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因式分解的16種方法

因式分解沒有普遍的方法,初中數學教材中主要介紹了提公因式法、公式法。而在競賽上,又有拆項和添減項法,分組分解法和十字相乘法,待定系數法,雙十字相乘法,對稱多項式輪換對稱多項式法,余數定理法,求根公式法,換元法,長除法,除法等。

注意三原則

1分解要徹底2最后結果只有小括號

3最后結果中多項式首項系數為正〔例如：

分解因式技巧

1.分解因式與整式乘法是互為逆變形。

2.分解因式技巧掌握：

①等式左邊必須是多項式；②分解因式的結果必須是以乘積的形式表示；

③每個因式必須是整式,且每個因式的次數都必須低于原來多項式的次數；

④分解因式必須分解到每個多項式因式都不能再分解為止。

注：分解因式前先要找到公因式,在確定公因式前,應從系數和因式兩個方面考慮。

基本方法

⑴提公因式法

各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式。

如果一個多項式的各項有公因式,可以把這個公因式提出來,從而將多項式化成兩個因式乘積的形式,這種分解因式的方法叫做提公因式法。

具體方法：當各項系數都是整數時,公因式的系數應取各項系數的最大公約數；字母取各項的相同的字母,而且各字母的指數取次數最低的；取相同的多項式,多項式的次數取最低的。

如果多項式的第一項是負的,一般要提出"-"號,使括號內的第一項的系數成為正數。提出"-"號時,多項式的各項都要變號。

提公因式法基本步驟：

〔1找出公因式；

〔2提公因式并確定另一個因式：

①第一步找公因式可按照確定公因式的方法先確定系數在確定字母；

②第二步提公因式并確定另一個因式,注意要確定另一個因式,可用原多項式除以公因式,所得的商即是提公因式后剩下的

一個因式,也可用公因式分別除去原多項式的每一項,求的剩下的另一個因式；

③提完公因式后,另一因式的項數與原多項式的項數相同。

口訣：找準公因式,一次要提凈；全家都搬走,留1把家守；提負要變號,變形看奇偶。

例如：-am+bm+cm=-m<a-b-c>；

a<x-y>+b<y-x>=a<x-y>-b<x-y>=<x-y><a-b>。

注意：把2+變成2<+>不叫提公因式

⑵公式法

如果把乘法公式反過來,就可以把某些多項式分解因式,這種方法叫公式法。

平方差公式：=<a+b><a-b>；完全平方公式：±2ab＋＝

注意：能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式,其中有兩項能寫成兩個數<或式>的平方和的形式,另一項是這兩個數<或式>的積的2倍。

立方和公式：=<a+b><-ab+>；

立方差公式：=<a--b><+ab+>；

完全立方公式：±3b＋3a±=<a±b>．

公式：++-3abc=<a+b+c><++-ab-bc-ca>

例如：+4ab+4=<a+2b>。

⑶分組分解法

分組分解是解方程的一種簡潔的方法,我們來學習這個知識。

能分組分解的方程有四項或大于四項,一般的分組分解有兩種形式：二二分法,三一分法。

比如：ax+ay+bx+by=a<x+y>+b<x+y>=<a+b><x+y>

我們把ax和ay分一組,bx和by分一組,利用乘法分配律,兩兩相配,立即解除了困難。

同樣,這道題也可以這樣做。

ax+ay+bx+by=x<a+b>+y<a+b>=<a+b><x+y>

幾道例題：

1.5ax+5bx+3ay+3by

解法：=5x<a+b>+3y<a+b>=<5x+3y><a+b>

說明：系數不一樣一樣可以做分組分解,和上面一樣,把5ax和5bx看成整體,把3ay和3by看成一個整體,利用乘法分配律輕松解出。

2.x-+x-1

解法：=<x->+<x-1>=<x-1>+<x-1>=<x-1><+1>

利用二二分法,提公因式法提出x2,然后相合輕松解決。

3.-x-y-y

解法：=<-y>-<x+y>=<x+y><x-y>-<x+y>=<x+y><x-y-1>

利用二二分法,再利用公式法a-b=<a+b><a-b>,然后相合解決。

⑷十字相乘法

這種方法有兩種情況。

①+<p+q>x+pq型的式子的因式分解

這類二次三項式的特點是：二次項的系數是1；常數項是兩個數的積；一次項系數是常數項的兩個因數的和。因此,可以直接將某些二次項的系數是1的二次三項式因式分解：+<p+q>x+pq=<x+p><x+q>．

②k+mx+n型的式子的因式分解

如果有k=ac,n=bd,且有ad+bc=m時,那么kx+mx+n=<ax+b><cx+d>．

圖示如下：

ad例如：因為1-3

××

cd72-3×7=-21,1×2=2,且2-21=-19,

所以7-19x-6=<7x+2><x-3>．

十字相乘法口訣：首尾分解,交叉相乘,求和湊中

⑸裂項法

這種方法指把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數的兩項〔或幾項,使原式適合于提公因式法、運用公式法或分組分解法進行分解。這鐘方法的實質是分組分解法。要注意,必須在與原多項式相等的原則下進行變形。

例如：bc<b+c>+ca<c-a>-ab<a+b>

=bc<c-a+a+b>+ca<c-a>-ab<a+b>=bc<c-a>+ca<c-a>+bc<a+b>-ab<a+b>

=c<c-a><b+a>+b<a+b><c-a>=<c+b><c-a><a+b>．

⑹配方法

對于某些不能利用公式法的多項式,可以將其配成一個完全平方式,然后再利用平方差公式,就能將其因式分解,這種方法叫配方法。屬于拆項、補項法的一種特殊情況。也要注意必須在與原多項式相等的原則下進行變形。

例如：+3x-40=+3x+2.25-42.25==<x+8><x-5>．

⑺應用因式定理

對于多項式f<x>=0,如果f<a>=0,那么f<x>必含有因式x-a．

例如：f<x>=+5x+6,f<-2>=0,則可確定x+2是+5x+6的一個因式。<事實上,+5x+6=<x+2><x+3>．>

注意：1、對于系數全部是整數的多項式,若X=q/p〔p,q為互質整數時該多項式值為零,則q為常數項約數,p最高次項系數約數；

2、對于多項式f<a>=0,b為最高次項系數,c為常數項,則有a為c/b約數

⑻換元法

有時在分解因式時,可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數,然后進行因式分解,最后再轉換回來,這種方法叫做換元法。

注意:換元后勿忘還元.

例如在分解<+x+1><+x+2>-12時,可以令y=+x,則

原式=<y+1><y+2>-12=y+3y+2-12=y+3y-10=<y+5><y-2>

=<+x+5><+x-2>=<+x+5><x+2><x-1>．

⑼求根法

令多項式f<x>=0,求出其根為x1,x,x3,……xn,

則該多項式可分解為f<x>=<x-x1><x-x2><x-x3>……<x-xn>．

例如在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6時,令2x^4+7x^3-2x-13x+6=0,

則通過綜合除法可知,該方程的根為0.5,-3,-2,1．

所以2x^4+7x^3-2-13x+6=<2x-1><x+3><x+2><x-1>．

⑽圖象法

令y=f<x>,做出函數y=f<x>的圖象,找到函數圖像與X軸的交點x1,x2,x3,……xn,則多項式可因式分解為f<x>=f<x>=<x-x1><x-x2><x-x3>……<x-xn>．

與方法⑼相比,能避開解方程的繁瑣,但是不夠準確。

例如在分解x^3+2-5x-6時,可以令y=x^3;+2-5x-6.

作出其圖像,與x軸交點為-3,-1,2

則x^3+2-5x-6=<x+1><x+3><x-2>．

⑾主元法

先選定一個字母為主元,然后把各項按這個字母次數從高到低排列,再進行因式分解。

⑿特殊值法

將2或10代入x,求出數p,將數p分解質因數,將質因數適當的組合,并將組合后的每一個因數寫成2或10的和與差的形式,將2或10還原成x,即得因式分解式。

例如在分解x^3+9+23x+15時,令x=2,則

x^3+9+23x+15=8+36+46+15=105,

將105分解成3個質因數的積,即105=3×5×7．

注意到多項式中最高項的系數為1,而3、5、7分別為x+1,x+3,x+5,在x=2時的值,

則x^3+9+23x+15可能等于<x+1><x+3><x+5>,驗證后的確如此。

⒀待定系數法

首先判斷出分解因式的形式,然后設出相應整式的字母系數,求出字母系數,從而把多項式因式分解。

例如在分解x^4-x^3-5-6x-4時,由分析可知：這個多項式沒有一次因式,因而只能分解為兩個二次因式。

于是設x^4-x^3-5-6x-4=<+ax+b><+cx+d>

=x^4+<a+c>x^3+<ac+b+d>+<ad+bc>x+bd

由此可得a+c=-1,

ac+b+d=-5,

ad+bc=-6,

bd=-4．

解得a=1,b=1,c=-2,d=-4．

則x^4-x^3-5x-6x-4=<x+x+1><x-2x-4>．

⒁雙十字相乘法

雙十字相乘法屬于因式分解的一類,類似于十字相乘法。

雙十字相乘法就是二元二次六項式,啟始的式子如下:

ax+bxy+cy+dx+ey+f

x、y為未知數,其余都是常數

用一道例題來說明如何使用。

例：分解因式：x+5xy+6y+8x+18y+12．

分析：這是一個二次六項式,可考慮使用雙十字相乘法進行因式分解。

解：

原式=<x+2y+2><x+3y+6>．

雙十字相乘法其步驟為：

①先用十字相乘法分解2次項,如十字相乘圖①中x+5xy+6y=<x+2y><x+3y>；

②先依一個字母〔如y的一次系數分數常數項。如十字相乘圖②中6y+18y+12=<2y+2><3y+6>；

③再按另一個字母〔如x的一次系數進行檢驗,如十字相乘圖③,這一步不能省,否則容易出錯。

多項式因式分解的一般步驟

①如果多項式的各項有公因式,那么先提公因式；

②如果各項沒有公因式,那么可嘗試運用公式、十字相乘法來分解；

③如果用上述方法不能分解,那么可以嘗試用分組、拆項、補項法來分解；

④分解因式,必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止。

也可以用一句話來概括："先看有無公因式,再看能否套公式。十字相乘試一試,分組分解要合適。"

幾道例題

1．分解因式<1+y>-2x<1+y>+x<1-y>．

解：原式=<1+y>+2<1+y>x<1-y>+x<1-y>-2<1+y>x<1-y>-2x<1+y>〔補項

=[<1+y>+x<1-y>]-2<1+y>x<1-y>-2x<1+y>〔完全平方

=[<1+y>+x<1-y>]-<2x>

=[<1+y>+x<1-y>+2x][<1+y>+x<1-y>-2x]

=<x-xy+2x+y+1><x-xy-2x+y+1>

=[<x+1>-y<x-1>][<x-1>-y<x-1>]

=<x+1><x+1-xy+y><x-1><x-1-xy-y>．

2．求證：對于任何實數x,y,下式的值都不會為33：

解：原式=<x^5+3x^4y>-<5x^3y+15x^2y^3>+<4xy^4+12y^5>

=x^4<x+3y>-5xy<x+3y>+4y^4<x+3y>

=<x+3y><x^4-5xy+4y^4>

=<x+3y><x-4y><x-y>

=<x+3y><x+y><x-y><x+2y><x-2y>．

當y=0時,原式=x^5不等于33；當y不等于0時,x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同,而33不能分成四個以上不同因數的積,所以原命題成立。

3.．△ABC的三邊a、b、c有如下關系式：-c+a+2ab-2bc=0,求證：這個三角形是等腰三角形。

分析：此題實質上是對關系式的等號左邊的多項式進行因式分解。

證明：∵-c+a+2ab-2bc=0,

∴<a+c><a-c>+2b<a-c>=0．

∴<a-c><a+2b+c>=0．

∵a、b、c是△ABC的三條邊,

∴a＋2b＋c＞0．

∴a－c＝0,

即a＝c,△ABC為等腰三角形。

4．把-12x^2n×y^n+18x^<n+2>y^<n+1>-6x^n×y^<n-1>分解因式。

解：-12x^2n×y^n+18x^<n+2>y^<n+1>-6x^n×y^<n-1>

=-6x^n×y^<n-1><2x^n×y-3x^2y^2+1>．

四個注意

初中的數學主要是分代數和幾何兩大部分,兩者在中考中所占的比例,代數略大于幾何