1、第一講函數、極限、連續1、基本初等函數的定義域、值域、圖像，尤其是圖像包含了函數的所有信息。2、函數的性質，奇偶性、有界性奇函數：f(X)=f(X),圖像關于原點對稱。偶函數：f(x)=f(x),圖像關于y軸對稱3、無窮小量、無窮大量、階的比較設,B是自變量同一變化過程中的兩個無窮小量，則.%一一(i)若lim=0,則%是比B高階的無窮小量。,一、8一.一、.一(2)右lim=c(不為o),則與B是同階無窮小量特別地，若lim=1,則與B是等價無窮小量,一、I-8一.八.一.、.一(3)若lim=電，則與B是低階無窮小量誰就趨向于 0的本領高。記憶方法：看誰趨向于0的速度快,4、兩個重要極限(

2、i)limx )0sinx x /二 lim二 1x >0 sinx使用方法:拼湊.sin limo Isin 口 八 八 ，=IE。 = 0，一定保證拼湊sin后面和分母保持一致 lim 1 +x-(x1Ix1: lim (1 x)x = ex01二e使用方法1后面一定是一個無窮小量并且和指數互為倒數，不滿足條件得拼湊。Pn x5、limQm Xao一，n = mbo0,n m二，n mFn(x )的最高次哥是n,Qm(x )的最高次哥是 m.,只比較最高次哥，誰的次哥高，誰的頭大，趨向于無窮大的速度 快。n = m,以相同的比例趨向于無窮大； n < m ,分母以更快的速度趨向

3、于無窮大；n > m,分子以更快的速度趨向于無窮大。7、左右極限左極限：limf(x)=Ax-Xo-右極限：limf(x)=Ax_Xo'limf(x)=A充分必要條件是limf(x)=limf(x)=Ax>0x/0-x附.注：此條件主要應用在分段函數分段點處的極限求解。8、連續、間斷連續的定義：limy=limjf(x0x)-f(x0)1-0或limf(x)=f(x0)x_xo間斷：使得連續定義limf(x)=f(x。)無法成立的三種情況f(x0)不存在，f(x0)無意義limf(x)不存在xTx0limf(x)=f(x。)Jxo記憶方法：1、右邊不存在2、左邊不存在3、左

4、右都存在，但不相等9、間斷點類型(1)、第二類間斷點：limf(x)、limf(x)至少有一個不存在x的一xxo(2)、第一類間斷點:limf(x)、limf(x)都存在x%-xx0可去間斷點:limf (x)=x誕一跳躍間斷點：lim f (x)x >x0-lim f (x)x >xolim f (x)x >xo注：在應用時，先判斷是不是“第二類間斷點”，左右只要有一個不存在，就是“第二類”然后再判斷是不是第一類間斷點；左右相等是“可去”，左右不等是“跳躍”10、閉區間上連續函數的性質(1)最值定理：如果f(x)在a,b】上連續，則f(x)在b,b】上必有最大值最小值。上零

5、點定理：如果f(x)在a,b】上連續，且f(a)f(b)<0,則f(x)在(a,b)內至少存在一點%使得f、)=0第三講 中值定理及導數的應用1、羅爾定理內可導；f(a)=f(b),如果函數y=f(x)滿足：(1)在閉區間hb上連續；(2)在開區間(a,b)2、拉格朗日定理如果y = f (x)滿足(1)在閉區間b,b】上連續(2)在開區間(a,b)內可導;則在(a,b)內至少存在一點-,使得f '(：) =腦海里記著一幅圖:f (b) - f (a)b - a(*)推論1 ：如果函數y= f (x)在閉區間Ia,b】上連續，在開區間(內可導，且(乂)三0,那么在(a, b)內f

6、 (x) =c恒為常數。記憶方法：只有常量函數在每一點的切線斜率都為0。(*)推論2：如果f(x),g(x)在b,b】上連續，在開區間 (a,b) 內可導,那么 f (x) = g(x) cf'(x)三 g'(x),xw (a,b),3、駐點滿足f'(x)=0的點，稱為函數f(x)的駐點。幾何意義：切線斜率為0的點，過此點切線為水平線4、極值的概念< f (x°),則稱f (x0)為函數設f(x)在點x0的某鄰域內有定義，如果對于該鄰域內的任一點x,有f(x)f(x)的極大值，x0稱為極大值點。/x,有f (x) > f (x0),則稱f (x0)

7、為函數設f(x)在點x0的某鄰域內有定義，如果對于該鄰域內的任一點f(x)的極小值，x0稱為極小值點。記憶方法：在圖像上，波峰的頂點為極大值，波谷的谷底為極小值。5、拐點的概念連續曲線上，凸的曲線弧與凹的曲線弧的分界點，稱為曲線的拐點。6、單調性的判定定理設 f (x)在(a,b) 內可導，如果f '(x) > 0,則f (x)在(a,b)內單調增加;f'(x)"在圖像上凡是和左手向上趨勢吻合的，是單調減少,f'(x)<0;如果f'(x)<0,則f(x)在(a,b)內單調減少。記憶方法：在圖像上凡是和右手向上趨勢吻合的，是單調增加,7

8、、8、取得極值的充分條件 第一充分條件：取得極值的必要條件可導函數f(x)在點x0處取得極值的必要條件是f'(x0)=0設f(x)在點x0的某空心鄰域內可導，且f(x)在x0處連續，則(1)如果x<x0時，f'(x)A0；xx0時，f'(x)<0,那么f(x)在x0處取得極大值f(x0)；(2)如果x<x0時，f'(x)M0；x>x0時，f'(x)>0,那么f(x)在x0處取得極小值f(x0)；(3)如果在點x0的兩側，f '(x)同號，那么f (x)在x0處沒有取得極值;記憶方法：在腦海里只需記三副圖，波峰的頂點為

9、極大值，波谷的谷底為極小值。第二充分條件：設函數f(x)在點x0的某鄰域內具有一階、二階導數，且f'(x。)=0,f"(x。)¥0則(1)如果f"(x0)<0,那么f(x)在x0處取得極大值f(x0)；(2)如果f"(x0)A0,那么f(x)在x0處取得極小值f(x0)9、凹凸性的判定設函數f(x)在(a,b)內具有二階導數，(1)如果f"(x)a0,xw(a,b),那么曲線f(x)在(a,b)內凹的;如果f"(x)<0,xw(a,b),那么f(x)在(a,b)內凸的。10、曲線f(x)在伸向無窮遠處時，能夠逐步逼

10、近的直線，稱為曲線的漸近線。(1)(2)垂直漸近線：若存在點x0,limf(x)=0°,則y=f(x)有垂直為if近線x=x0x-.11、(2)求斜漸近線:】=b,則y=ax+b為其斜漸近線。遇到cd，一" ocd如果遇到哥指函數，需用f(x)=elnf(x)把函數變成“00第二講導數與微分1、導數的定義(1)、f(x0)=limy=limf(x0x)-f(x0)1=0.x-0.xo、f-(X0)7f(X0U-f(XO),3、f，/v、*f(x)-f(X0)(3)、f(Xo)-lilx沁x-x0注：使用時務必保證x0后面和分母保持一致，不一致就拼湊。2、導數幾何意義：f&l

11、t;x0)在x=x0處切線斜率法線表示垂直于切線，法線斜率與f(x0)乘積為一13、導數的公式，記憶的時候不僅要從左到右記憶，還要從右到左記憶。4、求導方法總結(1)、導數的四則運算法則Fuv=uv(u.v)'=u*vvu(2)、復合函數求導:y=f®(x)是由y=f(u)與u=&(x)復合而成，則dydydu='dxdudx(3)、隱函數求導對于F(x,y)=0,遇到y,把y當成中間變量u,然后利用復合函數求導方法。(4)、參數方程求導x=：(t)“確定ly"(t)可導函數y=f(x),則dydy=_dtdxdxdtd2ydx2d(dx)dxd(d

12、y)dxdtdxdt(5)、對數求導法再對等號兩邊分別求導先對等號兩邊取對數,(6)、哥指函數求導哥指函數y=u(x)v(x),利用公式a=elnalnu(x)v(x)y二ev(x)lnu(x)e然后利用復合函數求導方法對指數單獨求導即可。先對等號兩邊取對數，再對等號兩邊分別求導第二種方法可使用對數求導法,注：優選選擇第二種方法。5、高階導數對函數f(x)多次求導，直至求出。6、微分dy=ydxdx,不需要單獨記憶。記憶方法：微分公式本質上就是求導公式，后面加7、可微、可導、連續之間的關系可微。可導可導二連續，但連續不一定可導8、可導與連續的區別。腦海里記憶兩幅圖2,一一一y=x在x=0既連續

13、又可導。所以可導比連續的要求更高。y=|x在x=0只連續但不可導。第四講不定積分一、原函數與不定積分1、原函數：若F(x)=f(x),則F(x)為f(x)的一個原函數；2、不定積分：f(x)的所有原函數F(x)+C叫做f(x)的不定積分，記作1ff(x)dx=F(x)+C二、不定積分公式記憶方法：求導公式反著記就是不定積分公式三、不定積分的重要性質F1、ff(x)dx】=f(x)或dff(x)dx=f(x)dx2、f(x)dx=f(x)c注：求導與求不定積分互為逆運算。四、積分方法1、基本積分公式2、第一換元積分法(湊微分法)把求導公式反著看就是湊微分的方法，所以不需要單獨記憶。3、第二換元積

14、分法"+3令1=Jax+bJa2-x2"vx=asint三角代換xxa2令乂=asect*'x2+a2x=atant2222-三角代換王要使用兩個三角公式：sint+cost=1,1+tant=sect4、分部積分法fudv=uv-fvdu第五講定積分nlim ,屋-x0 i 1f( i) X1、定積分定義bf(x)dx=a如果f(x)在a,b】上連續，則f(x)在a,b】上一定可積。理解：既然在閉區間上連續，那么在閉區間上形成的就是一個封閉的曲邊梯形，面積存在所以一定可積，因為面積是常數，所以定積分如果可積也是常數。2、定積分的幾何意義(1)如果f(x)在b,b】

15、上連續，且f(x)>0,則jf(x)dx表示由f(x),x=a,x=b,x軸所圍成的b曲邊梯形的面積。s=Jf(x)dx。如果f(x)在a,b】上連續，且f(x)<0,S=-ff(x)dx。3、定積分的性質：bb(1)akf(x)dx=kff(x)dxbbbIf(x)±g(x)dx=f(x)dx±Ig(x)dxbcb(3)(f(x)dx=ff(x)dx+g(x)dxaacbaab(4)1dx=baff(x)dx=0ff(x)dx=ff(x)dxaababb(5)如果f(x)wg(x),貝Uaf(x)dxwag(x)dx(6)設m,M分別是f (x)在a,b1的m

16、in, max,則b記憶：小長方形面積 w曲邊梯形面積W大長方形面積(7)積分中值定理如果f(x)在la,b】上連續，則至少存在一點twIa,b,使得af(x)dx=f(七)(ba)記憶：總可以找到一個適當的位置，把凸出來的部分切下，剁成粉末，填平在凹下去的部分使曲邊梯形變成一個長方形。1b稱ff(x)dx為f(x)在a,b】上的平均值。b-aa4、積分的計算(1)、變上限的定積分x(af(t)dt)=f(x)x注：由此可看出來3(x)=af(t)dt是f(x)的一個原函數。而且變上限的定積分的自變量只有一個是x而不是t(2)、牛頓萊布尼茲公式設f(x)在a,b】上連續，F(x)是f(x)的一

17、個原函數，貝Uff(x)dx=F(x)b=F(b)F(a)由牛頓公式可以看出，求定積分，本質上就是求不定積分，只不過又多出一步代入積分上下限，所以求定積分也有四種方法。r基本積分公式I第一換元積分法(湊微分法)第二換元積分法分部積分法5、奇函數、偶函數在對稱區間上的定積分(1)、若f(x)在La,a1上為奇函數，則:f(x)=0、若f(x)在a,a上為偶函數，則Jf(x)=2J0f(x)dx注：此方法只適用于對稱區間上的定積分。6、廣義積分(1)無窮積分cf(x)dx = !im二 a f(x)dxbb一一f(x)dx=limf(x)dx-c-.cCf(x)dx=_.f(x)dxcf(x)dx

18、7、定積分關于面積計算/f)g(x)面積S=jaIf(x)-g(x)dx,記憶：面積等于上函數減去下函數在邊界b,b上的定積分。面積s=C”y)-、：(y)dy記憶方法：把頭向右旋轉90。就是第一副圖。8、旋轉體體積ytAJL(x)abxbf(x)繞X軸旋轉一周所得旋轉體體積f(x)g(x)陰影部分繞繞 X軸旋轉一周所得旋轉體體積:x = H (y)繞y軸旋轉一周所得旋轉體體積Vx 一1 abf (x)fdxVx =二：f 2 x - g2(x)dxVy =二:匕(y)fdyc(4)、陰影部分繞繞y軸旋轉一周所得旋轉體體積：Vy=兀j62（y）-2（y）dy（二）、直線與平面的相關考試內容、二

19、元函數的極限定義：設函數z=f（x,y）在點（x0,y0）某鄰域有定義（但（x0,y0）點可以除外），如果當點（x,y）無論沿著任何途徑趨向于（x0,y0）時，z=f（x,y）都無限接近于唯一確定的常數a,則稱當點（x,y）趨向于（x0,y0）時，z=f（x,y）以a為極限，記為limf(x,y)=A(x,y)_(x0,y0)、二元函數的連續性若limf(x,y)=f(x0,y0),則稱z=f(x,y)在點(x0,y0)連續。(x,y)_(x0,yo)注：z=f（x,y）的不連續點叫函數的間斷點，二元函數的間斷點可能是一些離散點，也可能是一條或多條曲線。三、二元函數的偏導數L.-zx=fxdy

20、LlJmf (x x,y) - f (x,y):zy二 fy(x, y);則f (x,y y) - f (x, y)y四、偏導數求法由偏導數定義可看出，對哪個變量求偏導就只把哪個變量當成自變量，其它的變量都當成常數看待。:z.:z.五、全彳分：dz-dx'dyxy六、二元函數的連續、偏導、可微之間的關系二元函數可微，則必連續，可偏導，但反之不一定成立。若偏導存在且連續，則一定可微。函數z=f（x,y）的偏導存在與否，與函數是否連續毫無關系。七、二元復合函數求偏導設z=f(u,v),u=®(x,y),v=3(x,y),：z；z；uczvzlzz.；u；z；v貝U=+,=+；x；

21、u；xZ；xy；u；yA；y注：有幾個中間變量就處理幾次，按照復合函數求導處理。八、隱函數求偏導方程F(x,y,z)=0確定的隱函數為z=f(x,y),則對等號兩邊同時對x求導，遇到z的函數，把z當成中間變量。第八講多元函數積分學知識點一、二重積分的概念、性質1、f(x,y)dxdy= ldiD4 f( i, i)、,幾何意義：代表由f (x, y), d圍成的曲頂柱體體積。2、性質：(1)口kf(x,y)dxdy=kHf(x,y)dxdyDD.f(x,y)g(x,y)dxdy=.f(x,y)dxdy+.g(x,y)dxdyDDD(3)、伸=DD(4)D=Di+D2,nf(x,y)dxdy=口

22、f(x,y)dxdy+口f(x,y)dxdyDDiD2(5)若f(x,y)4g(x,y),則口f(x,y)dxdy«口g(x,y)dxdyDD(6)若mmf(x,y)wM,則mD三1f(x,y)dxdymMDD設f(x,y)在區域d上連續，則至少存在一點尸D,使口f(x,y)dxdy=f-J)DD、計算(i)d：a_x-b,1(x)-y-2(x)bQ(x)f(x,y)dxdy=adx;f(x,y)dyDD:c<ywd?(y)wxw、(y),d-2(x)f(x,y)dxdy-cdyf(x,y)dyc1(x)D技巧：“誰”的范圍最容易確定就先確定“誰”的范圍，然后通過劃水平線和垂直線的方法確定另一個變量的范圍(3)極坐標下：x=rcos,y=rsin,dxdy=rdrd71：r(1)Sif(x,y)dxdy=.d"0f(rcos",rsin")rdrD一三、曲線積分1、第一型曲線積分的計算(1)若積分路徑為l：y=4(x),awxwb,則Lf(x,y)ds=:f(x,(x),1(x)2dx(2)若積分路徑為L:x=(y),c<y<d,則d21 f(x,y)ds=cf(y),y),1(:(y)dy什x="t)-Rr(3)若積分路為L:J，otWtWP,則y/(t)lf(x,y)ds=；f(t),(t),J(t