匪列性時(shí)質(zhì)的屋一個(gè)亮有力配工具右。對(duì)已于給估定的迅數(shù)列{an}，它的足生成非函數(shù)揮是指軌下述冪級(jí)隆數(shù)函虛數(shù):2.數(shù)列無(wú)的生素成函緒數(shù)與覺(jué)通項(xiàng)棒公式對(duì)于菌斐波攝那契嬸數(shù)列榜，由纏于a1=a0=1,駝an+2=an+1+an其生著成函扛數(shù)f(x)滿足2.數(shù)列釀的生轟成函極數(shù)與滋通項(xiàng)穩(wěn)公式2.數(shù)列刑的生運(yùn)成函嫌數(shù)與芬通項(xiàng)勒公式由此診得：其中唉，是方曠程x2+x-1欄=0的兩怖個(gè)根厘。2.數(shù)列搬的生催成函半數(shù)與農(nóng)通項(xiàng)睛公式通過(guò)杜求的冪糖級(jí)數(shù)乖展式碼，然我們風(fēng)有2.數(shù)列比的生撲成函炕數(shù)與衫通項(xiàng)炕公式因此這就瓶是斐噸波那和契數(shù)辛列的通項(xiàng)叉公式，這勁一式搶子是趴由法老國(guó)數(shù)獄學(xué)家比內(nèi)（Bi校ne曲t）最先紅證明惑的。3.斐波材那契收數(shù)列鍛的一鴿些性隱質(zhì)利用值斐波朗那契抄數(shù)列右的生形成函鵝數(shù)和炮通項(xiàng)造，可狡以得絡(luò)到它液的一意些重愧要性找質(zhì)：（1）16勞34年，Ki喘la沿te得到:an+箱m=anam+an-1am-13.斐波增那契煙數(shù)列地的一到些性現(xiàn)質(zhì)（比或較數(shù)枕列1，2，4，……，bn=2n,有3.斐波鎮(zhèn)那契柳數(shù)列抱的一纏些性負(fù)質(zhì)（4）斐榴波那吩契數(shù)孫列通敲項(xiàng)的彎行列布式表?yè)袷纠脻蓴?shù)學(xué)起歸納愉法可把以證諷明an有如痕下的男行列堤式表吉示：4.斐波箭那契模數(shù)列叼與黃勵(lì)金分方割根據(jù)Ka評(píng)sh買in浩i公式拍，容筐易看晶出因此唇數(shù)列是Ca潔uc脅hy列，又梁是有腔界列長(zhǎng)，故借收斂。4.斐波得那契腹數(shù)列府與黃益金分軍割由于可得4.斐波分那契腎數(shù)列闊與黃貫金分換割記則從而世應(yīng)有這就家是黃辭金分性割數(shù)惱。6.斐波衰那契業(yè)數(shù)列的其欣它特盾性后來(lái)潑的數(shù)共學(xué)家顛發(fā)現(xiàn)頸了許樣多關(guān)耀于斐波準(zhǔn)那契飲數(shù)列的特慣性。意例如略：1維,笑1賊,餐2棟,舅3紫,戀5臭,薄8運(yùn),儲(chǔ)13巷,疾2在1磁,斥34淋,江5曠5行,誦89盞,飲1跡44鄉(xiāng)豐,殿…第3、第6、第9、第12項(xiàng)的扒數(shù)字莫，能醬夠被2整除浩。36.斐波裳那契璃數(shù)列的其積它特脆性例如拿：1責(zé),剛1寨,亂2賢,千3周,套5寧,悉8牽,估13顫,貼2幟1搬,騎34曠,妨5抖5殼,海89廈,灶1攻44功,宅…第4、第8、第12項(xiàng)的帝數(shù)字旁，能驅(qū)夠被3整除倒。26.斐波榮那契棗數(shù)列的其寸它特昏性例如出：1裙,桶1如,順2鉗,帖3圖,而5奪,潔8牢,瘦13碑,舅2冰1膏,統(tǒng)34吵,回5厲5座,饞89耽,桿1澆44蒼,滾…第5、第10、第15、第20項(xiàng)的勞數(shù)字禁，能客夠被5整除暫。余宰此類半推。數(shù)字耀美黃金受數(shù)之每數(shù)字桶美1黃金揀數(shù)與席無(wú)窮傘迭代黃金屯分割轉(zhuǎn)可以育利用無(wú)窮奪迭代的方抓式得損到。寫比如頁(yè)由于湊，反遲復(fù)利藝用此天式可題得1黃金底數(shù)與鐮無(wú)窮柜迭代再比片如，擊由于仰，反復(fù)后利用南此式注可得31黃金什數(shù)與飾無(wú)窮漁迭代又由抗于乏，姓反復(fù)諷利用繁此式摔可得22奇妙的無(wú)顏理數(shù)矩三胞洞胎黃金饑分割竊數(shù)——奇妙家的無(wú)謹(jǐn)理數(shù)室三胞悠胎黃金燈數(shù)與宅自然撓之美1.植物（1）葉楊片上下晃兩層拾葉子凱之間臟相差13藥7.西5,36飼0-1集37甘.5=2翼22坊.5,13州7.壟5:贊22悲2.舒5=棉22憑2.炒5:瀉36構(gòu)0=君0.葬61訂8這樣笛便于未光合危作用港。1.植物花瓣購(gòu)的數(shù)爪目海棠（2）鐵蘭（3）1.植物花瓣唇的數(shù)黨目洋紫匯荊（5）黃蟬（5）蝴蝶球蘭（5）1.植物花瓣歲的數(shù)印目雛菊（13）雛菊（13）1.植物樹(shù)枝析的數(shù)板目138532111.植物種子規(guī)的排告列（王松果貝）1.植物種子灣的排向列（拳松果德）1.植物種子類的排繳列（汪松果否）1.植物向日益葵1.植物向日駕葵1.植物無(wú)名1.植物無(wú)名1.植物無(wú)名1.植物無(wú)名31.植物無(wú)名21.植物無(wú)名1其它論規(guī)律2.動(dòng)物矛與人（1）動(dòng)貼物繁器殖兔子豪、蜜盛蜂。2.動(dòng)物教與人（2）人唇體比侮例人體膽結(jié)構(gòu)叛中至拾少有14個(gè)“差黃金印點(diǎn)”浩，12個(gè)“黃黃金疲矩形魚”２個(gè)怖“黃齡金指沸數(shù)”象。2.動(dòng)物鞏與人14個(gè)“寶黃金盆點(diǎn)”(1臥)肚臍則：頭后頂－眨足底殲之分鵝割點(diǎn)冷；(2漢)咽喉兵：頭補(bǔ)頂－過(guò)肚臍找之分呆割點(diǎn)撥；(3塌)鼻孔睬：人憑臉縱取向的香黃金惹分割倘點(diǎn)；(4閣)眼睛倒：人脹臉橫掘向的行兩個(gè)棄黃金福分割迫點(diǎn)；2.動(dòng)物察與人14個(gè)“界黃金滲點(diǎn)”(5寫)膝關(guān)獄節(jié)：流肚臍霜－足針底之物分割艘點(diǎn)；(6司)肘關(guān)五節(jié)：輕肩關(guān)珍節(jié)－目中指束尖之掙分割財(cái)點(diǎn)；(7硬)乳頭啊：人群體橫漆向的蓄兩個(gè)雨黃金愚分割蛙點(diǎn)；(沙8遵)心臟漆中心笑：胸加膛的濫黃金拼分割憤點(diǎn)；2.動(dòng)物騰與人14個(gè)“薄黃金兆點(diǎn)”(9)眉間梯點(diǎn)：挑發(fā)際攻－頦委底間謠距上1/酸3與中氏下2/膀3之分跡割點(diǎn)鑼；(1睡0)鼻下廟點(diǎn)：躬發(fā)際文－頦晶底間漁距下1/彈3與上致中2/劇3之分羨割點(diǎn)僚；(1說(shuō)1)唇珠太點(diǎn)：循鼻底陳－頦卻底間鏟距上1/消3與中霉下2/啊3之分艦割點(diǎn)盛；2.動(dòng)物繡與人14個(gè)“歷黃金擦點(diǎn)”(1招2)頦唇塵溝正弓路點(diǎn)婦：鼻附底－感頦底鉗間距著下1/我3與上息中2/順3之分掀割點(diǎn)朱；(1習(xí)3)左口避角點(diǎn)陽(yáng)：口苗裂水它平線