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第三章不等式
3.1不等關(guān)系與不等式3.1.1不等關(guān)系與不等式的性質(zhì)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.能判斷生活中的不等關(guān)系.2.會(huì)把生活中的不等關(guān)系用不等式刻化.3.掌握不等式的性質(zhì);會(huì)將一些基本性質(zhì)結(jié)合起來(lái)應(yīng)用.1.符號(hào)法則>>>a+b≥0
練習(xí)1:“a與
b的和是非負(fù)數(shù)”用不等式表示為_(kāi)_______.2.不等式的基本性質(zhì)<>>(1)如果a>b,那么b______a.(2)如果a>b,b>c,那么a______c.(3)如果a>b,那么a+c______b+c.(4)如果a>b,c>0,那么ac______bc.<>>如果a>b,c<0,那么ac______bc.(5)如果a>b,c>d那么a+c______b+d.(6)如果a>b>0,c>d>0那么ac______bd.>>(7)如果a>b>0,那么an______bn(n∈N,n≥1).
練習(xí)2:(1)x>2,?x+3______2+3;(2)x>y?-2x______-2y;(3)x>2,y>3?xy>______;><6>(4)x>2?x2______4.>【問(wèn)題探究】1.不等式x≥2的含義是什么?答案:其含義是指“x不小于2”,即“x>2或x=2”.2.符號(hào)“?”與“?”的意義一樣嗎?答案:不一樣,“?”是指“推出”,而“?”是指“等價(jià)于”.3.兩個(gè)同向不等式可以相乘嗎?答案:不能,除非是同號(hào)的.題型1利用不等式的性質(zhì)判斷真假【例1】對(duì)于實(shí)數(shù)
a,b,c,①若a>b,則ac2>bc2;上述命題中正確的個(gè)數(shù)是()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
思維突破:對(duì)于一些簡(jiǎn)單的不等式證明,絕不能視為顯然而直接證得,而應(yīng)該運(yùn)用不等式性質(zhì)等知識(shí)進(jìn)行嚴(yán)密的邏輯推理.為假命題.
答案:A
準(zhǔn)確記憶各性質(zhì)成立的條件,是正確應(yīng)用的前提.在不等式的判斷中,特殊值法也是非常有效的方法,尤其是對(duì)于選擇題或填空題,特殊值法可以節(jié)省時(shí)間.【變式與拓展】)D1.(2013年北京)設(shè)
a,b,c∈R,且a>b,則(
解析:3>2,但是3×(-1)<2×(-1),故A不正確;1>
故C不正確.故選D.2.判斷下列命題的真、假(真命題要說(shuō)明成立的依據(jù),假命題要舉出反例):(1)若a>b,則a2>b2;(4)若a>b>0>c>d,則ad<bc.(4)是真命題.顯然ad<0,bc<0.由d<c<0知:|d|>|c|>0,又a>b>0,∴|ad|>|bc|,即-ad>-bc,從而ad<bc.題型2利用不等式的性質(zhì)證明不等式證明:∵c>a>b>0,∴-a<-b<0.
在運(yùn)用性質(zhì)時(shí),注意變形前后的等價(jià)性,需要充分理解其因果關(guān)系,掌握其推導(dǎo)思維與過(guò)程,只有充分理解不等式的基本性質(zhì),才能打好證明不等式和解不等式的基礎(chǔ).【變式與拓展】證明:∵c<d<0,∴-c>-d>0.又∵a>b>0,
∴a+(-c)>b+(-d)>0,即a-c>b-d>0.題型3利用支不等式堡的性則質(zhì)求貿(mào)取值術(shù)范圍解:∵3≤b<10,∴兇-10<-b≤-3.又∵2<a≤5,∴蒜-8<a-b≤2得.本題炭需使戚用性吼質(zhì)去承求解柏,而瘦不能斥錯(cuò)誤霸地使啞用同向不個(gè)等式晴相減(除)等.同向史不等約式只酷能相憂加,麗不能閃相減.【變式惡與拓握展】【例4】已知弊:1≤a-b≤2叮,2腔≤a+b≤4,求4a-2b的取值范罰圍.易錯(cuò)斬分析罩:本題借主要哨考查理多個(gè)堪不等改式等絨號(hào)能末否成揚(yáng)立的鋸問(wèn)題書(shū),可以補(bǔ)考慮舊待定占系數(shù)視法和賭換元暑法,菊要特殘別注毛意1≤a-b≤2僻,2淡≤a+b≤4中的a,b不是逢獨(dú)立尊的,賄而是機(jī)相互倆制約劣的,皂因此磁無(wú)論詞用哪種往方法犯都必?zé)掜殞-b,a+b當(dāng)作殿一個(gè)串整體納來(lái)看碎待.解:方法幸一:加待定默系數(shù)動(dòng)法.設(shè)4a-2b=m(a-b)+n(a+b)=(m+n)a+(n-m)b,∴4a-2b=3(a-b)+(a+b).∵1≤a-b≤2,∴3≤勻3(a-b)≤歲6.又∵2≤a+b≤4,∴5≤唐3(a-b)+(a+b)≤雷10飲.即5≤事4a-2b≤1爐0.方法緣瑞二:令換元葉法.令a+b=m,考a-b=n,則1≤n≤2再,2揮≤m≤4享.而2≤m≤4虛,3剪≤3n≤6,則5≤m+3n≤1蛋0,即5≤大4a-2b≤1額0.[方法·規(guī)律·小結(jié)]1.用不蹄等式(組)來(lái)描畜述不奇等關(guān)責(zé)系,是研估究不烤等關(guān)來(lái)系的乘數(shù)學(xué)唱工具,央要能請(qǐng)從不舊等關(guān)厭系中榜正確水列出吧不等支式.2.不等淚式的決基本亭性質(zhì)者是解撿不等樹(shù)式與凝證明送不等秀式的蠶理論納依據(jù),富要注
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