協方差演示文稿目前一頁\總數二十九頁\編于十二點優選協方差目前二頁\總數二十九頁\編于十二點除了期望和方差，還可得到各種數字特征:其中

k是正整數.目前三頁\總數二十九頁\編于十二點

對于多維隨機變量，反映分量之間關系的數字特征中，最重要的，就是本講要討論的協方差和相關系數目前四頁\總數二十九頁\編于十二點

任意兩個隨機變量X和Y的協方差,記為Cov(X,Y),定義為⑶Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)⑴Cov(X,Y)=Cov(Y,X)一、協方差2.簡單性質⑵Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)a,b是常數Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}1.定義目前五頁\總數二十九頁\編于十二點

Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

可見，若X與Y獨立，Cov(X,Y)=0.3.計算協方差的一個簡單公式由協方差的定義及期望的性質，可得Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)即目前六頁\總數二十九頁\編于十二點若X1,X2,…,Xn兩兩獨立,，上式化為D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)4.隨機變量和的方差與協方差的關系目前七頁\總數二十九頁\編于十二點【例3】設(X,Y)具有概率密度求Cov(X,Y).【例4】已知三個隨機變量X,Y,Z中,E(X)=E(Y)=1,E(Z)=-1,D(X)=D(Y)=D(Z)=1,

求E(X+Y+Z),D(X+Y+Z).目前八頁\總數二十九頁\編于十二點

協方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互間的關系，但它還受X與Y本身度量單位的影響.例如：Cov(kX,kY)=k2Cov(X,Y)為了克服這一缺點，對協方差進行標準化，這就引入了相關系數.目前九頁\總數二十九頁\編于十二點二、相關系數為隨機變量X和Y的相關系數.定義:設D(X)>0,D(Y)>0,稱在不致引起混淆時，記

為.目前十頁\總數二十九頁\編于十二點相關系數的性質：證:由方差的性質和協方差的定義知,對任意實數b,有0≤D(Y-bX)=b2D(X)+D(Y)-2b

Cov(X,Y)令，則上式為

D(Y-bX)=

由于方差D(Y)是正的,故必有1-≥0,所以||≤1。目前十一頁\總數二十九頁\編于十二點2.X和Y獨立時，

=0，但其逆不真.由于當X和Y獨立時，Cov(X,Y)=0.故=0但由并不一定能推出X和Y獨立.請看下例.目前十二頁\總數二十九頁\編于十二點例1

設X服從(-1/2,1/2)內的均勻分布,而Y=cosX,（請課下自行驗證）因而=0，即X和Y不相關.但Y與X有嚴格的函數關系，即X和Y不獨立.不難求得，Cov(X,Y)=0，目前十三頁\總數二十九頁\編于十二點存在常數a,b(b≠0），使P{Y=a+bX}=1，即X和Y以概率1線性相關.目前十四頁\總數二十九頁\編于十二點考慮以X的線性函數a+bX來近似表示Y，以均方誤差e=E{[Y-(a+bX)]2}來衡量以a+bX近似表示Y的好壞程度,e值越小表示a+bX與Y的近似程度越好.

用微積分中求極值的方法，求出使e

達到最小時的a,b.相關系數刻劃了X和Y間“線性相關”的程度.目前十五頁\總數二十九頁\編于十二點=E(Y2)+b2E(X2)+a2-2bE(XY)+2abE(X)-2aE(Y)e=E{[Y-(a+bX)]2}解得這樣求出的最佳逼近為L(X)=a0+b0X目前十六頁\總數二十九頁\編于十二點

這樣求出的最佳逼近為L(X)=a0+b0X這一逼近的剩余是若

=0，Y與X無線性關系;Y與X有嚴格線性關系;若可見,若0<|

|<1,|

|的值越接近于1,Y與X的線性相關程度越高;|

|的值越接近于0,Y與X的線性相關程度越弱.E[(Y-L(X))2]=D(Y)(1-

)目前十七頁\總數二十九頁\編于十二點稍事休息目前十八頁\總數二十九頁\編于十二點但對下述情形，獨立與不相關等價若(X,Y)服從二維正態分布，則X與Y獨立X與Y不相關前面，我們已經看到：若X與Y獨立，則X與Y不相關，但由X與Y不相關，不一定能推出X與Y獨立.目前十九頁\總數二十九頁\編于十二點其中均為常數,且（X,Y）～N()目前二十頁\總數二十九頁\編于十二點矩、協方差矩陣在數學期望一講中，我們已經介紹了矩和中心矩的概念.這里再給出混合矩、混合中心矩的概念.目前二十一頁\總數二十九頁\編于十二點協方差Cov(X,Y)是X和Y的二階混合中心矩.稱它為X和Y的k+L階混合（原點）矩.若存在，稱它為X和Y的k+L階混合中心矩.設X和Y是隨機變量，若k,L=1,2,…存在，可見，目前二十二頁\總數二十九頁\編于十二點協方差矩陣的定義

將二維隨機變量（X1,X2）的四個二階中心矩排成矩陣的形式:稱此矩陣為（X1,X2）的協方差矩陣.這是一個對稱矩陣目前二十三頁\總數二十九頁\編于十二點類似定義n維隨機變量(X1,X2,…,Xn)的協方差矩陣.下面給出n元正態分布的概率密度的定義.為(X1,X2,…,Xn)的協方差矩陣稱矩陣都存在,i,j=1,2,…,n若目前二十四頁\總數二十九頁\編于十二點f(x1,x2,…,xn)則稱X服從n元正態分布.其中C是(X1,X2,…,Xn)的協方差矩陣.|C|是它的行列式，表示C的逆矩陣，X和是n維列向量，表示X的轉置.

設=(X1,X2,…,Xn)是一個n維隨機向量,若它的概率密度為目前二十五頁\總數二十九頁\編于十二點n元正態分布的幾條重要性質1.X=(X1,X2,…,Xn)服從n元正態分布a1X1+a2

X2+…+anXn均服從正態分布.對一切不全為0的實數a1,a2,…,an，目前二十六頁\總數二十九頁\編于十二點n元正態分布的幾條重要性質2.若

X=(X1,X2,…,Xn)服從n元正態分布，

Y1,Y2,…，Yk是Xj（j=1,2,…,n）的線性函數，則(Y1,Y2,…，Yk)也服從多元正態分布.這一性質稱為正態變量的線性變換不變性.目前二十七頁\總數二十九頁\編于十二點n元正態分布的幾條重要性質

3.設(X1,X2,…,Xn)服從n元正態分布，則“X1,X2,…,Xn相互獨立”等價于“X1,X2,…,Xn兩兩不相關”目前二十八頁\總數二十九頁\編于十二點例2

設隨機變量X和Y相互獨立且X~N(1,2),Y~N(0,1).試求Z=2X-Y+3的概率密度.

故X和Y的聯合分布為正態分布，