課時作業(十六)簡潔復合函數的導數[練根底]1．函數f(x)＝e－x＋2·(2x＋1)4，那么f′(0)＝()A．e2B．1C．7e2D．9e－22．偶函數f(x)＝x(ex－ae－x)的圖象在x＝1處的切線斜率為()A．2eB．eC．2e2D.eq\f(9,4)e23．設a∈R，函數f(x)＝ex＋ae－x的導函數是f′(x)，且f′(x)是奇函數，假設曲線y＝f(x)的一條切線的斜率是eq\f(3,2)，那么切點的橫坐標為()A．－eq\f(ln2,2)B．－ln2C.eq\f(ln2,2)D．ln24．函數f(x)＝(x－eq\r(2x－1))e－x(x≥eq\f(1,2))，那么f(x)的導函數f′(x)＝________.5．f(x)為偶函數，當x<0時，f(x)＝ln(－x)＋3x，那么曲線y＝f(x)在點(1，－3)處的切線方程是________．6．設函數f(x)＝aexlnx＋eq\f(bex－1,x).(1)求導函數f′(x)；(2)假設曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為y＝e(x－1)＋2，求a，b的值．[提力量]7．設f0(x)＝sin2x＋cos2x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，f1＋n(x)＝f′n(x)，n∈N，那么f2021(x)＝()A．22021(cos2x－sin2x)B．22021(－cos2x－sin2x)C．22021(cos2x＋sin2x)D．22021(－cos2x＋sin2x)8．直線l是曲線y＝ex與曲線y＝e2x－2的一條公切線，l與曲線y＝e2x－2切于點(a，b)，且a是函數f(x)的零點，那么f(x)的解析式可能為________．9．函數f(x)＝3x＋cos2x＋sin2x，f′(x)是f(x)的導函數，a＝f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))，求過曲線y＝x3上一點P(a，b)的切線方程．[戰疑難]10．(多項選擇題)給出定義：假設函數f(x)在D上可導，即f′(x)存在，且導函數f′(x)在D上也可導，那么稱f(x)在D上存在二階導函數，記f″(x)＝(f′(x))′，假設f″(x)<0在D上恒成立，那么稱f(x)在D上為凸函數．以下四個函數在(0，eq\f(π,2))上是凸函數的是()A．f(x)＝sinx＋cosxB．f(x)＝lnx－2xC．f(x)＝－x3＋2x－1D．f(x)＝－xe－x課時作業(十六)簡潔復合函數的導數1．解析：∵(e－x＋2)′＝－e－x＋2，∴f′(x)＝－e－x＋2·(2x＋1)4＋8e－x＋2(2x＋1)3∴f′(0)＝－e2＋8e2＝7e2，應選C.答案：C2．解析：由于函數f(x)為偶函數所以f(－x)＝f(x)即－x(e－x－aex)＝x(ex－ae－x)解得a＝1.故f(x)＝x(ex－e－x)∴f′(x)＝ex－e－x＋(ex＋e－x)x∴f′(1)＝e－e－1＋(e＋e－1)＝2e，應選A.答案：A3．解析：由題可知x∈R，∵函數f(x)＝ex＋a·e－x，∴f′(x)＝ex－eq\f(a,ex)，又∵f′(x)是奇函數，∴f′(0)＝1－a＝0，∴a＝1，∴f(x)＝ex＋eq\f(1,ex)，f′(x)＝ex－eq\f(1,ex).∵曲線y＝f(x)的一條切線的斜率是eq\f(3,2).∴eq\f(3,2)＝ex－eq\f(1,ex)，解方程可得x＝ln2.應選D.答案：D4．解析：由于(x－eq\r(2x－1))′＝1－eq\f(1,\r(2x－1))，(e－x)′＝－e－x，所以f′(x)＝(1－eq\f(1,\r(2x－1)))e－x－(x－eq\r(2x－1))e－x＝eq\f(1－x\r(2x－1)－2e－x,\r(2x－1))＝(1－x)(1－eq\f(2,\r(2x－1)))e－x(x>eq\f(1,2))．答案：(1－x)(1－eq\f(2,\r(2x－1)))e－x(x>eq\f(1,2))．5．解析：方法一(先求函數解析式)當x>0時，－x<0，那么f(－x)＝lnx－3x.又f(x)為偶函數，所以f(x)＝f(－x)＝lnx－3x，所以當x>0時，f′(x)＝eq\f(1,x)－3，那么曲線y＝f(x)在點(1，－3)處的切線的斜率為f′(1)＝－2，所以切線方程為y＋3＝－2(x－1)，即2x＋y＋1＝0.方法二(直接利用原函數與導函數的關系)當x<0時，f′(x)＝eq\f(1,x)＋3，由f(x)為偶函數，知f′(x)為奇函數，所以f′(1)＝－f′(－1)＝－2，又切線過點(1，－3)，所以所求切線方程為2x＋y＋1＝0.答案：2x＋y＋1＝06．解析：(1)由f(x)＝aexlnx＋eq\f(bex－1,x)，得f′(x)＝(aexlnx)′＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(bex－1,x)))′＝aexlnx＋eq\f(aex,x)＋eq\f(bex－1x－bex－1,x2).(2)由于切點既在曲線y＝f(x)上，又在切線y＝e(x－1)＋2上，將x＝1代入切線方程得y＝2，將x＝1代入函數f(x)得f(1)＝b，∴b＝2.將x＝1代入導函數f′(x)中，得f′(1)＝ae＝e，∴a＝1.7．解析：∵f0(x)＝sin2x＋cos2x∴f1(x)＝f′0(x)＝2(cos2x－sin2x)f2(x)＝f′1(x)＝22(－sin2x－cos2x)f3(x)＝f′2(x)＝23(－cos2x＋sin2x)f4(x)＝f′3(x)＝24(sin2x＋cos2x)，通過以上可以看出fn(x)滿意以下規律：對任意n∈N*，fn＋4(x)＝24fn(x)故f2021(x)＝f505×4＋1(x)＝22021(cos2x－sin2x)，應選A.答案：A8．解析：由y＝ex得y′＝ex由y＝e2x－2得y′＝2e2x設公切線在y＝ex上的切點坐標為(m，em)，在y＝e2x－2上的切點坐標為(a，e2a由題可得em＝2e2a整理可得m＝2a＋ln2，結合斜率公式有2e2a＝eq\f(em－e2a＋2,m－a)，②將①代入②中整理可得e2a(2a＋2ln2－1)－2＝0，又a為函數f(所以f(x)的解析式可能為f(x)＝e2x(2x＋2ln2－1)－2.答案：f(x)＝e2x(2x＋2ln2－1)－29．解析：由f(x)＝3x＋cos2x＋sin2x，得f′(x)＝3－2sin2x＋2cos2x，那么a＝f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝3－2sineq\f(π,2)＋2coseq\f(π,2)＝1.由y＝x3得y′＝3x2.當P點為切點時，切線的斜率k＝3a2＝3×12又b＝a3，∴b＝1，∴切點P的坐標為(1,1)，故過曲線y＝x3上的點P的切線方程為y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.當P點不是切點時，設切點為(x0，xeq\o\al(3,0))，此時切線的斜率k′＝3xeq\o\al(2,0)，∴切線方程為y－xeq\o\al(3,0)＝3xeq\o\al(2,0)(x－x0)，∵P(a，b)在曲線y＝x3上，且a＝1，∴b＝1，將P(1,1)代入切線方程中得1－xeq\o\al(3,0)＝3xeq\o\al(2,0)(1－x0)，∴2xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)＋1＝0，∴2xeq\o\al(3,0)－2xeq\o\al(2,0)－xeq\o\al(2,0)＋1＝0，∴(x0－1)2(2x0＋1)＝0，解得x0＝－eq\f(1,2)(x0＝1舍去)，∴切點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,8)))，又切線的斜率為3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2＝eq\f(3,4)，∴此時的切線方程為y＋eq\f(1,8)＝eq\f(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))，即3x－4y＋1＝0.綜上，滿意題意的切線方程為3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0.10．解析：假設f(x)＝sinx＋cosx，那么f″(x)＝－sinx－cosx，在(0，eq\f(π,2))上恒有f″(x)<0，A正確；假設f(x)＝ln