第十五章歐拉圖與哈密頓圖主要內容歐拉圖哈密頓圖帶權圖與貨郎擔問題115.1歐拉圖歷史背景：哥尼斯堡七橋問題與歐拉圖2歐拉圖定義定義15.1(1)歐拉通路——經過圖中每條邊一次且僅一次行遍所有頂點的通路.(2)歐拉回路——經過圖中每條邊一次且僅一次行遍所有頂點的回路.(3)歐拉圖——具有歐拉回路的圖.(4)半歐拉圖——具有歐拉通路而無歐拉回路的圖.幾點說明：規定平凡圖為歐拉圖.歐拉通路是生成的簡單通路，歐拉回路是生成的簡單回路.環不影響圖的歐拉性.3上圖中，(1),(4)為歐拉圖，(2),(5)為半歐拉圖，(3),(6)既不是歐拉圖，也不是半歐拉圖.在(3),(6)中各至少加幾條邊才能成為歐拉圖？歐拉圖實例4無向歐拉圖的判別法定理15.1無向圖G是歐拉圖當且僅當G連通且無奇度數頂點.證若G為平凡圖無問題.下設G為n階m條邊的無向圖.必要性設C為G中一條歐拉回路.(1)G連通顯然.(2)viV(G)，vi在C上每出現一次獲2度，所以vi為偶度頂點.由vi的任意性，結論為真.充分性對邊數m做歸納法（第二數學歸納法）.(1)m=1時，G為一個環，則G為歐拉圖.(2)設mk（k1）時結論為真，m=k+1時如下證明：5PLAY從以上證明不難看出：歐拉圖是若干個邊不重的圈之并，見示意圖3.6歐拉圖的判別法定理15.2無向圖G是半歐拉圖當且僅當G連通且恰有兩個奇度頂點.證必要性簡單.充分性（利用定理15.1）設u,v為G中的兩個奇度頂點，令G=G(u,v)則G連通且無奇度頂點，由定理15.1知G為歐拉圖，因而存在歐拉回路C，令

=C(u,v)則為G中歐拉通路.7有向歐拉圖的判別法定理15.3有向圖D是歐拉圖當且僅當D是強連通的且每個頂點的入度都等于出度.本定理的證明類似于定理15.1.定理15.4有向圖D是半歐拉圖當且僅當D是單向連通的，且D中恰有兩個奇度頂點，其中一個的入度比出度大1，另一個的出度比入度大1，而其余頂點的入度都等于出度.本定理的證明類似于定理15.1.定理15.5

G是非平凡的歐拉圖當且僅當G是連通的且為若干個邊不重的圈之并.可用歸納法證定理15.5.8例題例1設G是歐拉圖，但G不是平凡圖，也不是一個環，則(G)2.證只需證明G中不可能有橋（如何證明？）上圖中，(1),(2)兩圖都是歐拉圖，均從A點出發，如何一次成功地走出一條歐拉回路來？

(1)(2)9Fleury算法算法：(1)任取v0V(G)，令P0=v0.(2)設Pi=v0e1v1e2…eivi已經行遍，按下面方法從E(G){e1,e2,…,ei}中選取ei+1：(a)ei+1與vi相關聯；(b)除非無別的邊可供行遍，否則ei+1不應該為Gi=G{e1,e2,…,ei}中的橋.(3)當(2)不能再進行時，算法停止.可以證明算法停止時所得簡單通路Pm

=v0e1v1e2…emvm(vm=v0)為G中一條歐拉回路.用Fleury算法走出上一頁圖(1),(2)從A出發（其實從任何一點出發都可以）的歐拉回路各一條.1015.2哈密頓圖歷史背景：哈密頓周游世界問題與哈密頓圖

(1)(2)11哈密頓圖與半哈密頓圖定義15.2

(1)哈密頓通路——經過圖中所有頂點一次僅一次的通路.(2)哈密頓回路——經過圖中所有頂點一次僅一次的回路.(3)哈密頓圖——具有哈密頓回路的圖.(4)半哈密頓圖——具有哈密頓通路且無哈密頓回路的圖.幾點說明：平凡圖是哈密頓圖.哈密頓通路是初級通路，哈密頓回路是初級回路.環與平行邊不影響哈密頓性.哈密頓圖的實質是能將圖中的所有頂點排在同一個圈上12實例在上圖中，(1),(2)是哈密頓圖;(3)是半哈密頓圖;(4)既不是哈密頓圖，也不是半哈密頓圖，為什么？13無向哈密頓圖的一個必要條件定理15.6設無向圖G=<V,E>是哈密頓圖，對于任意V1V且V1，均有p(GV1)|V1|證設C為G中一條哈密頓回路(1)p(CV1)|V1|(2)p(GV1)

p(CV1)|V1|（因為CG）推論設無向圖G=<V,E>是半哈密頓圖，對于任意的V1V且V1均有

p(GV1)|V1|+1證令uv為G中哈密頓通路，令G=G(u,v)，則G為哈密頓圖.于是

p(GV1)=p(GV1(u,v))|V1|+114幾點說明定理15.6中的條件是哈密頓圖的必要條件，但不是充分條件（彼得松圖）由定理15.6立刻可知，Kr,s當sr+1時不是哈密頓圖.易知Kr,r（r2）時都是哈密頓圖，Kr,r+1都是半哈密頓圖.常利用定理15.6判斷某些圖不是哈密頓圖.例2設G為n階無向連通簡單圖，若G中有割點或橋，則G不是哈密頓圖.證設v為割點，則p(Gv)2>|{v}|=1.K2有橋，它顯然不是哈密頓圖.除K2外，其他有橋的圖（連通的）均有割點.其實，本例對非簡單連通圖也對.15無向爸哈密察頓圖村的一狂個充老分條輸件定理15似.7設G是n階無展向簡念單圖原，若懸對于師任意玻不相仿鄰的上頂點vi,vj，均腥有d(vi)+d(vj)n1蠅()則G中存粥在哈輸密頓巨通路.證明堅線索帖：(1陣)由()證G連通(2議)=v1v2…vl為G中極恨大路踩徑.若l=n,證畢.(3西)否則幸，證G中存匪在過上所亂有頂周點的睜圈C，由(1杏)知C外頂點存偏在與C上某嶄頂點買相鄰武頂點夠，從襯而得乓比更長院的路鵲徑，昏重復(2陪)拳–(送3)，最尼后得G中哈蠟密頓被通路.16證明證（業著重大關鍵閉步驟穴）(1驅)由()及簡碌單圖驕的性岡質，刊用反搜證法潛證明G連通.(2診)=v1v2…vl為極氧大路訊徑，ln,若l=n（結頸束）.下面墨討論l<欣n的情真況，準即要口證G中存蜻在過上所鴉有頂苗點的闖圈.①若(v1,vl)在G中，膝則(u,v)為G中圈②否則，設v1與上相鄰，則k2(否則由極大路徑端點性質及()，會得到d(v1)+d(vl)1+l2<n1)，又vl至少與左邊相鄰頂點之一相鄰(寫出理由)，設與vl相鄰，見圖中(1)，于是得G中回路C((1)中圖去掉邊())17證明圖(1亞)圖(2馬)(3繭)由連育通性拼，可喚得比更長莊的路橡徑（逗如圖(2踐)所示批），對它吃再擴護大路財徑，祝重復(2調)，最建后得們哈密卵頓通煩路.18推論推論設G為n(n3)階無招向簡勒單圖多，若非對于G中任敬意兩帥個不相將鄰的郊頂點vi,vj，均分有d(vi)+d(vj)n（）則G中存歸在哈截密頓溫回路邪，從遠而G為哈悉密頓屯圖.證明駐線索潔：由吐定理15蜂.7得=v1v2…vn為G中哈次密頓面通路.若(v1,vn)E(G)，得為證.否則圾利用甘（）證撥明存嘴在過v1,v2,…,vn的圈(哈密擱頓回芽路).定理15插.8設u,v為n階無摔向簡冤單圖G中兩惕個不僅相鄰讓的頂濃點，被且d(u)+d(v)n，則G為哈宰密頓調圖當扔且僅持當G(u,v)為哈鴉密頓快圖.19幾點搏說明定理15缸.7是半轟哈密梢頓圖緊的充卸分條肯件，述但不幣是必胳要條此件.長度為n1（n4）的旁路徑衫構成煤的圖朵不滿歌足（）條卡件，育但它禽顯然是蹦半哈竹密頓滑圖.定理15房誠.7的推繭論同杜樣不紡是哈五密頓恭圖的糠必要臺條件輝，G為長蟲為n的圈，拼不滿建足（）條村件，斜但它玻當然廈是哈蜻密頓席圖.由定助理15技.7的推答論可臺知，Kn（n3）均惜為哈酷密頓惠圖.20n（n2）階姓競賽舌圖中叨存在炊哈密株頓通獸路定理15希.9若D為n（n2）階革競賽叉圖，茂則D中具源有哈贊密頓治通路證明列思路跌：注嚷意，峽競賽狐圖的修基圖磨是無厘向完盼全圖.對n（n2）做歸竊納.只需柏觀察低下面負兩個騎圖.無向散哈密楊頓圖蛙的充煎分條訴件21判斷卡某圖峰是否脖為哈節密頓誕圖方套法判斷島某圖幣是否圣為哈賣密頓夢圖至暗今還影是一蠅個難芬題.總結絕判斷暴某圖蜓是哈耕密頓積圖或脖不是船哈密笛頓圖首的某己些可廊行的身方法.1.觀察外出哈漁密頓雀回路.例3下圖(周游樓世界京問題)是哈姐密頓外圖易知abcdefghijklmnpqrsta為圖秤中的鑄一條匙哈密拜頓回輸路.注意宗，此招圖不綠滿足假定理15龜.7推論炸條件.222．滿龍足定腦理15坐.7推論辜的條挑件（）.例4完全暗圖Kn(n3)中任流何兩插個頂謝點u,v，均角有d(u)+d(v)歐=洗2(n1)n（n3），所以Kn為哈詞密頓偏圖.3．破歷壞定構理15磨.6的條賺件的護圖不離是哈侍密頓郊圖.例5在四躁分之尾一國王際象躺棋盤倍（44方格購組成妄）上攪跳馬繡無解.在國針際象睡棋盤慕上跳巴馬有龍解.判斷抽某圖拔是否炕為哈耍密頓巷圖方卷法23令V1={a,b,c,d},則p(GV1)帳=羊6篇>4，由獅定理15蔑.6可知雄圖中帆無哈填密頓賤回路.在國投際象糊棋盤纏上跳敘馬有裂解，餓試試金看.24設GG，稱為G的權，并記作W(G)，即定義15蘭.3給定考圖G=尾<V,E>，(G為無終向圖憂或有驢向圖)，設W:ER(R為實續數集)，對G中任塞意邊e=席(vi,vj)(G為有拖向圖時，e=遇<vi,vj>)，設W(e)飼=wij，稱獎實數wij為邊e上的權，并街將wij標注陷在邊e上，臟稱G為帶權激圖，此圖時常趨將帶逼權圖G記作<V,E,W>.15旗.3最短仙路問尋題與貨摸郎擔席問題25貨郎摘擔問鍋題設G=<V,E,W>為一攤個n階完符全帶華權圖Kn，各議邊的哄權非界負，執且有的輛邊的洪權可降能為.求G中的葵一條余最短溜的哈蔑密頓染回路雄，這忙就是貨四郎擔紹問題蜜的數喬學模頸型.完全上帶權陽圖Kn（n3）中懇不同魯的哈址密頓酒回路中數(1刺)Kn中有(n1)房誠!條不舅同的價哈密眾頓回塊路（麗定義陰意義今下）(2丘)完全粉帶權歉圖中斧有(n1)肥!條不愈同的師哈密獵頓回盯路(3死)用窮造舉法啄解貨欠郎擔肝問題御算法扮的復亦雜度注為(n1)！，組當n較大積時，洲計算駝量驚脆人地延大26解C1=abcda,W(C1)=摔10C2=abdca,W(C2)=裙11C3=acbda,W(C3)=違9可見C3(見圖脖中(2鵝))是最丟短的腰，其鍛權為9.例6求圖嶺中(1忙)所示駕帶權艦圖K4中最翼短哈大密頓孫回路.(1)(2)27第十拼五章早習獨題課主要哭內容歐拉倘通路卸、歐夜拉回絹路、擴歐拉顫圖、伯半歐楊拉圖竭及其砌判別扁法哈密起頓通艙路、家哈密此頓回側路、鍛哈密圓頓圖基、半之哈密誦頓圖帶權奸圖、賠貨郎稻擔問史題基本選要求深刻旱理解殿歐拉疑圖、血半歐落拉圖孔的定筒義及清判別惕定理深刻賴理解押哈密毫頓圖泄、半爪哈密爬頓圖肝的定工義.會用糕哈密邀頓圖謙的必雷要條鞋件判孤斷某刃些圖眨不是懷哈密睜頓圖.會用遺充分隔條件筑判斷假某些恩圖是漿哈密另頓圖.要特玩別注聾意的板是，柄不能千將必義要條抹件當日作充螞分條尖件，陪也不乳要將伴充分處條件巷當必姓要條往件.281.設G為n（n2）階仰無向寨歐拉靠圖，叼證明G中無您橋(見例1思考釘題)方法對二：臣反證西法.利用狀歐拉荷圖無側奇度直頂點李及握制手定棄理的魄推論.否則裁，設e=(u,v)為G中橋伍，則Ge產生錢兩個肆連通豈分支G1,G2，不倡妨設u在G1中，v在G2中.由于廈從G中刪尋除e時，桑只改伯變u,v的度洪數(各減1)，因雄而G1與G2中均溜只含啊一個僚奇度尾頂點傅，這眾與握楊手定咳理推停論矛洽盾.練習1方法揮一：憶直接貨證明來法.命題(*商)：設C為任恰意簡行單回繪路，e為C上任紹意一洋條邊求，則Ce連通.證哭設C為G中一嗎條歐拼拉回偷路，否任意喜的eE(C)，可知Ce是Ge的子侵圖，齊由(分)知Ce連通怖，所邪以e不為拋橋.292.證明瓣下圖領不是烈哈密裁頓圖.遼(破壞扛必要套條件)方法艇一.利用地定理15腫.6，取V1=縱{a,c,e,h,j,l}，則p(GV1)險=爪7業>攔|V1|隊=舌6練習2方法返二.G為二里部圖忘，互聾補頂薪點子茶集V1=綁{a,c,e,h,j,l},V2=斧{b,d,f,g,i,k,m}，|V1|黑=據67功=千|V2|.方法巾三.利用檢可能究出現水在哈懶密頓猾回路來上的懶邊至播少有n(n為階閘數)條——這也練是哈旺密頓俗圖的離一個銷必要槐條件努，記芒為（）.此圖腰中，n=癥13，m=斤21照