基本不等式的證明基本不等式的證明/NUMPAGES19基本不等式的證明基本不等式的證明重要不等式及其應(yīng)用教案教學(xué)目的(1)使學(xué)生掌握基本不等式a2＋b2≥2ab(a、b∈R，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號)和a3＋b3＋c3≥3abc(a、b、c∈R+，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號)及其推論，并能應(yīng)用它們證明一些不等式．(2)通過對定理及其推論的證明與應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用綜合法進(jìn)行推理的能力．教學(xué)過程一、引入新課師：上節(jié)課我們學(xué)過證明不等式的哪一種方法？它的理論依據(jù)是什么？生：求差比較法，即師：由于不等式復(fù)雜多樣，僅有比較法是不夠的．我們還需要學(xué)習(xí)一些有關(guān)不等式的定理及證明不等式的方法．如果a、b∈R，那么(a－b)2屬于什么數(shù)集？為什么？生：當(dāng)a≠b時，(a－b)2＞0，當(dāng)a=b時，(a－b)2=0，所以(a－b)2≥0．即(a－b)2∈R+∪{0}．師：下面我們根據(jù)(a－b)2∈R+∪{0}這一性質(zhì)，來推導(dǎo)一些重要的不等式，同時學(xué)習(xí)一些證明不等式的方法．二、推導(dǎo)公式1．奠基師：如果a、b∈R，那么有(a－b)2≥0．①把①左邊展開，得a2－2ab＋b2≥0，∴a2＋b2≥2ab．②②式表明兩個實數(shù)的平方和不小于它們的積的2倍．這就是課本中介紹的定理1，它是一個很重要的絕對不等式，對任何兩實數(shù)a、b都成立．由于取“=”號這種特殊情況，在以后有廣泛的應(yīng)用，因此通常要指出“=”號成立的充要條件．②式中取等號的充要條件是什么呢？師：充要條件通常用“當(dāng)且僅當(dāng)”來表達(dá)．“當(dāng)”表示條件是充分的，“僅當(dāng)”表示條件是必要的．所以②式可表述為：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號)．以公式①為基礎(chǔ)，運(yùn)用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)公式②，這種由已知推出未知(或要求證的不等式)的證明方法通常叫做綜合法．以公式②為基礎(chǔ)，用綜合法可以推出更多的不等式．現(xiàn)在讓我們共同來探索．2．探索師：公式②反映了兩個實數(shù)平方和的性質(zhì)，下面我們研究兩個以上的實數(shù)的平方和，探索可能得到的結(jié)果．先考查三個實數(shù)．設(shè)a、b、c∈R，依次對其中的兩個運(yùn)用公式②，有a2＋b2≥2ab；b2＋c2≥2bc；c2＋a2≥2ca．把以上三式疊加，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca③(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號)．以此類推：如果ai∈R，i=1，2，…，n，那么有④(當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an時取“=”號)．④式是②式的一種推廣式，②式就是④式中n=2時的特殊情況．③和④式不必當(dāng)作公式去記，但從它們的推導(dǎo)過程中可以學(xué)到一種處理兩項以上的和式問題的數(shù)學(xué)思想與方法——迭代與疊加．3．再探索師：考察兩個以上實數(shù)的更高次冪的和，又能得到什么有趣的結(jié)果呢？先考查兩個實數(shù)的立方和．由于a3＋b3=(a＋b)(a2－ab＋b2)，啟示我們把②式變成a2－ab＋b2≥ab，兩邊同乘以a＋b，為了得到同向不等式，這里要求a、b∈R+，得到a3＋b3≥a2b＋ab2．⑤考查三個正實數(shù)的立方和又具有什么性質(zhì)呢？生：由③式的推導(dǎo)方法，再增加一個正實數(shù)c，對b、c，c、a迭代⑤式，得到b3＋c3≥b2c＋bc2，c3＋a3≥c2a＋ca2．三式疊加，并應(yīng)用公式②，得2(a3＋b3＋c3)≥a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)≥a·2bc＋b·2ca＋c·2ab=6abc．∴a3＋b3＋c3≥3abc⑥(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號)．師：這是課本中的不等式定理2，即三個正實數(shù)的立方和不小于它們的積的3倍．同學(xué)們可能想到n個正實數(shù)的立方和會有什么結(jié)果，進(jìn)一步還會想到4個正數(shù)的4次方的和會有什么結(jié)果，直至n個正數(shù)的n次方的和會有什么結(jié)果．這些問題留給同學(xué)們課外去研究．4．推論師：直接應(yīng)用公式②和⑥可以得到兩個重要的不等式．⑦(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號)．這就是課本中定理1的推論．⑧(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號)．這就是課本中定理2的推論．當(dāng)ai∈R+(i=1，2，…，n)時，有下面的推廣公式(在中學(xué)不講它的證明)⑨(當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an時取“=”號)．何平均數(shù)．⑨式表明：n個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．這是一個著名的平均數(shù)不等式定理．現(xiàn)在只要求同學(xué)掌握n=2、3時的兩個公式，即⑦和⑧．三、小結(jié)(1)我們從公式①出發(fā)，運(yùn)用綜合法，得到許多不等式公式，其中要求同學(xué)熟練掌握的是公式②、⑥、⑦、⑧．它們之間的關(guān)系可圖示如下：(2)上述公式的證法不止綜合法一種．比如公式②和⑥，在課本上是用比較法證明的．又如公式⑦也可以由①推出；用⑦還可以推出⑧；由⑦、⑧也可以推出②、⑥．但是不論哪種推導(dǎo)系統(tǒng)，其理論基礎(chǔ)都是實數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)．四個公式中，②、⑦是基礎(chǔ)，最重要．它們還可以用幾何法或三角法證明．幾何法：構(gòu)造直角三角形ABC，使∠C=90°，BC=a，AC=b(a、b∈R+)，則a2＋b2=c2表示以斜邊c為邊的正方形的面積．而如上左圖所示，顯然有(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號，這時Rt△ABC等腰，如上右圖)．這個圖是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽證明勾股定理時所用過的“勾股方圓圖”，同學(xué)們在初中已經(jīng)見過．三角法：在Rt△ABC中，令∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，則2ab=2·csinA·csinB=2c2sinAcosA=c2·sin2A≤c2=a2＋b2(∵sin2A≤1)(當(dāng)且僅當(dāng)sin2A=1，A=45°，即a=b時取“=”號)．三、應(yīng)用公式練習(xí)1．判斷正誤：下列問題的解法對嗎？為什么？如果不對請予以改正．a(chǎn)、b∈R+．若tgα、ctgα∈R+．解法就對了．這時需令α是第一、三象限的角．]改條件使a、b∈R+；②改變證法．a(chǎn)2＋ab＋b2≥2ab＋ab=3ab．]師：解題時，要根據(jù)題目的條件選用公式，特別注意公式中字母應(yīng)滿足的條件．只有公式①、②對任何實數(shù)都成立，公式⑥、⑦、⑧都要求字母是正實數(shù)(事實上對非負(fù)實數(shù)也成立)．2．填空：(1)當(dāng)a________時，an＋a－n≥________；(3)當(dāng)x________時，lg2x＋1≥_________；(5)tg2α＋ctg2α≥________；(6)sinxcosx≤________；師：從上述解題中，我們可以看到：(1)對公式中的字母應(yīng)作廣義的理解，可以代表數(shù)，也可以代表式子．公式可以順用，也可以逆用．總之要靈活運(yùn)用公式．(2)上述題目中右邊是常數(shù)的，說明左邊的式子有最大或最小值．因此，在一定條件下應(yīng)用重要不等式也可以求一些函數(shù)的最大(小)值．(3)重要不等式還可以用于數(shù)值估計．如表明任何自然數(shù)的算術(shù)平方根不大于該數(shù)加1之半．四、布置作業(yè)略．教案說明1．知識容量問題這一節(jié)課安排的內(nèi)容是比較多的，有些是補(bǔ)充內(nèi)容．這是我教重點中學(xué)程度比較好的班級時的一份教案．實踐證明是可行的，效果也比較好．對于普通班級則應(yīng)另當(dāng)別論．補(bǔ)充內(nèi)容(一般式，幾何、三角證法等)可以不講，例題和練習(xí)也須壓縮．但講完兩個定理及其推論，實現(xiàn)教學(xué)的基本要求仍是可以做到的．還應(yīng)看到學(xué)生接受知識的能力也非一成不變的．同是一節(jié)課，講課重點突出，深入淺出，富有啟發(fā)性，學(xué)生就有可能舉一反三、觸類旁通，獲取更多的知識．知識容量增加了，并未增加學(xué)生的負(fù)擔(dān)．從整個單元來看，由于壓縮了講課時間，相應(yīng)的就增加了課堂練習(xí)的時間．反之，如果學(xué)生被動聽講，目標(biāo)不清，不得要領(lǐng)，內(nèi)容講得再少，學(xué)生也是難以接受的．由此可見，知識容量的多少，既與學(xué)生的程度有關(guān)，與教學(xué)是否得法也很有關(guān)系．我們應(yīng)當(dāng)盡可能采用最優(yōu)教法，擴(kuò)大學(xué)生頭腦中的信息容量，以求可能的最佳效果．2．教學(xué)目的問題近年來，隨著教改的深入，教師在確定教學(xué)目的和要求時，開始追求傳授知識和培養(yǎng)能力并舉的課堂教學(xué)效果．在培養(yǎng)學(xué)生的能力方面，不僅要求學(xué)生能夠運(yùn)用知識，更重要的是通過自己的思考來獲取知識．據(jù)此，本節(jié)課確定如下的教學(xué)目的：一是在知識內(nèi)容上要求學(xué)生掌握四個公式；二是培養(yǎng)學(xué)生用綜合法進(jìn)行推理的能力．當(dāng)然，學(xué)生能力的形成和發(fā)展，絕不是一節(jié)課所能“立竿見影”的．它比掌握知識來得慢，它是長期潛移默化的教學(xué)結(jié)果．考慮到中學(xué)數(shù)學(xué)的基本知識，大量的是公式和定理，如能在每一個公式、定理的教學(xué)中，都重視把傳授知識與開拓思維、培養(yǎng)能力結(jié)合起來，天長日久，肯定會收到深遠(yuǎn)的效果．3．教材組織與教法選用問題實現(xiàn)上述教學(xué)目的，關(guān)鍵在于組織好教材，努力把傳授知識與開拓思維、培養(yǎng)能力結(jié)合起來．教材中對定理1和定理2的安排，可能是為了與前面講的比較法和配方法相呼應(yīng)．但這容易使人感到這兩個定理之間沒有什么內(nèi)在聯(lián)系，又似乎在應(yīng)用定理時才能用綜合法．事實上，可以用比較法證明兩個數(shù)的平方和或三個數(shù)的立方和的不等式，但當(dāng)n＞3，特別對n是奇數(shù)時，用比較法就困難了(因為這時難以配方與分解因式)．因此不具有一般性．而對綜合法，學(xué)生在初中證幾何題時已多次用過了(只是課本上沒有提到這個名稱)．現(xiàn)行課本中兩個不等式定理及其推論，是著名的平均值不等式：和它的等價形式當(dāng)n=2，3時的特殊情況(當(dāng)n=2時，ai的取值有所變化)．在中學(xué)不講一般形式，只講特殊情況是符合大綱要求的．由于普遍性總是寓于特殊性之中，因此，這兩個特例應(yīng)是一般式的基礎(chǔ)．同時，這兩個特例之間應(yīng)有緊密的聯(lián)系，在推導(dǎo)方法上也應(yīng)該與一般式的證明有共性．這就是本教案的設(shè)計思想，因而改變了現(xiàn)行課本的證法．這里，我們用由定理1先推出一個輔助不等式a3＋b3≥a2b＋ab2，然后經(jīng)迭代、疊加，推出不等式a3＋b3＋c3≥3abc，這種方法具有一般性．事實上，引入一個一般的輔助不等式an＋bn≥an-1b＋abn-1(n＞1)，由迭代、疊加，