概率學的產生與發展

賭博與概率論的產生

據說，意大利醫生、數學家卡當，曾十分迷戀賭博．他在賭博時研究不輸的方法，實際是概率論的萌芽．

卡當曾參加過這樣的一種賭法：把兩顆骰子擲出去，以每個骰子朝上的點數之和作為賭的內容．已知骰子的六個面上分別為1～6點，那么，賭注押在多少點上最有利？

兩個骰子朝上的面共有種可能，點數之和分別可為．如下表：361點2點3點4點5點6點1點2點3點4點5點6點234567345678456789567891067891011789101112請問押哪一個點最好？

卡當曾預言說押7最好．

2～12共11種

十七世紀中葉，法國貴族德·美黑在骰子賭博中，由于有要緊急處理的事情必須中途停止賭博，要靠對勝負的預測把賭資進行合理的分配，但不知用什么樣的比例分配才算合理，于是就寫信向當時法國的最具權威的數學家帕斯卡請教，正是這封信使概率論向前邁出了第一步．

帕斯卡和當時一流的數學家費爾瑪一起，研究了德·美黑提出的關于骰子賭博的問題．于是，一個嶄新的數學分支——概率論登上了歷史舞臺．

概率論是機遇的數學模型，最初它只是對于帶機遇性游戲的分析，而現在已經是一門龐大的數學理論，它在社會學、生物學、物理學和化學等許多領域發揮著十分重要的作用．

一名優秀數學家的作用超過10個師的兵力這句話有一個非同尋常的來歷．

1943年以前，在大西洋上英美運輸船隊常常受到德國潛艇的襲擊，當時，英美兩國限于實力，無力增派更多的護航艦，一時間，德軍的“潛艇戰”搞得盟軍焦頭爛額．

為此，有位美國海軍將領專門去請教了幾位數學家，數學家們運用概率論分析，艦隊與敵潛艇相遇是一個隨機事件，從數學角度來看這一問題，它具有一定的規律性．一定數量的船（為100艘）編隊規模越小，編次就越多（為每次20艘，就要有5個編次），編次越多，與敵人相遇的概率就越大．美國海軍接受了數學家的建議，命令艦隊在指定海域集合，再集體通過危險海域，然后各自駛向預定港口．結果奇跡出現了：盟軍艦隊遭襲被擊沉的概率由原來的25％降為1％，大大減少了損失，保證了物資的及時供應．

在第二次世界大戰中,美國曾經宣布:一名優秀數學家的作用超過10個師的兵力.這句話有一個非同尋常的來歷．

在自然界和實際生活中，我們會遇到各種各樣的現象．

如果從結果能否預知的角度來看，可以分為兩大類：

另一類現象的結果是無法預知的，即在一定的條件下，出現那種結果是無法預先確定的，這類現象稱為隨機現象．

一類現象的結果總是確定的，即在一定的條件下，它所出現的結果是可以預知的，這類現象稱為確定性現象；3.1.1隨機事件的概率下面各事件的發生與否，各有什么特點？（1）“導體通電時發熱”；（6）“擲一枚硬幣，正面朝上”.（5）“某人射擊一次，中靶”；（4）“在常溫下，焊錫熔化”；（3）“在標準大氣壓下且溫度低于0℃時,冰融化”；（2）“拋一石塊，下落”；---------------必然發生---------------必然發生---------------不可能發生---------------不可能發生---可能發生也可能不發生---可能發生也可能不發生從事件是否發生的角度我們可以將事件分成三類：必然事件、不可能事件、隨機事件.定義3：在一定條件下可能發生也可能不發生的事件叫隨機事件。定義1：在一定條件下必然要發生的事件叫必然事件。定義2：在一定條件下不可能發生的事件叫不可能事件。例如:（1）導體通電時發熱；（2）拋一石塊，下落.例如：（3）在常溫下,焊錫熔化;

（4）在標準大氣壓下,且溫度低于0℃時，冰融化.例如:（5）某人射擊一次,中靶；（6）拋一枚硬幣,正面朝上.

例1

指出下列事件是必然事件，不可能事件，還是隨機事件：（1）成都明年1月1日刮西北風；（2）當x是實數時，x2≥0；(3)手電筒的電池沒電，燈泡發亮；（4）一個電影院某天的上座率超過50%；隨機事件必然事件不可能事件隨機事件（5）從分別標有1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的十張號簽中任取一張，得到4號簽.隨機事件討論：各舉一個你生活、學習中的必然事件、不可能事件、隨機事件的例子.讓事實說話！思考：由于隨機事件具有不確定性，因而從表面看似乎偶然性在起支配作用，沒有什么必然性。但是，人們經過長期的實踐并深入研究后，發現隨機事件雖然就每次試驗結果來說具有不確定性，然而在大量重復實驗中，它卻呈現出一種完全確定的規律性。這是真的嗎？

兩個著名的隨機試驗

⑴布豐投針試驗

法國自然哲學家布豐曾經做過一個投針試驗．他在一張紙上畫了很多條距離相等的平行直線，他將小針隨意地投在紙上，他一共投了2212次，結果與平行直線相交的共有704根．總數2212與相交數704的比值為3.142．這一比值接近

后來，有許多人步布豐的后塵，用同樣的方法計算π值．其中最為神奇的是意大利數學家拉茲瑞(Lazzerini)．他在1901年宣稱進行了多次投針試驗得到了的值為3.1415929．這與π的精確值相比，一直到小數點后七位才出現不同！用如此巧妙的方法，求得如此高精確的值，這真是天工造物！學生試驗全班每兩人一小組;每小組試驗20次;每小組安排一人拋擲，一人記錄硬幣“正面朝上”的次數，填入書上P109的表格.先讓硬幣保持豎直方式，在相同的高度自由下落落在桌面上統計數據“自由落體式”拋硬幣的方式正面實驗者拋擲次數n正面向上次數m頻率m/n歷史上一些擲硬幣的試驗結果204810610.5181棣莫弗（法,英）

棣莫弗（法,英）實驗者拋擲次數n正面向上次數m頻率m/n204810610.5181

棣莫弗（法,英）

布豐（法）

布豐（法）404020480.5069歷史上一些擲硬幣的試驗結果實驗者拋擲次數n正面向上次數m頻率m/n204810610.5181

棣莫弗（法,英）

布豐（法）404020480.5069

費勒（美）1000049790.4979

費勒（美）歷史上一些擲硬幣的試驗結果實驗者拋擲次數n正面向上次數m頻率m/n204810610.5181

棣莫弗（法,英）

布豐（法）404020480.5069

費勒（美）1000049790.4979

皮爾遜（美）皮爾遜

（美）24000120120.50051200060190.5016歷史上一些擲硬幣的試驗結果問1：概率用來度量可能性大小，那正面向上的概率是不是為確定的常數？思考：問2：每次試驗“正面向上的頻率”

是不是都是相同的值？問3：能不能用某次試驗的頻率作為

概率？

例如：以“皮爾遜的拋擲24000次

試驗獲得的頻率0.5005”作為皮爾遜試驗的概率？思考：

隨著試驗次數的增加，硬幣正面向上的頻率確確實實穩定在一個常數0.5附近，所以考慮用頻率的穩定值0.5作為硬幣正面向上的概率.穩定值0.5合作學習（1）頻率的特點？（2）概率可以如何定義？（3）頻率和概率的區別和聯系？前后4人為一個小組選擇其中1-2個問題討論，小組討論后進行班級交流。事件

的概率的定義：

一般地，在大量重復進行同一試驗時，事件發生的頻率總是接近于某個常數，在它附近擺動，這時就把這個常數叫做事件的概率，記做．

頻率和概率有何區別和聯系？1、頻率本身是隨機的，在試驗前不能確定.做同樣次數的重復試驗得到事件的頻率會不同;2、概率是一個確定的數，與每次試驗無關.它是用來度量事件發生可能性大小的量;3、頻率是概率的近似值,隨著試驗次數的增加，頻率會穩定在概率附近；4、概率是頻率的穩定值，根據隨機事件發生的頻率可得到概率的估計值.1.隨機事件A在每次試驗中是否發生是不能預知的，但是在大量重復試驗后，隨著試驗次數的增加，事件A發生的頻率逐漸穩定在區間[0，1]內的某個常數上（即事件A的概率），這個常數越接近于1，事件A發生的概率就越大，也就是事件A發生的可能性就越大；反之，概率越接近于0，事件A發生的可能性就越小．因此，概率就是用來度量某事件發生的可能性大小的量.2.任何事件的概率是0～1之間的一個確定的數，小概率（接近0）事件很少發生，大概率（接近1）事件則經常發生，必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0．知道隨機事件的概率的大小有利于我們作出正確的決策.注意：隨著試驗次數的增加，頻率穩定在概率的附近.雅各布·貝努利（瑞士數學家）概率論的先驅——大數定律判斷下列說法的對錯：（1）拋擲一枚硬幣，有可能出現正面，也有可能出現反面；（2）因為拋擲一枚硬幣出現正面的概率是0.5，所以拋擲兩次時肯定有一次出現正面；（3）因為拋擲一枚硬幣出現正面的概率是0.5，所以拋擲12000次時，出現正面的次數很有可能接近6000次．學以致用為什么所有鍵盤的空格鍵總是最大，而且放在最方便使用的位置呢？字母空格ETOANIRS頻率0.20.1050.0710.06440.0630.0590.0540.0530.052字母HDLCFUMPY頻率0.0470.0350.0290.0230.02210.02250.0210.01750.012字母WGBVKXJQZ頻率0.0120.0110.01050.0080.0030.0020.0010.0010.001英文字母使用頻率統計表(從大到小)探究：某中學高一年級有12個班，要從中選2個班代表學校參加某項活動，由于某種原因，一班必須參加，另外再從二至十二班中選1個班．有人提議用如下的方法：擲兩個骰子得到的點數和是幾，就選幾班，你認為這種方法公平嗎？1點2點3點4點5點6點1點2345672點3456783點4567894點56789105點678910116點789101112兩個骰子的點數和【分析】只需判斷點數之和為2～12這些數字的概率是否相同即可.1點2點3點4點5點6點1點2345672點3456783點4567894點56789105點678910116點789101112兩個骰子的點數和解：因為點數之和為2～12的概率分別為：擲兩個骰子得到的點數和為7的概率最大，所以這種方法不公平.3.決策中的概率思想

問題：如果連續10次擲一枚骰子，結果都是出現1點，你認為這枚骰子的質地均勻嗎？為什么？

解：如果骰子質地均勻，通過試驗可以發現出現各個面的可能性都是：而連續出現1點的概率為：這在一次試驗（即連續10次擲一枚骰子）中幾乎不可能發生(小概率事件).而當骰子不均勻時，特別是當6點的那面比較重(如灌了鉛或水銀)，會使出現1點的概率最大，更有可能連續10次出現1點.

現在我們面臨兩種可能的決策：一種是這枚骰子的質地均勻，另一種是這枚骰子的質地不均勻.當連續10次投擲這枚骰子，結果都是出現1點，這時我們更愿意接受第二種情況：這枚骰子靠近6點的那面比較重.原因是在第二種假設下，更有可能出現10個1點.

如果我們面臨的是從多個可選答案中挑選正確答案的決策任務，那么“使得樣本出現的可能性最大”可以作為決策的準則，這種判斷問題的方法稱為極大似然法，它是統計中重要的統計思想方法之一.4.天氣預報的概率解釋問題1：某氣象局預報說，明天的降水概率是70%，你認為意思是有70%的區域下雨，對嗎？答：不對，明天的降水概率是70%，意識是下雨的機會為70%.天氣預報的“降水”是一個隨機事件，降水概率的大小只能說明降水的可能性大小，概率值越大，只能表示降水的可能性越大.問題2：生活中，我們經常聽到這樣的議論：“天氣預報說昨天降水概率為90%，結果根本一點雨都沒下，天氣預報也太不準確了.”學了概率后，你能給出解釋嗎？解：天氣預報的“降水”是一個隨機事件，概率為90%指明了“降水”這個隨機事件發生的概率，我們知道：在一次試驗中，概率為90%的事件也可能不出現，因此，“