歷年考研數學（三）真題選擇題（本題共10分小題，每小題4分，滿分40分，在每小題給的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在后邊的括號內）當時，與等價的無窮小量是（）.設函數在處連續，下列命題錯誤的是：().若存在，則若存在，則.若存在，則存在若存在，則存在如圖.連續函數在區間上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區間上圖形分別是直徑為2的上、下半圓周，設則下列結論正確的是：（）.設函數連續，則二次積分等于（）設某商品的需求函數為，其中，分別表示需要量和價格，如果該商品需求彈性的絕對值等于1，則商品的價格是（）10203040曲線漸近線的條數為（）0123（7）設向量組線性無關，則下列向量組線相關的是()（A）(B)（C）(D)（8）設矩陣，則A與B（）（A）合同，且相似(B)合同，但不相似(C)不合同，但相似(D)既不合同，也不相似(9)某人向同一目標獨立重復射擊，每次射擊命中目標的概率為，則此人第4次射擊恰好第2次命中目標的概率為()(10)設隨機變量服從二維正態分布，且與不相關，分別表示X,Y的概率密度，則在條件下，的條件概率密度為()（A）(B)(C)(D)二、填空題：11-16小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上（11）.（12）設函數，則.（13）設是二元可微函數，則________.（14）微分方程滿足的特解為__________.（15）設距陣則的秩為_______.(16)在區間(0,1)中隨機地取兩個數,這兩數之差的絕對值小于的概率為________.三、解答題：17－24小題，共86分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（17）（本題滿分10分）設函數由方程確定，試判斷曲線在點（1，1）附近的凹凸性.（18）（本題滿分11分）設二元函數計算二重積分其中（19）（本題滿分11分）設函數，在上內二階可導且存在相等的最大值，又＝，＝，證明：（Ⅰ）存在使得；（Ⅱ）存在使得（20）（本題滿分10分）將函數展開成的冪級數，并指出其收斂區間.（22）（本題滿分11分）設3階實對稱矩陣A的特征值是A的屬于的一個特征向量.記，其中E為3階單位矩陣.（Ⅰ）驗證是矩陣B的特征向量，并求B的全部特征值與特征向量；（Ⅱ）求矩陣B.（23）（本題滿分11分）設二維隨機變量的概率密度為（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的概率密度.（24）（本題滿分11分）設總體的概率密度為.其中參數未知，是來自總體的簡單隨機樣本，是樣本均值.（Ⅰ）求參數的矩估計量；（Ⅱ）判斷是否為的無偏估計量，并說明理由.2007年考研數學（三）答案一、選擇題（本題共10分小題，每小題4分，滿分40分，在每小題給的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在后邊的括號內）當時，與等價的無窮小量是（B）.設函數在處連續，下列命題錯誤的是：(D).若存在，則若存在，則.若存在，則存在若存在，則存在如圖.連續函數在區間上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區間上圖形分別是直徑為2的上、下半圓周，設則下列結論正確的是：（C）.設函數連續，則二次積分等于（B）設某商品的需求函數為，其中，分別表示需要量和價格，如果該商品需求彈性的絕對值等于1，則商品的價格是（D）10203040曲線漸近線的條數為（D）0123（7）設向量組線性無關，則下列向量組線相關的是(A)（A）(B)(C)(D)（8）設矩陣，則A與B（B）（A）合同，且相似(B)合同，但不相似(C)不合同，但相似(D)既不合同，也不相似(9)某人向同一目標獨立重復射擊，每次射擊命中目標的概率為，則此人第4次射擊恰好第2次命中目標的概率為(C)(10)設隨機變量服從二維正態分布，且與不相關，分別表示X,Y的概率密度，則在條件下，的條件概率密度為(A)（A）(B)(C)(D)二、填空題：11-16小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上（11）.（12）設函數，則.（13）設是二元可微函數，則.（14）微分方程滿足的特解為.（15）設距陣則的秩為＿＿1＿＿＿.(16)在區間(0,1)中隨機地取兩個數,這兩數之差的絕對值小于的概率為＿＿.三、解答題：17－24小題，共86分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（17）（本題滿分10分）設函數由方程確定，試判斷曲線在點（1，1）附近的凹凸性.【詳解】：（18）（本題滿分11分）設二元函數計算二重積分其中【詳解】：積分區域D如圖，不難發現D分別關于x軸和y軸對稱，設是D在第一象限中的部分，即利用被積函數無論關于x軸還是關于y軸對稱，從而按二重積分的簡化計算法則可得設，其中于是由于，故為計算上的二重積分，可引入極坐標滿足.在極坐標系中的方程是的方程是，，因而，故令作換元，則，于是且，代入即得綜合以上計算結果可知（19）（本題滿分11分）設函數，在上內二階可導且存在相等的最大值，又＝，＝，證明：（Ⅰ）存在使得；（Ⅱ）存在使得【詳解】：證明：(1)設在內某點同時取得最大值，則，此時的c就是所求點.若兩個函數取得最大值的點不同則有設故有，由介值定理，在內肯定存在(2)由(1)和羅爾定理在區間內分別存在一點＝0在區間內再用羅爾定理，即.（20）（本題滿分10分）將函數展開成的冪級數，并指出其收斂區間.【詳解】：【詳解】：因為方程組(1)、(2)有公共解，即由方程組(1)、(2)組成的方程組的解.即距陣方程組(3)有解的充要條件為.當時，方程組(3)等價于方程組(1)即此時的公共解為方程組(1)的解.解方程組(1)的基礎解系為此時的公共解為：當時，方程組(3)的系數距陣為此時方程組(3)的解為，即公共解為：（22）（本題滿分11分）設3階實對稱矩陣A的特征值是A的屬于的一個特征向量.記，其中E為3階單位矩陣.（Ⅰ）驗證是矩陣B的特征向量，并求B的全部特征值與特征向量；（Ⅱ）求矩陣B.【詳解】：（Ⅰ）可以很容易驗證，于是于是是矩陣B的特征向量.B的特征值可以由A的特征值以及B與A的關系得到，即，所以B的全部特征值為－2，1，1.前面已經求得為B的屬于－2的特征值，而A為實對稱矩陣，于是根據B與A的關系可以知道B也是實對稱矩陣，于是屬于不同的特征值的特征向量正交，設B的屬于1的特征向量為，所以有方程如下：于是求得B的屬于1的特征向量為因而，矩陣B屬于的特征向量是是，其中是不為零的任意常數.矩陣B屬于的特征向量是是，其中是不為零的任意常數.（Ⅱ）由有令矩陣，則，所以那么（23）（本題滿分11分）設二維隨機變量的概率密度為（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的概率密度.【詳解】：（Ⅰ），其中D為中的那部分區域；求此二重積分可得（Ⅱ）當時，；當時，；當時，當時，于是（24）（本