低速空氣動力學理論與計算第三章1第一頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五本章主要內容流場的基本描述方法場觀點與粒子觀點場觀點下的加速度表達方法流線、流管和流面微團的運行學分析散度、旋度、位勢平面、空間流場基本控制方程微分形式、積分形式環量與渦環量渦的概念理想流體中的渦2第二頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五引言上一章介紹了一維流動，現在推廣到二維和三維空間對流體仍舊使用連續介質假定，并研究它的運動情況及直接關聯的物理量（速度、壓強、密度、溫度等）研究對象的選擇研究方法數學工具基本結論3第三頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五流場的基本描述方法流場描述的兩種方法：兩種方法的等價關系拉格朗日觀點（粒子方法）沿用描述剛體運動的方法：標號（a，b，c，t0）研究每個微團在坐標系（xyz）隨時間變化的規律：坐標隨時間的變化就是微團的速度，速度隨時間的變化就是加速度；微團的坐標、速度、加速度都是（a，b，c，t）的函數這個方法沿襲剛體動力學方法，卻不好用，一般不用歐拉觀點（場方法）研究空間各點物理量的變化，速度和加速度是指位于某點的微團的速度和加速度上式描述流完整的流動，包含四個獨立變量，分別是空間坐標和時間，必須另外賦予意義才能定義諸如dx/dt，d2x/dt24第四頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五流場的基本描述方法一個布滿某種物理量的空間稱為場，上面的公式是速度場，還有壓力場、密度場、溫度場，都是流場機翼導致的流場：空間和時間的函數5第五頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五流場的基本描述方法歐拉方法的加速度表達式一維流動中已經介紹過加速度的兩個組成部分：當地加速度：P(x,y,z)在t時刻流體微團的速度是時間的函數遷移加速度：遷移導致的速度改變加速度：隨體導數（物質導數、實導數）D/Dt6第六頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五表征流場的曲線--流線流線的定義：這條曲線上的任何一點曲線的切線都和該點微團的速度方向一致，就是流線在歐拉描述中，場每一點都有速度（大小和方向），那么在某一個瞬間看流場，從某點出發，順著這一點的速度指向微小距離的鄰點，再按鄰點同一時刻的速度指向再畫一個微小距離，一直畫下去就得到一條曲線。流線滿足的方程流線上各點的切線與該點流向一致，則流線上的切線的三個余弦dx/ds，dy/ds，dz/ds必和流速的三個分量與合速度所夾的三個角度的余弦相同如果流場各點的速度都知道，但流線沒有解析式，可以用流線方程逐點畫出流線7第七頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五表征流場的曲線--流線定常流線與非定常流線一個物體在靜止的大氣里做勻速運動，在靜止坐標系上看運動是非定常的只要加上一個與物體速度相反的直勻流速，流動就是定常的（相對坐標）在不同坐標系中受力情況是一樣的8第八頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五流管和流面流管的定義經過某一條一般的封閉圍線的所有流線氣流絕對不會穿越流線運動（相切無法向速度），流動只能限制在流管內流面的定義相鄰流線連成的曲面流動無法穿越9第九頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五微團的運動學分析平面流動的微團運動的分析：線變形率角變形率轉動10第十頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五微團的運動學分析三維流動的微團運動的分析：包括整體移動、線變形、角變形和角速度

第一項：整體移動

第二項：線變形率

第三、四項：角變形率

第五、六項：角速度11第十一頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五微團的運動學分析散度定義：三個方向線變形率之和可壓縮與不可壓縮對于不可壓縮流體：如果流體密度有變化，散度一般不等于012第十二頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五微團的運動學分析旋度與位勢上面分析得到三個角速度分量，合角速度是某點上微團的瞬時角速度稱為旋度有旋流與無旋流（理論意義）無旋條件：即上式為是全微分的必要和充分條件13第十三頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五微團的運動學分析若是無旋流，存在全微分這個Φ稱為速度位勢速度位勢在某個方向的偏導數等于速度在那個方向的分量14第十四頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五微團的運動學分析有關速度位勢的分析速度位勢的叫法來自于有勢力在保守力場（引力場）中有勢力對某個方向取偏導數就等于那個方向的分力無旋流場速度位勢的偏導數等于那個方向的分速度類比有勢力，無旋速度位勢之差與路徑無關，絕對值不重要15第十五頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五微團的運動學分析速度位勢的應用：速度位勢是坐標點的函數一個無旋流場一旦知道速度位勢的具體函數就可以計算出任何一點的速度，所以對于無旋流場的問題一般歸結為如何求流動的速度位勢例子：二維流場速度分布此例僅為示意，真實情況中都是先求出位勢16第十六頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五流場基本控制方程連續性方程（質量守恒）質量守恒定律在空氣動力學中的具體表現形式方程的推導微分形式不可壓縮積分形式（方程推導說明：積分和微分形式，哪個更基本？）17第十七頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五流場基本控制方程歐拉方程（運動方程）牛頓第二定律在流體力學中的應用方程的推導：微分形式（歐拉方程）18第十八頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五流場基本控制方程關于方程的說明這三個微分式規定了壓強變化和速度變化以及體力之間的關系速度變化和體力的存在是壓強改變的原因，彼此獨立，可以分開計算某個方向的體力乘以流體的密度就是那個方向的壓強梯度（如果只考慮重力—浮力）（只要體力存在，對壓強的總有永遠是這個計算方法）空氣可以忽略體力的影響（根據情況，不能一概而論）速度變化的影響：流速增大，壓強降低；流速下降，壓強上升；沒有流速就沒有壓強梯度。19第十九頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五流場基本控制方程運動方程的蘭姆形式20第二十頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五流場基本控制方程歐拉方程的積分流動無旋，存在速度位勢假設體力有勢：對蘭姆方程分別乘以dx，dy，dz，然后相加就可以積分了，得21第二十一頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五流場基本控制方程對于不可壓縮流體的定常流，上式可以積分，得對于氣體忽略體力，有這就是低速氣流的Bernulli方程，C是總壓，可以寫成：這個公式與一維流的Bernulli公式形式完全一樣，但意義略有不同，這里的積分是在無粘無旋的前提下進行的，總壓在整個無旋流場中是常數。如果不是無旋流場怎么辦？歐拉方程仍舊可以積分，如何積分？22第二十二頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五流場基本控制方程對于有旋流動的歐拉方程的積分：沿流線積分，即增加約束微分方程推導：以dx，dy，dz分別乘以定常流的歐拉方程，得23第二十三頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五流場基本控制方程進一步代入流線方程，總加起來有：仍舊假設體力有勢，在不可壓縮流中可以得到積分：此處的積分是在流線約束下獲得的，所以每條流線有一個常數，彼此不同24第二十四頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五例子機翼繞流25第二十五頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五流場基本控制方程積分形式的動量方程：微分形式的動量方程適用于流場的每一點，但不是所有問題都能將每一點的流動弄清楚，一般只需要知道總的合力作用—使用積分形式的動量方程一維流動介紹過動量定理，現在只需簡單推廣26第二十六頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五流場基本控制方程X方向動量方程第一項是當地變化率，與流動無關；后三項是遷移變化率，可以化為穿過S面的動量變化：27第二十七頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五流場基本控制方程上述面積分包括流入與流出S的x方向動量，x方向動量的隨體導數為：S上x方向全部壓力（沒有黏性力作用）：X方向體力28第二十八頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五流場基本控制方程單位時間內x方向動量變化等于所有x方向的作用力，因此得到x方向積分形式動量方程：X的指向是物體受力的指向29第二十九頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五流場基本控制方程y，z方向動量方程同樣獲得Y，Z方向與前述相同30第三十頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五流場基本控制方程積分形式動量方程的應用使用積分形式的動量方程可以不知道控制面內部的細節，這是很大的優點，有以下基本的使用方法：控制面包圍一個物體（機翼）：需要知道機翼所受氣動力（不論性質，可以是壓力，也可以是黏性力），按照前頁公式計算X，Y，Z。前提是必須知道控制面上的流動參數。氣流流過管子：管內可以有其他物體（發動機）也可以是空的（風洞），需要求出管壁和管內物體的受力。前提是知道氣流進出控制面的參數。包含激波的流動：包含間斷面的控制體31第三十一頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五例子測量二維物體壓差阻力的方法32第三十二頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五例子發動機推力的估算33第三十三頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五流場基本控制方程動量矩方程動量矩方程一維中講過，現在推廣到三維S內部某微團P（x，y，z）動量對x軸的矩是總共是（力矩正向為右手）34第三十四頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五流場基本控制方程動量矩當地變化率：單位時間內穿過ds的動量對x軸的矩：所有穿過S的凈流出動量矩：35第三十五頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五流場基本控制方程ds面上壓力對x軸的力矩微團體力對x軸的力矩S所圍流體的外力力矩36第三十六頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五流場基本控制方程按照動量矩定理得到動量矩方程37第三十七頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五流場基本控制方程速度位勢的物理意義一塊流體的邊界（包括內部邊界，如機翼）可以對流體施以沖擊，從而改變流體各微團的運動速度。在邊界上施以沖擊壓強，這個壓強可以傳遍整個流體（不可壓縮聲速無窮大）沖擊壓強：單位面積上的沖量38第三十八頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五流場基本控制方程取六面體流體微團受沖擊前速度：受沖擊后速度：按照沖量等于動量的變化率，列出三個方向的動量方程：39第三十九頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五流場基本控制方程三個方向：分別乘以dx,dy,dz，然后相加有如果φ代表沖擊以前的速度位勢，φ’代表沖擊以后的速度位勢，上式可以寫成：

積分得

積分常數代表一個常值沖擊壓強，對流體無影響40第四十頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五流場基本控制方程結論：解釋：凡是具有單值速度位勢的流動都可以用適當布置的沖擊壓強使流動從靜止立即發生運動，流場上各點的速度位勢就等于該點的沖擊壓強除以流體密度（差一個負號）對于有旋流動既不能用沖擊壓強產生，也不能用沖擊壓強消滅。41第四十一頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五環量與渦環量與渦的關系：流體力學中兩個非常重要的概念環量的定義：在流場中沿一條指定的曲線做速度的線積分就是計算速度與長度乘積的總和，類似作功計算；速度指的是在曲線方向的的投影值；環量線積分是有方向的；此定義對于積分曲線是否封閉沒有規定，但一般會沿一條閉合曲線計算速度線積分，如右圖，此時42第四十二頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五環量與渦如果把一個速度向量寫成分量，同時線段ds也分解為分量，那么

于是，環量的計算公式為43第四十三頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五環量與渦對于無旋流，存在速度位勢，上述速度分量可以用位勢的分量表示

此時環量值與路徑無關，只與AB的位置有關，大小為位勢函數之差

如果沿封閉曲線積分，那么44第四十四頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五