華師大版九年級數學上冊全冊教案

第22章一元二次方程

22.1一元二次方程

【知識與技能】

1.知道一元二次方程的意義，能熟練地把一元二次方程整

理成一般形式ax2+bx+c=0(a#).

2.在分析、揭示實際問題的數量關系并把實際問題轉化為

數學模型(一元二次方程)的過程中，使學生感受方程是刻畫

現實世界數量關系的工具，增加對一元二次方程的感性認識.

【過程與方法】

通過解決實際問題，把實際問題轉化為數學模型，引入一

元二次方程的概念，讓學生認識一元二次方程及其相關概念，

提高學生利用方程思想解決實際問題的能力.

【情感態度】

通過生活學習數學，并用數學解決生活中的問題來激發學

生的學習熱情.

【教學重點】

判定一個數是否是方程的根.

【教學難點】

由實際問題列出的一元二次方程解出根后，還要考慮這些

根是否確定是實際問題的根.

一、情境導入，初步認識

問題1綠苑小區住宅設計，準備在每兩幢樓房之間，開辟

面積為900平方米的一塊長方形綠地，并且長比寬多10米，

那么綠地的長和寬各為多少？

【分析】設長方形綠地的寬為x米，不難列出方程x

(x+10)=900,整理可得x2+10x整00=0.(1)

問題2學校圖書館去年年底有圖書5萬冊，預計到明年年

底增加到7.2萬冊.求這兩年的年平均增長率.

解：設這兩年的年平均增長率為x,我們知道，去年年底

的圖書數是5萬冊，則今年年底的圖書數是5(1+x)萬冊，

同樣，明年年底的圖書數又是今年年底的(l+x)倍，即5

(1+x)-(l+x)=5(l+x)萬冊.可列得方程5(l+x)2=7.2,

整理可得5x2+10x22=0(2)

【教學說明】教師引導學生列出方程，解決問題.

二、思考探究，獲取新知

思考、討論

問題1和問題2分別歸結為解方程（1）和（2）.顯然，

這兩個方程都不是一元二次方程.那么這兩個方程與一元二次

方程的區別在哪里？它們有什么共同特點呢？

共同特點：

（1）都是整式方程

（2）只含有一個未知數

（3）未知數的最高次數是2

【歸納總結】上述兩個整式方程中都只含有一個未知數，

并且未知數的最高次數是2,這樣的方程叫做一元二次方程.通

常可寫成如下的一般形式：

2

ax2+bx+c=0（a、b、c是已知數,a#）.其中ax2叫做二次

項，a叫做二次項系數，bx叫做一次項系數，c叫做常數項.

例1判斷下列方程是否為一元二次方程：

解：①是；②不是；③是；④不是；⑤不是；⑥是.

【教學說明】（1）一元二次方程為整式方程；（2）類似

⑤這樣的方程要化簡后才能判斷.

例2將方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一

般形式，并寫出其中的二次項系數.一次項系數及常數項.

解:2x2J3x+ll=0；2,-13,11.

【教學說明】將一元二次方程化成一般形式時，通常要將

首項化負為正，化分為整.

三、運用新知，深化理解

1.將下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中

的二次項系數、一次項系數及常數項.

(1)5x2-l=4x

(2)4x=81

(3)4x(x+2)=25

(4)(3x-2)(x+1)=8x-3

解：(1)5x2-4x-l=0；5,-4,-1；

(2)4x2-81=0；4,,-81

2

(3)4x2+8x-25=0；4,8,-25

(4)3x2-7x+l=0；3,-7,1.

2.根據下列問題，列出關于x的方程，并將其化成一元二

次方程的一般形式.

(1)4個完全相同的正方形的面積之和是25,求正方形

的邊長X；

(2)一個長方形的長比寬多2,面積是100,求長方形的

長x；

(3)把長為1的木條分成兩段，使較短一段的長與全長

的積，等于較長一段的長的平方，求較短一段的長x.

解：(1)4x2=25；4x2-25=0；

(2)x(x-2)=100；x2-2x-100=0；

(3)x=(1-x)2；x2-3x+l=0.

3.若x=2是方程ax2+4x-5=0的一個根，求a的值.

解:,八二？是方程ax2+4x-5=0的一個根.

4a+8-5=0解得：a=-

3

4

四、師生互動，課堂小結

1.只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式

方程，叫做一元二次方程.

2.一元二次方程的一般形式為ax2+bx+c=0(a聲)，一元

二次方程的項及系數都是根據一般式定義的，這與多項式中的

項、次數及其系數的定義是一致的.

3.在實際問題轉化為數學模型(一元二次方程)的過程中,

體會學習一元二次方程的必要性和重要性.

1.布置作業：從教材相應練習和“習題22.1”中選取.

2.完成練習冊中本課時練習的“課時作業”部分.

22.2一元二次方程的解法

1.直接開平方法和因式分解法

【知識與技能】

1.會用直接開平方法解形如a(x-k)2=b(a#O,ab>)的方程.

2.靈活應用因式分解法解一元二次方程.

3.使學生了解轉化的思想在解方程中的應用.

【過程與方法】

創設學生熟悉的問題情境，綜合運用探究式、啟發式、活

動式等幾種方法進行教學.

【情感態度】

鼓勵學生積極主動的參與“教''與"學”的整個過程，激發求

知的欲望，體驗求知的成功，增強學習的興趣和自信心.

【教學重點】

利用直接開平方法和因式分解法解一元二次方程.

【教學難點】

合理選擇直接開平方法和因式分解法較熟練地解一元二次

方程.

一、情境導入，初步認識

問：怎樣解方程(x+l)2=256?

解：方法1：直接開平方，得x+1=±16

所以原方程的解是x

1

=15,x

2

=-17

方法2：原方程可變形為：

(x+1)2-256=0,方程左邊分解因式，得(x+1+16)

(x+1-16)=0

即(x+17)(x-15)=0

所以x+17=0或x-15=0

原方程的解x

1

二15,x

2

=-17

【教學說明】讓學生說出作業中的解法，教師板書.

二、思考探究，獲取新知

例1用直接開平方法解下列方程

(1)(3x+l)2=7;(2)y2+2y+l=24;(3)9n2-

24n+16=ll.

【教學說明】運用開平方法解形如(x+m)2=n(n>)的

方程時，最容易出現的錯誤是漏掉負根.

例2用因式分解法解下列方程：

(1)5x2-4x=0

(2)3x(2x+l)=4x+2

(3)(x+5)2=3x+15

【教學說明】解這里的(2)(3)題時，注意整體劃歸的

思想.

三、運用新知，深化理解

1.用直接開平方法解下列方程

(1)3(x-1)2-6=0

(2)x2-4x+4=5

(3)(x+5)2=25

(4)x2+2x+l=4

2.用因式分解法解下列方程：

3.把小圓形場地的半徑增加5m得到大圓形場地，場地面

積增加了一倍，求小圓形場地的半徑.

解：設小圓形場地的半徑為xm.

則可列方程27ix2=7i(x+5)2.

解得x

1

=5+52,x

2

=5-52(舍去).

答：小圓形場地的半徑為(5+52)m.

【教學說明】可由學生自主完成例題，分小組展示結果，

教師點評.

四、師生互動，課堂小結

1.引導學生回憶用直接開平方法和因式分解法解一元二次

方程的一般步驟.

2.對于形如a(x-k)2=b(a^O,b>)的方程,只要把(x-k)

看作一個整體，就可轉化為x2=n(n>)的形式用直接開平方

法解.

3.當方程出現相同因式(單項式或多項式)時，切不可約

去相同因式，而應用因式分解法解.

1.布置作業：從教材相應練習和“習題22.2”中選取.

2.完成練習冊中本課時練習的“課時作業”部分.

2.配方法

【知識與技能】

1.使學生掌握配方法的推導過程，熟練地用配方法解一元

二次方程.

2.在配方法的應用過程中體會“轉化”的思想，掌握一些轉

化的技能.

【過程與方法】

通過探索配方法的過程，讓學生體會轉化的數學思想方法.

【情感態度】

學生在獨立思考和合作探究中感受成功的喜悅，并體驗數

學的價值，增加學生學習數學的興趣.

【教學重點】

使學生掌握用配方法解一元二次方程.

【教學難點】

發現并理解配方的方法.

一、情境導入，初步認識

問題要使一塊矩形場地的長比寬多6m,并且面積為

16m2,場地的長和寬分別是多少？

設場地的寬為xm,則長為(x+6)m,根據矩形面積為

16m2,得到方程x(x+6)=16,整理得到x2+6x-16=0.

【教學說明】創設實際問題情境，讓學生感受到生活中處

處有數學，激發學生的主動性和求知欲.

二、思考探究，獲取新知

探究如何解方程x2+6x-l6=0?

問題1通過上節課的學習，我們現在會解什么樣的一元二

次方程？舉例說明.

【教學說明】用問題喚起學生的回憶，明確我們現在會解

的一元二次方程的特點：等號左邊是一個完全平方式，右邊是

一個非負常數，即(x+m)2=n(n>),運用直接開平方法可

求解.

問題2你會用直接開平方法解下列方程嗎？

(1)(x+3)2=25

(2)x2+6x+9=25

(3)x2+6x=16

(4)x2+6x-16=0

【教學說明】教師啟發學生逆向思考問題的思維方式，將

x2+6x-16=0轉化為(x+3)2=25的形式，從而求得方程的解.

解：移項得：x2+6x=16,

兩邊都加上9即(

x2+6x+9=16+9,

左邊寫成完全平方形式，得：

(x+3)2=25,開平方，得：x+3=±5,(降次)

即x+3=5或x+3=-5

解一次方程得：x

1

=2,x

2

=-8.

【歸納總結】將方程左邊配成一個含有未知數的完全平方

式，右邊是一個非負常數，從而可以直接開平方求解，這種解

一元二次方程的方法叫做配方法.

例1填空：

(1)x2+8x+16=(x+4)2

(2)x2-x+

11

=(x-)2

42

6

2)，使左邊配成x2+bx+(b2)2的形式，得:

2

(3)4x2+4x+l=(2x+l)2

例2列方程：

(1)x2+6x+5=0(2)2x2+6x+2=0(3)(1+x)2+2

(1+x)-4=0

【教學說明】教師可讓學生自主完成例題，小組展示，教

師點評歸納.

【歸納總結】利用配方法解方程應該遵循的步驟：

(1)把方程化為一般形式ax2+bx+c=0；

(2)把常數項移到方程的右邊；

(3)方程兩邊同時除以二次項系數a；

(4)方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方；

(5)此時方程的左邊是一個完全平方形式，然后利用直

接開平方法來解.

三、運用新知，深化理解

1.用配方法解下列方程：

(1)2x2-4x-8=0

(2)x2-4x+2=0

(3)x2-

1

x-l=O

2

2.如果x2-4x+y2+6y+z2+13=0,求(xy)z的值.

【教學說明】學生獨立解答，小組內交流，上臺展示并講

解思路.

四、師生互動，課堂小結

1.用配方法解一元二次方程的步驟.

2.用配方法解一元二次方程的注意事項.

1.布置作業：從教材相應練習和“習題22.2”中選取.

2.完成練習冊中課時練習的“課時作業”部分.

3.公式法

【知識與技能】

1.理解一元二次方程求根公式的推導過程，了解公式法的

概念.

2.會熟練應用公式法解一元二次方程.

【過程與方法】

通過復習配方法解一元二次方程，引導學生推導出求根公

式，使學生進一步認識特殊與一般的關系.

【情感態度】

經歷探索求根公式的過程，培養學生抽象思維能力，滲透

辯證唯物主義觀點.

【教學重點】

求根公式的推導和公式法的應用.

【教學難點】

一元二次方程求根公式的推導.

一、情境導入，初步認識

用配方法解方程：(1)x2+3x+2=0(2)2x2-3x+5=0

解：(1)x

1

=1,X

2

—2(2)無解

二、思考探究，獲取新知

如果這個一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a?),

你能否用上面配方法的步驟求出它們的兩根？

問題已知ax2+bx+c=0(aW),試推導它的兩個根

【分析】因為前面具體數字的題目已做得很多，現在不妨

把a,b,c也當成具體數字，根據上面的解題步驟就可以推導下

去.

探究一元二次方程ax2+bx+c=0（a聲）的根由方程的系數

a,b,c而定，因此：

（1）解一元二次方程時，可以先將方程化為一般形式

ax2+bx+c=0,當b2-

bb24ac

4acN時，將a,b,c代入式子x就得到方程的根，當b2-4ac

<

2a

時，方程沒有實數根.

bb24ac

（2）x叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a聲）的求根公

2a

式.

（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.

【教學說明】教師可以引導學生利用配方法推出求根公式,

體驗獲取知識的過程，體會成功的喜悅，可讓學生小組展示.

例1用公式法解下列方程:

①2x2-4x-1=0②5x+2=3x2

③(x-2)(3x-5)=0④4x2-3x+l=0

66

,x

2

二1-

22

解：①x

1

=1+

1

②x

1

=2,x

2

3

5

③x

1

=2,x

2

3

④無解

【教學說明】(1)對②、③要先化成一般形式；(2)強

調確定a,b,c的值，注意它們的符號；(3)先計算b2-4ac的

值，再代入公式.

三、運用新知，深化理解

1.用公式法解下列方程：

(1)x2+x-12=0

2(2)x-2x-

1

二0

4

(3)x2+4x+8=2x+ll

(4)x(x-4)=2-8x

(5)x2+2x=0

(6)x2+25x+10=0

解：(1)x

1

=3,x

2

=-4;

2323

,x

2

二?

22

(2)x

1

(3)x

1

=l,x

2

二3;

(4)x

1

=-2+6,x

2

=-2-6；

(5)x

1

=0,x

2

二2

(6)無解.

【教學說明】用公式法解方程關鍵是要先將方程化為一般

形式.

四、師生互動，課堂小結

1.求根公式的概念及其推導過程.

2.公式法的概念.

3.應用公式法解一元二次方程.

1.布置作業：從教材相應練習和“習題22.2”中選取.

2.完成練習冊中本課時練習的“課時作業”部分.

4.一元二次方程根的判別式

【知識與技能】

1.能運用根的判別式，判斷方程根的情況和進行有關的推

理論證；

2.會運用根的判別式求一元二次方程中字母系數的取值范

圍.

【過程與方法】

1.經歷一元二次方程根的判別式的產生過程；

2.向學生滲透分類討論的數學思想；

3.培養學生的邏輯思維能力以及推理論證能力.

【情感態度】

1.體驗數學的簡潔美；

2.培養學生的探索、創新精神和協作精神.

【教學重點】

根的判別式的正確理解與運用.

【教學難點】

含字母系數的一元二次方程根的判別式的應用.

一、情境導入，初步認識

用公式法解下列一元二次方程

(1)x2+5x+6=0

(2)9x2-6x+l=0

(3)x2-2x+3=0

解：(1)X

1

=-2,x

2

=-3

1

(2)x

1

二x

2

3

(3)無解

【教學說明】讓學生親身感知一元二次方程根的情況，回

顧已有知識.

二、思考探究，獲取新知

觀察解題過程，可以發現:在把系數代入求根公式之前，

需先確定a,b,c的值，然后求出b2-4ac的值，它能決定方程是

否有解，我們把b2-4ac叫做一元二次方程根的判別式，通常

用符號“△”來表示，即A=b2-4ac.

我們回顧一元二次方程求根公式的推導過程發現：

【歸納結論】(1)當△＞時，方程有兩個不相等的實數

根：

bb24acbb24ac

x

1

,x

2

2a2a

(2)當A=0時，方程有兩個相等的實數根,x

1

=x

2

(3)當A〈時，方程沒有實數根.

例1利用根的判別式判定下列方程的根的情況:

b

2a

解：(1)有兩個不相等的實數根；

(2)有兩個相等的實數根；

(3)無實數根；

(4)有兩個不相等的實數根.

例2當m為何值時，方程(m+1)x2-(2m-3)x+m+l=O,

(1)有兩個不相等的實數根？

(2)有兩個相等的實數根？

(3)沒有實數根？

解：(1)m<

1

且m^-1;

4

(2)m=

4

1

4

(3)m>

【教學說明】注意(1)中的m+屏這一條件.

三、運用新知，深化理解

1.方程x2-4x+4=0的根的情況是()

A.有兩個不相等的實數根

B.有兩個相等的實數根

C.有一個實數根

D.沒有實數根

2.已知x2+2x=m-l沒有實數根，求證：x2+mx=l-2m必有

兩個不相等的實數根.

【答案】1.B

2.證明:Vx2+2x-m+l=0沒有實數根，4-4(1-m)<

0,.'.mV0.對于方程x2+mx=l-2m,即x2+mx+2m-1=0,A=m2-

8m+4,*/m<0,/.A>0,/.x2+mx=1-2m必有兩個不相等的實數

根.

【教學說明】引導學生靈活運用知識.

四、師生互動，課堂小結

1.用判別式判定一元二次方程根的情況

(1)△〉時，一元二次方程有兩個不相等的實數根；

(2)△=()時，一元二次方程有兩個相等的實數根.

(3)時，一元二次方程無實數根.

2.運用根的判別式解決具體問題時，要注意二次項系數不

為這一隱含條件.

【教學說明】可讓學生分組討論，回憶整理，再由小組代

表陳述.

1.布置作業：從教材相應練習和“習題22.2”中選取.

2.完成練習冊中本課時練習的“課時作業”部分.

*5.一元二次方程的根與系數的關系

【知識與技能】

1.引導學生在已有的一元二次方程解法的基礎上，探索出

一元二次方程根與系數的關系，及其關系的運用.

2.通過觀察、實踐、討論等活動，經歷從觀察判斷到發現

關系的過程.

【過程與方法】

通過探究一元二次方程的根與系數的關系，培養學生觀察

分析和綜合判斷的能力，激發學生發現規律的積極性，鼓勵學

生勇于探索的精神.

【情感態度】

在積極參與數學活動的同時，初步體驗發現問題，總結規

律的態度及養成質疑和獨立思考的習慣.

【教學重點】

一元二次方程根與系數之間的關系的運用.

【教學難點】

一元二次方程根與系數之間的關系的運用.

一、情境導入，初步認識

1.完成下列表格

問題你發現了什么規律？

①用語言敘述你發現的規律：（兩根之和為一次項系數的

相反數；兩根之積為常數項）

②設方程x2+px+q=0的兩根為x

1

,x

2

,用式子表示你發現的規律.（xl+x2=-p,xl?x2=q）

2.完成下列表格

問題上面發現的結論在這里成立嗎？（不成立）

請完善規律：

①用語言敘述發現的規律：（兩根之和為一次項系數與二

次項系數之比的相反數，兩根之積為常數項與二次項系數之比）

②設方程ax2+bx+c=0的兩根為x

1

,X

2

,用式子表示你發現的規律.(X

1

+X

2

=-bc

,x

1

?X

2

二)

aa

二、思考探究，獲取新知

通過以上活動你發現了什么規律？對一般的一元二次方程

ax2+bx+c=0(a#)這一規律是否成立？試通過求根公式加以

說明.

bb24acbb24acb

ax+bx+c=O的兩根x

1

,X

2

,xl+x2-,

2a2aa

2

x

1

?X

2

c

a

【教學說明】教師可引導學生根據求根公式推導出根與系

數之間的關系，體會知識形成的過程，加深對知識的理解.

例1不解方程，求下列方程的兩根之和與兩根之積：

(1)x2-6x-15=0;

(2)3x2+7x-9=0;

(3)5x-1=4x2.

解：(1)x1+x2=6,x1-x2=-15;

(2)xl+x2=-

7

,xl-x2-3；

3

(3)xl+x2=

51

,xl?x2=.

44

【教學說明】先將方程化為一般形式，找出對應的系數.

例2已知方程2x2+kx-9=0的一個根是-3,求另一根及k

的值.

解:另一根為

3

,k=3.

2

【教學說明】本題有兩種解法，一種是根據根的定義，將

x=-3代入方程先求k,再求另一個根；一種是利用根與系數的

關系解答.

例3已知a,0是方程x2-3x-5=0的兩根，不解方程，求下

列代數式的值.

三、運用新知，深化理解

1.不解方程，求下列方程的兩根之和與兩根之積：

(1)x2-3x=15

(2)5x2-1=4x2

(3)x2-3x+2=10

(4)4x2-144=0

(5)3x(x-1)=2(x-1)

(6)(2x-l)2=(3-x)2

2.兩根均為負數的一元二次方程是()

A.7x2-12x+5=0

B.6x2-13x-5=0

C.4x2+21x+5=0

D.x2+15x-8=0

【教學說明】兩根均為負數的一元二次方程根與系數的關

系滿足兩根之和為負數，兩根之積為正數.

【答案】1.(1)x

+X

2

=3,x

1

x

2

—15

(2)x

1

+x

2

=0,x

1

x

2

二-l

(3)x

1

+x

2

=3,x

1

X

2

=-8

(4)x

1

+x

2

=0,x

1

x

2

—36

52

(5)x

1

+x

2

=X

1

X

2

33

(6)x

1

+x

2

2.C

28

,x

1

X

2

33

【教學說明】可由學生自主完成搶答，教師點評.

四、師生互動，課堂小結

1.一元二次方程的根與系數的關系.

2.一元二次方程根與系數的關系成立的前提條件.

1.布置作業：從教材相應練習和“習題22.2”中選取.

2.完成練習冊中本課時練習的“課時作業”部分.

22.3實踐與探索

【知識與技能】

使學生利用一元二次方程的知識解決實際問題，學會將實

際問題轉化為數學模型來建立一元二次方程.

【過程與方法】

讓學生經歷由實際問題轉化為數學模型的過程，領悟數學

建模思想，體會如何尋找實際問題中的等量關系.

【情感態度】

通過合作交流進一步感知方程的應用價值，培養學生的創

新意識和實踐能力，通過交流互動，逐步培養合作的意識及嚴

謹的治學精神.

【教學重點】

列一元二次方程解決實際問題.

【教學難點】

尋找實際問題中的等量關系.

一、情境導入，初步認識

問題1學校生物小組有一塊長32m,寬20m的矩形試驗

田，為了管理方便，準備沿平行于兩邊的方向縱、橫各開辟一

條等寬的小道，要使種植面積為540m,小道的寬應是多少？

問題2某藥品經過兩次降價，每瓶零售價由56元降為

31.5元，已知兩次降價的百分率相同，求每次降價的百分率.

二、思考探究，獲取新知

問題1【分析】問題中的等量關系很明顯，即抓住種植面

積為540m2來列方程，設小道的寬為xm,如何來表示種植面

積？

方法一：如圖，由題意得，32x20-32x-20x+x2=540

2

方法二：如圖，采用平移的方法更簡便.

由題意可得：(20-x)(32-x)=540

解得x

1

=50,x

2

二2

由題意可得x<20,x=2

【教學說明】引導學生學會一題多解，同時要注意檢驗所

解得的結果是否符合實際意義.

問題2【分析】這是增長率問題，問題中的數量關系很明

了，即原價56元經過兩次降價降為31.5元，設每次降價的百

分率為x,由題意得

56(1-x)2=31.5

解得x

1

=0.25,x

2

=1.75(舍去)

三、運用新知，深化理解

1.青山村種的水稻2011年平均每公頃產量為7200kg,2013

年平均每公頃產量為8450kg,求水稻每公頃產量的年平均增

長率.

2.用一根長40cm的鐵絲圍成一個長方形，要求長方形的

面積為75cm2.

(1)求此長方形的寬.

(2)能圍成一個面積為101cm2的長方形嗎？如能，說

明圍法.

(3)若設圍成一個長方形的面積為S(cm2)，長方形的

寬為x(cm),求S與x的函數關系式，并求出當x為何值時,

S的值最大，最大面積為多少.

【答案】1.解：設年平均增長率為x,

則有7200(1+x)2=8450,

解得x

1

1

-0.08,

12

x

2

24

--2.08(舍去).

12

即年平均增長率為8%.

答：水稻每公頃產量的年平均增長率為8%.

2.解：(1)設此長方形的寬為xcm,則長為(20-x)cm.

根據題意，得x(20-x)=75

解得：xl=5,x2=15(舍去).

答：此長方形的寬是5cm.

(2)不能.由x(20-x)=101,即x2-20x+101=0,,知

△=202-4x101=4<,方程無解，故不能圍成一個面積為

101cm2的長方形.

(3)S=x(20-x)=-x2+20x.

由S=-x2+20x=-(x-10)2+100可知，當x=10時，S的值

最大，最大面積為100cm2.

【教學說明】注意一元二次方程根的判別式和配方法在第

2題第(2)、(3)問中的應用.

四、師生互動，課堂小結

L列一元二次方程解應用題的步驟：審、設、找、列、解、

答.最后要檢驗根是否符合實際意義.

2.用一元二次方程解決特殊圖形問題時，通常要先畫出圖

形，利用圖形的面積找相等關系列方程.

3.若平均增長(降低)率為x,增長(或降低)前的基數

是a,增長(或降低)n次后的量是b,則有：a(l±x)n=b

(常見n=2).

1.布置作業：從教材相應練習和“習題22.3”中選取.

2.完成練習冊中本課時練習的“課時作業”部分.

本章復習

【知識與技能】

掌握一元二次方程的基本概念及其解法；靈活運用一元二

次方程知識解決一些實際問題.

【過程與方法】

通過梳理本章知識，回顧解決問題中所涉及到的化歸思想、

建模思想的過程，加深對本章知識的理解.

【情感態度】

【教學重點】

一元二次方程的解法及應用.

【教學難點】

一元二次方程的應用.

一、知識框圖，整體把握

二、釋疑解惑，加深理解

1.一元二次方程的解法

【教學說明】一般考慮選擇方法的順序：直接開平方法、

因式分解法、配方法或公式法.

2.一元二次方程根的判別式A=b2-4ac

(1)當△>時，方程有兩個不相等的實數根；

(2)當A=0時，方程有兩個相等的實數根；(

3)當時，方程無實數根.

在應用時，要根據根的情況限定A的取值，同時應注意

二次項系數不為這一條件.

3.一元二次方程y=ax2+bx+c(a，)的根與系數的關系，

在應用時要注意變形.同時要明確根與系數的關系成立的兩個

條件：

(1)ar,(2)A>

4.應用一元二次方程解決實際問題，要注重分析實際問題

中的等量關系，列出方程，求出方程的解，同時要注意檢驗其

是否符合題意.

三、典例精析，復習新知

例1用適當的方法解下列方程

(1)x2-7x=0

(2)x2+12x+27=0

(3)x(x-2)+x-2=0

(4)x2+x-2=4

(5)4(x+2)2=9(2x-l)2

解：⑴x

1

=0,x

2

二7;

(2)x

1

=-3,x

2

=-9;

(3)x

1

=2,x

2

二1；

(4)x

1

=2,x

2

二3;

(5)x

1

71

,x

2

48

【教學說明】依據各種不同方法所對應方程的特點來解.

例2關于x的方程ax2-(3a+l)x+2(a+1)=0,有兩個

不相等的實數根x

1

,x

2

，且有x

1

-X

1

X

2

+X

2

=l-a,則a的值是().

A.lB.-lC.l或-1D.2

例3(2012.江蘇徐州)為了倡導節能低碳生活，某公司對

集體宿舍用電收費作如下規定：一間宿舍一個月用電量不超過

a千瓦時，則一個月的電費為20元；若超過a千瓦時，則除交

20元外，超過部分每千瓦時要交

a

元，

100某宿舍3月份用電80千瓦時，交電費35元；4月份

用電45千瓦時，交電費20元.

(1)求a的值；

(2)若該宿舍5月份交電費45元，那么該宿舍當月用電

量為多少千瓦時？

解：(1)由題意得20+(80-a)x

a=50.

(2)設5月份用電x千瓦時，依題意得20+(x-50)x

x=100,則該宿舍當月用電量為100千瓦時.

【教學說明】現實生活中存在大量的實際應用問題，需要

用一元二次方程的知識來解決，解決這類問題的關鍵是在充分

理解題意的基礎上構建方程模型.

四、復習訓練，鞏固提高.

1.方程x2-3x=0的解為()

50

=45,解得

100

a

=35,解得a

1

=30,a

2

=50,Va>45,

100

A.x=0

B.x=3

C.x

1

=0,x

2

=-3

D.x

1

=0,x

2

二3

2.(2012?河北)用配方法解方程x2+4x+l=0,配方后的方

程是()

A.(x+2)2=3B.(x-2)2=3C.(x-2)2=5D.

(x+2)2=5

3.(2012?遼寧本溪)已知一元二次方程x2-8x+15=0的兩

個根恰好分別是等腰△ABC的底邊長和腰長，則4ABC的周

長為()

A.13B.11或13C.llD.12

4.(2012?山東日照)已知關于x的一元二次方程(k-2)

2x2+(2k+l)x+l=0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍

是()

A.k<

4

且kr2

3

4

且k#2

3

3

且原2

4

3

且k，2

4

22

B.k>

C.k>

D.k>

5.設a,0是一元二次方程x+3x-7=0的兩個根，則

a+4a+0=.

6.（2012?內蒙古包頭）關于x的兩個方程x2-x-2=0與

個解相同，則a=.

7.（2012.湖北鄂州）設x

1

,X

2

是一元二次方程x2+5x-3=0的兩個根，且2x

1

（x

2

2+6x2-3）+a=4,則a=.

12

有一

xlxa

8.（2012.山東濟寧）一學校為了綠化校園環境，向某園林

公司購買了一批樹苗，園林公司規定：如果購買樹苗不超過

60棵，每棵售價120元；如果購買樹苗超過60棵，每增加1

棵，所出售的這批樹苗每棵售價均降低0.5元，但每棵樹苗最

低售價不得少于100元.該校最終向園林公司支付樹苗款8800

元，請問該校共購買了多少棵樹苗？

【答案】l.D2.A3.B4.C5.46.47.10

8.解：二飛。棵樹苗的售價為120x60=7200（元），而

7200V8800,.??該校購買的樹苗超過60棵.設該校共購買了x

棵樹苗，由題意得X[120-0.5(x-60)]=8800,解得

xl=220,x2=80,當xl=220時,120-0.5X(220-60)=40<100,

x=220不合題意,舍去；當x=80時，120-0.5X(80-60)

=110>100,，x=80,即該校共購買了80棵樹苗.

五、師生互動，課堂小結

本堂課你能完整地回顧本章所學的有關一元二次方程的知

識嗎？你還有哪些困惑與疑問？

1.布置作業：從教材本章“復習題”中選取.

2.完成練習冊中“本章熱點專題訓練”.

第23章圖形的相似

23.1成比例線段

1.成比例線段

【知識與技能】

1.了解成比例線段的意義，會判斷四條線段是否成比例.

2.會利用比例的性質，求出未知線段的長.

【過程與方法】

培養學生靈活解題及合作探究的能力.

【情感態度】

感受數學邏輯推理的魅力.

【教學重點】

成比例線段的定義;比例的基本性質及直接運用.

【教學難點】

比例的基本性質的靈活運用，探索比例的其他性質.

一、情境導入，初步認識

掛上兩張照片，問:

1.這兩個圖形有什么聯系？

它們都是平面圖形，它們的形狀相同，大小不相同，

是相似圖形.

2.這兩個圖形是相似圖形，為什么有些圖形是相似的，而

有的圖形看起來

相像又不會相似呢？相似的兩個圖形有什么主要特征

呢？為了探究相似圖形的特征，本節課先學習線段的

成比例.

二、思考探究，獲取新知

1.兩條線段的比

（1）回憶什么叫兩個數的比，怎樣度量線段的長度，

怎樣比較兩線段的大小.

如果選用同一個長度單位量得兩條線段AB、CD的長度

分別是m、n,那么就說這兩條線段的比AB：CD=m：n

或寫成ABCD=

叫做這兩個線段比的前項和后項.

如果把

mAB

表示成比值k,貝仁k或AB=k.CD.

nCD

m

,其中，線段AB、CD分別

n

注意：在量線段時要選用同一個長度單位.

(2)做一做

量出數學書的長和寬(精確到0.1cm),并求出長和寬

的比.

改用m作單位，則長為0.211m,寬為0.148叫長與寬的

比為0211：

0.148=211：148.

只要是選用同一單位測量線段，不管采用什么單位，

它們的比值不變.（3）求兩條線段的比時要注意的問

題

①兩條線段的長度必須用同一長度單位表示，如果單

位長度不同，應先化成同一單位，再求它們的比；

②兩條線段的比沒有長度單位，它與所采用的長度單

位無關；

③兩條線段的長度都是正數，所以兩條線段的比值總

是正數.

問：兩條線段長度的比與所采用的長度單位有沒有關

系？（學生討論）（答：線段的長度比與所采用的長

度單位無關）.

2.成比例線段的定義四條線段a、b、c、d中，如果其中

兩條線段的長度之

比等于另外兩條線段的長度之比，如

成比例線段，簡稱比例線段.

3.比例的基本性質兩條線段的比實際上就是兩個數的比.如

果a、b、c、d

四個數滿足

同伴交流.

如果

ac

,那么ad=bc.

bd

acac

,那么ad=bc嗎？反過來，如果說ad=bc,那么嗎？

與

bdbd

ac

,那么這四條線段a、b、c、d叫做

bd

若ad二bc(a、b、c、d都不等于)，那么

ac

bd

例1在某市城區地圖(比例尺1：9000)±,新安大街

的圖上長度與光華大街的圖上長度分別是16cm、10cm.

(1)新安大街與光華大街的實際長度各是多少米？

(2)新安大街與光華大街的圖上長度之比是多少？它

們的實際長度之比呢？

解：⑴1440米，900米.(2)8：5,8：5.

例2如圖，已知

acabcd

和;二3,求

bdbd

解：

abed

=4,=4.

bd

三、運用新知，深化理解

【教學說明】分組討論完成并展示.

四、師生互動，課堂小結

1.注意點：（1）兩線段的比值總是正數；（2）討論線段

的比時，不指明

長度單位；（3）對兩條線段的長度一定要用同一長度

單位表示.

2.比例尺：圖上長度與實際長度的比.

3.熟記成比例線段的定義.

4.掌握比例的基本性質，并能靈活運用.

1.布置作業：從教材相應練習和“習題23.1”中選取.

2.完成練習冊中本課時練習的“課時作業”部分.

2.平行線分線段成比例

【知識與技能】

了解平行線分線段成比例定理的證明，掌握定理的內

容.能應用定理證明線段成比例等問題，并會進行有關

的計算.

【過程與方法】

通過定理的推導證明與應用，培養學生探索新知識、

提高分析問題和解決問題的能力，提高學生的識圖能

力和發散思維能力，以及現有知識向新知識遷移的能

力.

【情感態度】

通過定理的學習知道認識事物的一般規律是從特殊到

一般，并能欣賞數學表達式的對稱美.

【教學重點】

定理的應用.

【教學難點】

定理的推導證明.

一、情境導入，初步認識

問題1翻開我們的作業本，每一頁都是由一些間距相

等的平行線組成的，如圖在作業本上任意畫一條直線m

與相鄰的三條平行線交于A、B、C三點，得到兩條線

段AB、BC,量一量，你發現這兩條線段的長度有什么

關系？相等即AB二BC（由學生回答）

.思考：再任意畫一條直線n與這組平行線相交，得到兩

條線段DE和EF,

你發現DE與EF的長度存在什么關系？

由此，我們可以得到

ABDF

BCEF

問題2選擇作業本上不相鄰的三條平行線，任意畫m、

n與它們相交，如果m、n這兩條直線平行，觀察并思

考這時所得的AD、DB、FE、EC這四條線段的長度有什

么關系.如果m、n這兩條直線不平行，你再觀察一下,

量一量,算一算，看看它們是否存在類似關系.

歸納：

ADFE

DBEC

兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例.

（簡稱“平行線分線段成比例”）

二、思考探究，獲取新知

思考：（1）如圖，當圖（3）中的點A與點F重合時

就形成一個三角形的特殊情況，此時，AD、DB、AE、

EC這四條線段之間會有怎樣的關系？（2）如圖，當圖

（3）中的直線n相交于第二條平行上某點時，是

否也有類似的成比例線段呢？

歸納：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊

的延長線），所得的對應線段成比例.

例1如圖，I

1

//\

2

//\

3

(1)已知AB=3,DE=2,EF=4,求BC；

(2)已知AC=8,DE=2,EF=3,求AB.

三、運用新知，深化理解

1.如圖，已知1

1

//\

2

//\

3

,下列比例式中錯誤的是()

2.如圖，已知1

1

//\

2

//\

3

,下列比例式中成立的是()

【答案】1.D2.D

【教學說明】可由學生獨立完成搶答，教師最后點撥.

四、師生互動，課堂小結

1.平行線分線段成比例定理及其推論，注意“對應”的含義.

2.研究問題的方法：從特殊到一般，類比聯想.

1.布置作業：從教材相應練習和“習題23.1”中選取.

2.完成《創優作業》中本課時練習的“課時作業”部分.

23.2相似圖形

【知識與技能】

知道相似圖形的兩個特征：對應邊成比例，對應角相

等.識別兩個多邊形是否相似的方法.

【過程與方法】

在推出相似多邊形性質時，讓學生用量角器、刻度尺

來測量，鍛煉動手能力.

【情感態度】

讓學生感受數學知識源于生活、用于生活.

【教學重點】

相似圖形的定義和性質.

【教學難點】

相似圖形的性質.

一、情境導入，初步認識

復習：

1.若線段a=6cm,b=4cm,c=3.6cm,d=2.4cm,那么線段a,b,c,d

會成比例嗎？

2.兩張相似的地圖中的對應線段有什么關系？（都成比例）

二、思考探究，獲取新知

相似的兩張地圖中的對應線段都會成比例，對于一般

的相似多邊形，這個結論是否成立呢？同學們動手量

一量，算一算，用刻度尺和量角器量一量課本第58頁

兩個相似四邊形的邊長，量一量它們的內角，由一位

同學把量得的結果寫在黑板上，其他同學把量得的結

果與同伴交流.

同學們會發現有什么關系呢？經過觀察、計算得出這

兩個相似四邊形的對應邊會成比例，對應角會相等，

再觀察課本中兩個相似的五邊形，是否也具有一樣的

結果？反映它們的邊之間、角之間的關系是什么關系?

同學們用格點圖畫相似的兩個三角形，也觀察、度量,

它們是否也具有這種關系（對應邊成比例，對應角相

等）？

由此可以得到兩個相似多邊形的特征：

（由同學回答，教師板書）對應邊成比例，對應角相

實際上這兩個特征，也是我們識別兩個多邊形是否相

似的方法.即如果兩個多邊形的對應邊成比例，對應角

相等，那么這兩個多邊形相似.

識別兩個多邊形是否相似的標準有：（邊數相同），

對應邊要（成比例），對應角要（都相等）.（括號內

要求同學填）

填一填:

(1)兩個三角形一定是相似形嗎？兩個等腰三角形呢?

兩個等邊三角形呢？兩個等腰直角三角形呢？

(2)所有的菱形都相似嗎？所有矩形呢？正方形呢？

例1矩形ABCD與矩形A，B，5D，中，

AB=1.5cm,BC=4.5cm,A'B'=0.8cm,BzC'

=2.4cm,這兩個矩形相似嗎？為什么？

例2如圖所示，四邊形ABCD與四邊形A，BzC'X相

似，求NA的度數與x的值:三、運用新知，深化理解

1.矩形ABCD與矩形ABCTX中，已知

AB=16cm,AD=10cm,A'D，=6cm,矩形ABCTX的面積為54cm2,

這兩個矩形相似嗎？為什么？2.如圖，四邊形ABCD與四邊

形A，5X是相似的，且CzDz±BZC/,根據

圖中的條件，求出未知的邊x、y及角a.

【答案】1.這兩個矩形不相似，由矩形A，B，5X

的面積為54知A7Bz=544-6=9(cm),

2.x=14,y=18,a=85°

【教學說明】教師引導學生獨立完成，讓學生演示并

講解，師生共同點評.四、師生互動，課堂小結

1.相似多邊形的性質：對應邊成比例；對應角相等.

2.相似多邊形的判定.

1.布置作業：從教材相應練習和“習題23.2”中選取.

2.完成練習冊中本課時練習的“課時作業”部分.

23.3相似三角形

1.相似三角形

【知識與技能】

1.知道相似三角形的概念；

2.能夠熟練地找出相似三角形的對應邊和對應角;

3.會根據概念判斷兩個三角形相似，能說出相似三角形的

相似比，由相似

比求出未知的邊長；

4.掌握利用“平行于三角形一邊的直線，和其它兩邊（或

兩邊的延長線）

相交所構成的三角形與原三角形相似”來判斷兩個三

角形相似.

【過程與方法】

在探索活動中，發展發現問題、解決問題的意識和合

作交流的習慣.【情感態度】

培養學生嚴謹的數學思維習慣.

【教學重點】

掌握相似三角形的定義、表示法，并能根據定義判斷

兩個三角形是否相似.【教學難點】

熟練找出對應元素，在此基礎上根據定義求線段長或

角的度數.

一、情境導入，初步認識

復習：什么是相似形？識別兩個多邊形是否相似的標

準是什么？

二、思考探究，獲取新知

1.相似三角形的有關概念：

由復習中引入，如果兩個多邊形的對應邊成比例，對

應角都相等，那么這兩個多邊形相似.

三角形是最簡單的多邊形.由此可以說什么樣的兩個三

角形相似？如果兩個三角形的三條邊都成比例，三個

角對應相等，那么這兩個三角形相似，如在4ABC與

△A，B，5中，ZA=Az,ZB=ZBz,ZC=ZC,,

ABBCAC

,那

ABBCAC

么AABC與AA，B，C'相似，記作

△ABCsZiA，B，5.是表示相似的符號，讀作

“相似于"，這樣兩個三角形相似就讀作“aABC相似

于AA，BzC'”.

由于NA=NA，,ZB=ZBz,ZC=ZCz,所以A與A7

是對應頂點，B與Bz是對應頂點，C與5是對應頂

點，書寫相似時，通常把對應頂點寫在對應位置上，

以便比較容易找到相似三角形中的對應角、對應邊.如

果記

ABBCAC

二k,

ABBCAC

那么這個比值k就表示這兩個相似三角形的相似比.相

似比就是它們的對應邊的比，它有順序關系.如

△ABCS2\A，B，J,它的相似比為k,即指

C與△ABC的相似比應是

AB

=k,那么4AB

AB

AB

,就不是k了，應為多少呢？同學們想一想.

AB

ABBCAC

二1,

ABBCAC

如果△ABCs/iA，B，C，,相似比k=1,你會發現什么

呢？

所以可得AB=A'Bz,BC=B,C',AC=A'C',因此這兩

個三角形不僅形狀相同，而且大小也相同，這樣的三

角形稱之為全等三角形，全等三角形是相似三角形的

特例.試問：①全等的兩個三角形一定相似嗎？②相似

的兩個三角形會全等嗎？

2ZABC中，D是AB上任意一點，過D作DE〃BC,交

AC邊于E,那么4ADE

與AABC是否相似？

【分析】判斷它們是否相似，由①對應角是否相等，

②對應邊是否成比例去考慮.能否得對應角相等？根據

平行線性質與一個公共角可以推出①，而對應邊是否

成比例呢？可根據平行線分線段成比例的基本事實，

推得

過度量發現

DEAD

,所以可以判斷出△ADE與△ABC相似.

BCAB

AEDE

,通

ACBC

思考（1）你能否通過演繹推理證明你的猜想？

（2）若是DE/7BC,DE與BA、CA延長線交于E、D,那

么4ADE與4ABC還會相似嗎？試試看，如果相似寫出

它們對應邊的比例式.

【歸納結論】平行于三角形一邊的直線和其他兩邊

（或兩邊的延長線）相交所構成的三角形與原三角形

相似.

例1如圖，在4ABC中，點D是邊AB的三等分點，

DE/7BC,DE=5,求BC的長.

解：'/DE/7BC,

.".△ADE^AABC,

/.DEBC=ADAB=13,

.-.BC=3DE=15.

三、運用新知，深化理解

1.如圖所示，DE/7BC.

(1)如果AD=2,DB=3,求DE：BC的值；

(2)如果AD=8,DB=12,AC=15,DE=7,求AE和BC的

長.

2.如圖，梯形ABCD中，AD〃BC,點E是邊AD的中點，

連接BE交AC于點F,BE的延長線交CD的延長線于點G.

GEAE

GBBC

(1)求證:

(2)若GE=2,BF=3,求線段EF的長.

【答案】1.(1)DE：BC=2：5

(2)AE=6,BC=

35

2

2.(1)證明：：AD〃BC,.,.△GED^AGBC,

GEED

.又?.?ED=AE,

GBBC

GEAE

GBBC

(2)設EF的長為x,則由(1)知

GEAE

5

GBBC

又二

AEGEGEEF

,?；即

BCGBGBBF

2x

，解得x

1

—6（舍去），x

2

二1,

2x33

AEF=1.

【教學說明】第2題教師適當點撥，小組討論后獨立

完成.

四、師生互動，課堂小結

你這節課學到了哪些知識？還有哪些疑問？

1.布置作業：從教材相應練習和“習題23.3”中選取.

2.完成練習冊中本課時練習的“課時作業”部分.

第2課時相似三角形的判定（2）【知識與技能】

1.掌握相似三角形的判定定理2：有兩邊對應成比例，且

夾角相等的兩個

三角形相似；

2.掌握相似三角形的判定定理

3：三條邊對應成比例的兩個三角形相似3能依據條件，

靈活應用相似三

角形的判定定理，正確判斷兩個三角形相似.

【過程與方法】

在推理過程中學會靈活使用數學方法.

【情感態度】

培養學生嚴謹的數學證明習慣和對數學的興趣.

【教學重點】

相似三角形的判定定理2、3的推導過程，掌握相似三

角形的判定定理2、

3并能靈活應用.

【教學難點】

相似三角形的判定定理的推導及應用.

一、情境導入，初步認識

復習：1.現在要判斷兩個三角形相似有哪幾種方法?

有兩種方法：（1）根據定義；（2）有兩個角對應相等

的兩個三角形相似.

11

2.如圖△ABC中，D、E是AB、AC上三等分點（即

AD=AB,AE=AC）,那么

33

AADE與AABC相似嗎？你用的是哪一種方法？

由于沒有兩個角對應相等，同學們可以動手量一量，

量什么后可以判斷它們是否相似？

【教學說明】可能有一部分同學用量角器量角，有一

部分同學量線段，看看能否成比例，無論哪一種，都

應肯定他們是正確的，要求同學說出是應用哪一種方

法判斷出的.

二、思考探究，獲取新知

同學們通過量角或量線段計算之后，得出：

△ADEs/iABC.從已知條件看，△

ADE與4ABC有一對對應角相等，即NA=NA（是公共

角），而一個條件是

11AD1AE1ADAE

AD=AB,AE=AC,即是.△ADE的兩條邊AD、，，因此

33AB3AC3ABAC

AE與AABC的兩條邊AB、AC會對應成比例，它們的

夾角又相等，符合這樣條件

的兩個三角形也會相似嗎？我們再做一次實驗.觀察教

材圖23.3.10,如果有一點E在邊AC上，那么點E應

該在什么位置才能使4ADE與AABC相似呢？

1

圖中兩個三角形的一組對應邊AD與AB的長度的比值

為，將點E由點A