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數(shù)

學(xué)

知

識

點(diǎn)

總

結(jié)

引言

1.課程內(nèi)容：

必修課程由5個(gè)模塊組成：

必修1：集合、函數(shù)概念與基本初等函數(shù)（指、對、嘉函數(shù)）

必修2：立體幾何初步、平面解析幾何初步。

必修3：算法初步、統(tǒng)計(jì)、概率。

必修4：基本初等函數(shù)（三角函數(shù)）、平面向量、三角恒等變換。

必修5：解三角形、數(shù)列、不等式。

以上是每一個(gè)高中學(xué)生所必須學(xué)習(xí)的。

上述內(nèi)容覆蓋了高中階段傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能的主要部分，其中包括集合、函數(shù)、

數(shù)列、不等式、解三角形、立體幾何初步、平面解析幾何初步等。不同的是在保證打好基礎(chǔ)的同時(shí),

進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)了這些知識的發(fā)生、發(fā)展過程和實(shí)際應(yīng)用，而不在技巧與難度上做過高的要求。

此外，基礎(chǔ)內(nèi)容還增加了向量、算法、概率、統(tǒng)計(jì)等內(nèi)容。

選修課程有4個(gè)系列：

系列1：由2個(gè)模塊組成。

選修1一1：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用。

選修1—2：統(tǒng)計(jì)案例、推理與證明、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)、框圖

系列2：由3個(gè)模塊組成。

選修2—1：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、

空間向量與立體幾何。

選修2—2：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，推理與證明、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)

選修2—3；計(jì)數(shù)原理、隨機(jī)變量及其分布列，統(tǒng)計(jì)案例。

系列3：由6個(gè)專題組成。

選修3—1：數(shù)學(xué)史選講。

選修3—2：信息安全與密碼。

選修3—3：球面上的幾何。

選修3—4：對稱與群。

選修3—5：歐拉公式與閉曲面分類。

選修3—6：三等分角與數(shù)域擴(kuò)充。

系列4：由10個(gè)專題組成。

選修4一1：幾何證明選講。

選修4一2：矩陣與變換。

選修4—3：數(shù)列與差分。

選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程。

選修4一5:不等式選講。

選修4—6：初等數(shù)論初步。

選修4一7：優(yōu)選法與試驗(yàn)設(shè)計(jì)初步。

選修4—8：統(tǒng)籌法與圖論初步。

選修4—9：風(fēng)險(xiǎn)與決策。

選修4—10：開關(guān)電路與布爾代數(shù)。

2.重難點(diǎn)及考點(diǎn)：

重點(diǎn)：函數(shù)，數(shù)列，三角函數(shù)，平面向量，圓錐曲線，立體幾何，導(dǎo)數(shù)

難點(diǎn)：函數(shù)、圓錐曲線

高考相關(guān)考點(diǎn)：

⑴集合與簡易邏輯:集合的概念與運(yùn)算、簡易邏輯、充要條件

⑵函數(shù)：映射與函數(shù)、函數(shù)解析式與定義域、值域與最值、反函數(shù)、三大性質(zhì)、函數(shù)圖象、指數(shù)與

指數(shù)函數(shù)、對數(shù)與對數(shù)函數(shù)、函數(shù)的應(yīng)用

⑶數(shù)列：數(shù)列的有關(guān)概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和、數(shù)列的應(yīng)用

⑷三角函數(shù)：有關(guān)概念、同角關(guān)系與誘導(dǎo)公式、和、差、倍、半公式、求值、化簡、證明、三角函

數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)的應(yīng)用

⑸平面向量：有關(guān)概念與初等運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積及其應(yīng)用

⑹不等式：概念與性質(zhì)、均值不等式、不等式的證明、不等式的解法、絕對值不等式、不等式的應(yīng)

用

⑺直線和圓的方程：直線的方程、兩直線的位置關(guān)系、線性規(guī)劃、圓、直線與圓的位置關(guān)系

⑻圓錐曲線方程：橢圓、雙曲線、拋物線、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、軌跡問題、圓錐曲線的應(yīng)

用

⑼直線、平面、簡單幾何體：空間直線、直線與平面、平面與平面、棱柱、棱錐、球、空間向量

⑩排列、組合和概率：排列、組合應(yīng)用題、二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用

(11)概率與統(tǒng)計(jì)：概率、分布列、期望、方差、抽樣、正態(tài)分布

?導(dǎo)數(shù)：導(dǎo)數(shù)的概念、求導(dǎo)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

?復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算

高中數(shù)學(xué)必修1知識點(diǎn)

第一章集合與函數(shù)概念

K1.13集合

[1.1.11集合的含義與表示

(1)集合的概念

集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.

(2)常用數(shù)集及其記法

N表示自然數(shù)集，N*或N+表示正整數(shù)集，Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，R表示實(shí)數(shù)集.

(3)集合與元素間的關(guān)系

對象。與集合M的關(guān)系是aeM,或者aeM,兩者必居其一.

(4)集合的表示法

①自然語言法：用文字?jǐn)⑹龅男问絹砻枋黾?

②列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)表示集合.

③描述法：｛xlx具有的性質(zhì)｝,其中x為集合的代表元素.

④圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合.

（5）集合的分類

①含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集.②含有無限個(gè)元素的集合叫做無限集.③不含有任何元素的集合叫做

空集（0）.

[1.1.2]集合間的基本關(guān)系

（6）子集、真子集、集合相等

名稱記號意義性質(zhì)示意圖

(l)AcA

AcB

A中的任一元素都⑵0=A?(1

子集(或

屬于B(3)若A=B且B=則A=C0

5")或

(4)若且BqA,則A=5

AuB(1)0uA(A為非空子集)

*Aq8,且B中至*

真子集(或少有一元素不屬于(2)若4uB且BuC,則AuC

**H!

B=)A)A

A中的任一元素都

集合(l)AoB

A=B屬于B,B中的任

相等(2)B=A1

一元素都屬于A

（7）己知集合A有〃（〃21）個(gè)元素，則它有2"個(gè)子集，它有2"-1個(gè)真子集，它有2"-1個(gè)非空子集，它有2"—2

非空真子集.

[1.1.3]集合的基本運(yùn)算

（8）交集、并集、補(bǔ)集

名稱記號意義性質(zhì)示意圖

(1)AA4=A

(x\xeA,S.(2)AC|0=0

3集

xeB}(3)AQficACD

(1)AU4=A

A\JB{x|xeA,或(2)AU0=A

并集

X6B}(3)AU83A

AUB"

且A}14n(”)=0

額AnB)=(0A)U(%B)

補(bǔ)集

覆AUB)=(精加④⑸24U&A)=UIO

【補(bǔ)充知識】含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法

(1)含絕對值的不等式的解法

不等式解集

|x\<a(a>0){x\-a<x<a}

|x\>a(a>0)或x>〃}

把or+b看成一個(gè)整體，化成|x|<a,

\ax+b\<c,\ax+b\>c(c>0)

|x|>a(a>0)型不等式來求解

(2)一元二次不等式的解法

判別式

A>0A=0A<0

A=Z?2-4ac

二次函數(shù)4\

y=ax2+hx+c(a>0)

0X]_%2

的圖象十

一元二次方程-b±y/b2-4ac

x\,2=-----------------b

ax2+bx+c-Q(a>0)2aX,=x1=-----無實(shí)根

la

的根(其中玉<冗2)

ax2+bx+c>0(a>0)

{x[x<X]或X>/}{x|x豐--—}R

la

的解集

ax2+hx+c<0(。>0)

{x|Xj<x<x2}00

的解集

K1.23函數(shù)及其表示

[1.2.1]函數(shù)的概念

(1)函數(shù)的概念

①設(shè)A、8是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按照某種對應(yīng)法則/,對于集合A中任何一個(gè)數(shù)X,在集合6中都有

唯一確定的數(shù)/(x)和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)(包括集合A,B以及A到6的對應(yīng)法則f)叫做集合A到

8的一個(gè)函數(shù)，記作f8.

②函數(shù)的三要素:定義域、值域和對應(yīng)法則.

③只有定義域相同，且對應(yīng)法則也相同的兩個(gè)函數(shù)才是同一函數(shù).

(2)區(qū)間的概念及表示法

①設(shè)是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且a<b,滿足aWxW〃的實(shí)數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，記做切；滿足a<x<人的

實(shí)數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，記做(。涉)；滿足或的實(shí)數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間，

分別記做[a,b),(a,b]；滿足x>a,x>a,x<b,x<b的實(shí)數(shù)x的集合分別記做

[a,+co),(a,+oo),(-0°,b],(-<x,b).

注意：對于集合｛x[a<x<。｝與區(qū)間(a,。)，前者。可以大于或等于6,而后者必須

a<b,(前者可以不成立，為空集；而后者必須成立).

(3)求函數(shù)的定義域時(shí)，一般遵循以下原則：

①/(x)是整式時(shí)，定義域是全體實(shí)數(shù).

②/意)是分式函數(shù)時(shí)，定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù).

③/(無)是偶次根式時(shí)，定義域是使被開方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的集合.

④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時(shí)，底數(shù)須大于零且不等于L

JI

⑤y=tanx中，k7i+—(kGZ).

⑥零(負(fù))指數(shù)基的底數(shù)不能為零.

⑦若/(幻是由有限個(gè)基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算而合成的函數(shù)時(shí)，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義

域的交集.

⑧對于求復(fù)合函數(shù)定義域問題，一般步驟是：若己知/(x)的定義域?yàn)閇a,句，其復(fù)合函數(shù)/[g(x)]的定義域

應(yīng)由不等式a?g(x)<A解出.

⑨對于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問題具體情況需對字母參數(shù)進(jìn)行分類討論.

⑩由實(shí)際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問題的實(shí)際意義.

(4)求函數(shù)的值域或最值

求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的.事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最小

(大)數(shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最小(大)值.因此求函數(shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的，只是提問的角度

不同.求函數(shù)值域與最值的常用方法：

①觀察法：對于比較簡單的函數(shù)，我們可以通過觀察直接得到值域或最值.

②配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的值域或

最值.

③判別式法：若函數(shù)y=f(x)可以化成一個(gè)系數(shù)含有y的關(guān)于x的二次方程+8(y)x+c(y)=0,則

在a(y)H0時(shí)，由于為實(shí)數(shù)，故必須有△=〃(y)—4a(y)-c(y)20,從而確定函數(shù)的值域或最值.

④不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值.

⑤換元法：通過變量代換達(dá)到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函

數(shù)的最值問題.

⑥反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值.

⑦數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值.

⑧函數(shù)的單調(diào)性法.

[1.2.2]函數(shù)的表示法

(5)函數(shù)的表示方法

表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種.

解析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系.列表法：就是列出表格來表示兩個(gè)變量之間的對

應(yīng)關(guān)系.圖象法：就是用圖象表示兩個(gè)變量之間的對應(yīng)關(guān)系.

(6)映射的概念

①設(shè)A、8是兩個(gè)集合，如果按照某種對應(yīng)法則/,對于集合A中任何一個(gè)元素，在集合8中都有唯一的

元素和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)(包括集合A,B以及A到8的對應(yīng)法則/)叫做集合A到6的映射，記

作/:A78.

②給定一個(gè)集合A到集合B的映射，且“GA/68.如果元素a和元素b對應(yīng)，那么我們把元素人叫做元

素a的象，元素。叫做元素b的原象.

K1.32函數(shù)的基本性質(zhì)

[1.3.1]單調(diào)性與最大(小)值

(1)函數(shù)的單調(diào)性

①定義及判定方法

函數(shù)的定義圖象判定方法

性質(zhì)

如果對于屬于定義域I內(nèi)(1)利用定義

某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)(2)利用已知函數(shù)

y*y=f(x)/

自變量的值XI、X2,當(dāng)個(gè)?的單調(diào)性

X2時(shí),都有f(Xl)<f(X?),(3)利用函數(shù)圖象

f(X,)

那么就說f(x)在這個(gè)區(qū)(在某個(gè)區(qū)間圖

0X,x,X

間上是增國數(shù).象上升為增)

函數(shù)的(4)利用復(fù)合函數(shù)

單調(diào)性(1)利用定義

如果對于屬于定義域I內(nèi)

(2)利用已知函數(shù)

某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)y=f(x)

y的單調(diào)性

自變量的值Xi、X2,當(dāng)X1<

f(x.)x.

(3)利用函數(shù)圖象

X2時(shí)，都有f(Xl)>f(X2)，

(在某個(gè)區(qū)間圖

0

那么就說f(x)在這個(gè)區(qū)Xix,X

象下降為減)

間上是誠函數(shù).

(4)利用復(fù)合函數(shù)

②在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個(gè)減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個(gè)減函數(shù)為增函數(shù),

減函數(shù)減去一個(gè)增函數(shù)為減函數(shù).

③對于復(fù)合函數(shù)y=/[g(x)],令"=g(x),若y=/(〃)為增，〃=g(x)為增，則y=/[g(x)]為增；若

'=/(")為減，”=8(%)為減，則y=/[g(x)]為增；若y=/(〃)為增，”=g(x)為減，則y=/[g(x)]為

減；若y=/(〃)為減，〃=g(x)為增，則y=/[g(x)]為減.

(2)打“J”函數(shù)/(x)=x+@(a>0)的圖象與性質(zhì)

X

/(尤)分別在(fO,—JZ]、[JZ,a)上為增函數(shù)，分別在

[-V^,o)s(o,JZ]上為減函數(shù).

(3)最大(小)值定義

①一般地，設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)〃

滿足：(1)對于任意的xe/,都有

⑵存在X°G/,使得/(%)=M.那么，我們稱M是函

數(shù)f（x）的最大值，記作/1rax（x）=M.

②一般地，設(shè)函數(shù)y=/（x）的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)力滿足：（1）對于任意的xe/,都有

（2）存在不€/,使得=那么，我們稱血是函數(shù)/（X）的最小值，記作7max（X）=m-

[1.3.2]奇偶性

（4）函數(shù)的奇偶性

①定義及判定方法

函數(shù)的

定義圖象判定方法

性質(zhì)

如果對于函數(shù)f（x）定義（1）利用定義（要

y

域內(nèi)任意一個(gè)X,都有(a,f(a))先判斷定義域是否

*_..一￡g）,那么函數(shù)-a「一關(guān)于原點(diǎn)對稱）

Joax

f（x）叫做奇西藜.（2）利用圖象（圖

(~a,f(-a))

函數(shù)的象關(guān)于原點(diǎn)對稱）

奇偶性如果對于函數(shù)f（x）定義（1）利用定義（要

y

域內(nèi)任意一個(gè)X,都有先判斷定義域是否

(-a.f(-a)(a,f(a))

f（—x）=f（X），那么函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱）

f（x）叫做假西教.-aoax（2）利用圖象（圖

象關(guān)于y軸對稱）

②若函數(shù)/（x）為奇函數(shù)，且在x=（）處有定義，則/（0）=（）.

③奇函數(shù)在y軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在y軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相反.

④在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的和（或差）仍是偶函數(shù)（或奇函數(shù)），兩個(gè)偶函數(shù)（或奇函

數(shù)）的積（或商）是偶函數(shù)，一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的積（或商）是奇函數(shù).

K補(bǔ)充知識』函數(shù)的圖象

（1）作圖

利用描點(diǎn)法作圖：

①確定函數(shù)的定義域：②化解函數(shù)解析式；

③討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性）；④畫出函數(shù)的圖象.

利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：

要準(zhǔn)確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、暴函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本初等函

數(shù)的圖象.

①平移變換

力>0,左移〃個(gè)單位—f（iv—/Yr）%>0,上移k個(gè)單位_+K

y-力<0,右移㈤個(gè)單位>）一x八"）一J⑴后<0,下移㈤個(gè)單位M

②伸縮變換

y=/(x)°募嫌>y=/M)

y-/(x)畸4y=*a)

③對稱變換

y-fMy=-f(x)y=/(x)-~^y=.f(-x)

y=.fMy=y=/(x)-直線尸X^=尸1（尤）

去朝，軸左邊圖象,v—丫n

>-Jw保留》軸右邊圖象，并作其關(guān)于y軸對稱圖象J"""

保留X軸上方圖象_____!”1

y=/(x)將x軸下方圖象翻折上去八切

（2）識圖

對于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值

域、單調(diào)性、奇偶性，注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系.

（3）用圖

函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系問題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得

問題結(jié)果的重要工具.要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法.

第二章基本初等函數(shù)（I）

K2.13指數(shù)函數(shù)

[2.1.1]指數(shù)與指數(shù)黑的運(yùn)算

（1）根式的概念

①如果x"=a,aeR,xeR,〃>l,且“eN,,那么無叫做。的〃次方根.當(dāng)〃是奇數(shù)時(shí)，。的〃次方根

用符號后表示；當(dāng)〃是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)。的正的〃次方根用符號標(biāo)表示，負(fù)的〃次方根用符號-標(biāo)表示；0

的〃次方根是0；負(fù)數(shù)a沒有〃次方根.

②式子布叫做根式，這里〃叫做根指數(shù)，。叫做被開方數(shù).當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，a為任意實(shí)數(shù)；當(dāng)”為偶數(shù)

時(shí)，a>0.

a

③根式的性質(zhì)：（五）"=a；當(dāng)”為奇數(shù)時(shí)，丘=a；當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，^=\a\=\.

-a（a<0）

(2)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的概念

①正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)基的意義是：47=53>0,加,〃€",，且〃>1).o的正分?jǐn)?shù)指數(shù)基等于o.

②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義是：J=(-)"=心門(a>Q,m,neN*,且〃>1).0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕

aVa

沒有意義.注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù).

(3)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)

①優(yōu)?a'=ar+s(a>0,r,seR)②(a)=ars(a>0,r,seR)

③(ab)r=arbr(a>Q,b>0,rG/?)

[2.1.2]指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

(4)指數(shù)函數(shù)

函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)

定義函數(shù)y=a'(a>0且ax1)叫做指數(shù)函數(shù)

a>10<a<\

J[2

(0,1)

一

圖象

^1

%X

定義域R

值域(0,+co)

過定點(diǎn)圖象過定點(diǎn)(0,1),即當(dāng)x=()時(shí)，y=l.

奇偶性非奇非偶

單調(diào)性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)

ax>1(x>0)a'<1(x>0)

函數(shù)值的

ax=1(x=0)優(yōu)=1(x=0)

變化情況

ax<1(x<0)ax>\(x<0)

。變化對圖象的影響在第一象限內(nèi)，。越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，。越大圖象越低.

K2.22對數(shù)函數(shù)

［2.2.1］對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算

(1)對數(shù)的定義

①若"=N(a>0,且“71),則尤叫做以。為底N的對數(shù)，記作x=log“N,其中。叫做底數(shù)，N叫做真數(shù).

②負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù).

③對數(shù)式與指數(shù)式的互化：x=log“Noa，=N(a>O,a羊l,N>0).

(2)幾個(gè)重要的對數(shù)恒等式

h

logal=0,loga?=l,\ogaa=b.

(3)常用對數(shù)與自然對數(shù)

常用對數(shù)：IgN,即logioN；自然對數(shù)：InN,B|Jlog<_N(其中e=2.71828…).

(4)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果。>0,aHl,M>0,N>0,那么

M

①加法：log“M+log"N=loga(MN)②減法：k>g“M-log〃N=log“一

N

③數(shù)乘：〃log“M=log"M"(〃eR)④4N=N

⑤log-Ar=ClogaMSwO,〃wR)⑥換底公式：log“N=g^"S〉0W"l)

"blog"a

(2.2.2］對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

(5)對數(shù)函數(shù)

函數(shù)

對數(shù)函數(shù)

名稱

定義函數(shù)y=log?>0且ar1)叫做對數(shù)函數(shù)

圖象a>l0<。<1

X=1Ix=1

y=logaXyy=iog?*

廠(1,0)

1L(1,0)x0

1V7

定義域(0,+8)

值域R

過定點(diǎn)圖象過定點(diǎn)(1,0),即當(dāng)x=l時(shí)，y=0.

奇偶性非奇非偶

單調(diào)性在(0,+8)上是增函數(shù)在(0,+8)上是減函數(shù)

logflx>0(x>l)log(,x<0(x>l)

函數(shù)值的

lognx=0(x=l)log(,x=0(x=l)

變化情況

log“x<0(0<x<1)log“x>0(0<x<1)

。變化對圖象的影響在第一象限內(nèi)，。越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，a越大圖象越靠高.

⑹反函數(shù)的概念

設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)锳,值域?yàn)镃,從式子y=/(x)中解出X,得式子x=°(y).如果對于y在

C中的任何一個(gè)值，通過式子x=<p(y),x在A中都有唯一確定的值和它對應(yīng)，那么式子x=°(y)表示x是y

的函數(shù)，函數(shù)x=°(y)叫做函數(shù)y=/(x)的反函數(shù)，記作x=/T(y),習(xí)慣上改寫成y=.

(7)反函數(shù)的求法

①確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；②從原函數(shù)式y(tǒng)=/(x)中反解出x=/T(y)；

③將x=f-'(y)改寫成y=f-'(x),并注明反函數(shù)的定義域.

(8)反函數(shù)的性質(zhì)

①原函數(shù)y=f(x)與反函數(shù)y=/T(X)的圖象關(guān)于直線y=x對稱.

②函數(shù)y=/(x)的定義域、值域分別是其反函數(shù)y=/T(x)的值域、定義域.

③若P(a,b)在原函數(shù)y=/(x)的圖象上，則P\b,a)在反函數(shù)y=f-\x)的圖象上.

④一般地，函數(shù)y=/(x)要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù).

K2.33嘉函數(shù)

(1)幕函數(shù)的定義

一般地，函數(shù)＞叫做事函數(shù)，其中x為自變量，a是常數(shù).

(2)幕函數(shù)的圖象

(3)基函數(shù)的性質(zhì)

①圖象分布：基函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象.基函數(shù)是偶函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、二

象限(圖象關(guān)于y軸對稱)；是奇函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、三象限(圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱)；是非奇非偶函數(shù)時(shí)，圖

象只分布在第一象限.

②過定點(diǎn)：所有的幕函數(shù)在(0,+8)都有定義，并且圖象都通過點(diǎn)(1,1).

③單調(diào)性：如果。〉0,則基函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，并且在［0,+o。)上為增函數(shù).如果。<0,則基函數(shù)的圖象在

(0,+8)上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無限接近x軸與y軸.

④奇偶性：當(dāng)a為奇數(shù)時(shí)，幕函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)a為偶數(shù)時(shí)，幕函數(shù)為偶函數(shù).當(dāng)(其中g(shù)互質(zhì)，p

P

￡里

和geZ),若p為奇數(shù)q為奇數(shù)時(shí)，則y=x0是奇函數(shù)，若p為奇數(shù)q為偶數(shù)時(shí)，則y=x,是偶函數(shù)，若p為

偶數(shù)q為奇數(shù)時(shí)，則y=x0是非奇非偶函數(shù).

⑤圖象特征：募函數(shù)y=無e(0,+8),當(dāng)a>l時(shí)，若0<x<l,其圖象在直線y=x下方，若無>1,其圖

象在直線y=x上方，當(dāng)a<l時(shí)，若0<x<l,其圖象在直線y=x上方，若無>1,其圖象在直線y=x下方.

［補(bǔ)充知識］二次函數(shù)

(1)二次函數(shù)解析式的三種形式

①一般式：/(x)=ax2+6x+c(aH0)②頂點(diǎn)式：/(尤)=a(x-/?)2+女(。。0)③兩根式：

f(x)=a(x-x})(x-x2)(a0)(2)求二次函數(shù)解析式的方法

①已知三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，宜用一般式.

②已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或與對稱軸有關(guān)或與最大(小)值有關(guān)時(shí)，常使用頂點(diǎn)式.

③若已知拋物線與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且橫線坐標(biāo)已知時(shí)，選用兩根式求/(X)更方便.

(3)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)

①二次函數(shù)/(x)=ox2+bx+c(aw0)的圖象是一條拋物線，對稱軸方程為x=——，頂點(diǎn)坐標(biāo)是

2a

h4ac-b2

,---:----)-

2a4。

②當(dāng)〃>0時(shí)'拋物線開口向上，函數(shù)在(一8,上遞減，在［一~^,+8)上遞增，當(dāng)工=--■時(shí)，

2a2a2a

4uc—b2bhb

fmin(x)=———；當(dāng)。<°時(shí)，拋物線開口向下，函數(shù)在(-00,一一］上遞增，在［一一,+00)上遞減，當(dāng)X=-一

4。2a2a2a

4-ac-b1

時(shí)，/max(X)=

4a

③二次函數(shù)f(x)-ax2+bx+c(a^0)當(dāng)△=￡一4°。>()時(shí)，圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)

M（百,0）,%（孫O）,I以必|=|百-%|=

|a|

(4)一元二次方程4比2+云+，=0(<7/0)根的分布

一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容，這部分知識在初中代數(shù)中雖有所涉及，但尚不夠系統(tǒng)

和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理(韋達(dá)定理)的運(yùn)用，下面結(jié)合二次

函數(shù)圖象的性質(zhì)，系統(tǒng)地來分析一元二次方程實(shí)根的分布.

設(shè)一元二次方程0%2+法+。=0(。中0)的兩實(shí)根為工］,%2，且占4々.4"f(x)=ax2+bx+c,從以下四個(gè)

方面來分析此類問題：①開口方向：a②對稱軸位置：x=~—③判別式：A④端點(diǎn)函數(shù)值符號.

2a

②xWxz<k<=>

⑤有且僅有一個(gè)根M（或M）滿足（或X2）〈k。/&）/仇）＜0,并同時(shí)考慮/（6=0或/優(yōu)）=0

這兩種情況是否也符合

?kt<xt<k2^pi<x2<pi<=>

此結(jié)論可直接由⑤推出.

(5)二次函數(shù)/(x)=aV+bx+c(a#O)在閉區(qū)間［p,q］上的最值

設(shè)/(x)在區(qū)間［p,g］上的最大值為M,最小值為〃?，令/=；(〃+4).

(I)當(dāng)a〉0時(shí)(開口向上)

hhb

①若----<p,則加=/(p)②若〃K----<q,則m=/(----)③若---->q,則加=/(<?)

(II)當(dāng)。＜0時(shí)(開口向下)

bhbb

①若———<〃，則"=/(，)②若——<q,則M=/(—一)③若---->q，則Af=f(q)

2a2a2a2a

第三章函數(shù)的應(yīng)用

一、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)

1、函數(shù)零點(diǎn)的概念:對于函數(shù)y=f(x)(xeD),把使/(x)=0成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=/(x)(xeD)

的零點(diǎn)。

2、函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn)就是方程/(x)=0實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸

交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。即：

方程/(?=0有實(shí)數(shù)根o函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)o函數(shù)y=/(x)有零點(diǎn).

3、函數(shù)零點(diǎn)的求法：

求函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn)：

①(代數(shù)法)求方程/(x)=0的實(shí)數(shù)根；

(2)(幾何法)對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)y=/(x)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的

性質(zhì)找出零點(diǎn).

4、二次函數(shù)的零點(diǎn)：

二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a豐0).

1)△>0,方程aV+灰+c=o有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與1軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)

零點(diǎn).

2)△=(),方程a?+bx+c=O有兩相等實(shí)根(二重根)，二次函數(shù)的圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次

函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn).

3)△<0,方程依2+法+。=0無實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與％軸無交點(diǎn)，二次函數(shù)無零點(diǎn).

高中數(shù)學(xué)必修2知識點(diǎn)

第一章空間幾何體

1.1柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征

(1)棱柱：定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這

些面所圍成的幾何體。

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱柱A8CDE-A力。力￡或用對角線的端點(diǎn)字母，如五棱柱AZ>

幾何特征：兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的

截面是與底面全等的多邊形。

(2)棱錐

定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱錐尸-AgC'D'E'

幾何特征：側(cè)面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的

平方。

(3)棱臺：定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱臺P—AEC'DZ'

幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)

(4)圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)，其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征：①底面是全等的圓；②母線與軸平行；③軸與底面圓的半徑垂直；④側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形。

(5)圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征：①底面是一個(gè)圓；②母線交于圓錐的頂點(diǎn)；③側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形。

(6)圓臺：定義：用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分

幾何特征：①上下底面是兩個(gè)圓；②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn)；③側(cè)面展開圖是一個(gè)弓形。

(7)球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體

幾何特征：①球的截面是圓；②球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。

1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖

1三視圖：

正視圖：從前往后側(cè)視圖：從左往右俯視圖：從上往下

2畫三視圖的原則：

長對齊、高對齊、寬相等

3直觀圖：斜二測畫法

4斜二測畫法的步驟：

(1).平行于坐標(biāo)軸的線依然平行于坐標(biāo)軸；

(2).平行于y軸的線長度變半，平行于x,z軸的線長度不變；

(3).畫法要寫好。

5用斜二測畫法畫出長方體的步驟：(1)畫軸(2)畫底面(3)畫側(cè)棱(4)成圖

1.3空間幾何體的表面積與體積

(-)空間幾何體的表面積

1棱柱、棱錐的表面積：各個(gè)面面積之和

2圓柱的表面積5=2勿7+2"23圓錐的表面積5=勿/+勿二

4圓臺的表面積S="/+"2+成/+成25球的表面積S=4成2

(-)空間幾何體的體積

2錐體的體積丫=；5底'/?

I柱體的體積V=S底*〃

3臺體的體積3=；(5卜+)5卜5下+S下)x〃4球體的體積

第二章直線與平面的位置關(guān)系

2.1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

2.1.1

1平面含義：平面是無限延展的

2平面的畫法及表示

(1)平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個(gè)平行四邊形，銳角畫成45°,且橫邊畫成鄰邊的2倍長(如圖)

(2)平面通常用希臘字母a、8、丫等表示，如平面a、平面B等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個(gè)頂

點(diǎn)或者相對的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫字母來表示，如平面AC、平面ABCD等。

3三個(gè)公理：

(1)公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直