8.6.3平面與平面垂直【單元目標(biāo)】課程目標(biāo)A.理解二面角的有關(guān)概念，會作二面角的平面角，能求簡單二面角平面角的大小．B.了解面面垂直的定義，掌握面面垂直的判定定理，初步學(xué)會用定理證明垂直關(guān)系．C.熟悉線線垂直、線面垂直的轉(zhuǎn)化。D.掌握平面與平面垂直的性質(zhì)定理；數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：二面角的有關(guān)概念；2.邏輯推理：用定理證明垂直關(guān)系；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：求簡單二面角平面角的大小；4.直觀想象：面面垂直的定義。【單元知識結(jié)構(gòu)框架】教學(xué)重點(diǎn)：面面垂直的判定定理；教學(xué)難點(diǎn)：求簡單二面角平面角的大小，用定理證明垂直關(guān)系。1.在立體幾何中，“異面直線所成的角”是怎樣定義的？

直線a、b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O，分別引直線a'//a，b'//b，我們把相交直線a'和b'所成的銳角（或直角）叫做異面直線所成的角.

2.在立體幾何中,"直線和平面所成的角"是怎樣定義的？

平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.

范圍：(0o,90o]．范圍：[0o,90o]．復(fù)習(xí)回顧公路問題引入(1)半平面的定義1.二面角的概念平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做半平面．半平面半平面(2)二面角的定義從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，每個(gè)半平面叫做二面角的面．棱面面新課講授①平臥式：②直立式：llAB(3)二面角的畫法和記法：1.二面角的概念面1－棱－面2點(diǎn)1－棱－點(diǎn)2二面角－l－二面角－AB－二面角C－AB－DABCD思考：我們常說“把門開大些”，是指哪個(gè)角開大一些，你認(rèn)為應(yīng)該怎么刻畫二面角的大??？AOlB

二面角的平面角A'B'O'以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.如圖，，則∠AOB成為二面角的平面角.它的大小與點(diǎn)O的選取無關(guān).二面角的平面角必須滿足：③角的邊都要垂直于二面角的棱①角的頂點(diǎn)在棱上②角的兩邊分別在兩個(gè)面內(nèi)11==ABA’B’二面角的平面角大小與點(diǎn)O在棱上的位置無關(guān)，只與二面角的張角大小有關(guān)。結(jié)論：二面角是用它的平面角來度量的，一個(gè)二面角的平面角多大，就說這個(gè)二面角是多少度的二面角。.二面角的范圍：[0o,180o]．①二面角的兩個(gè)面重合：

0o；②二面角的兩個(gè)面合成一個(gè)平面：180o；③平面角是直角的二面角叫直二面角．OAB觀察：教室相鄰的兩個(gè)墻面與地面可以構(gòu)成幾個(gè)二面角？分別指出構(gòu)成這些二面角的面、棱、平面角及其度數(shù)。三個(gè)βααβ圖形表示平面與平面垂直的定義

一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直.記作α⊥β建筑工人砌墻時(shí)，如何使所砌的墻和水平面垂直？鉛垂線→直線墻面→平面水平面→平面BAC

平面與平面垂直的判定定理一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直.αβaA簡記：線面垂直，則面面垂直符號:面面垂直線面垂直線線垂直αβEF思考1如圖，長方體中，α⊥β,(1)α里的直線都和β垂直嗎？(2)什么情況下α里的直線和β垂直？與AD垂直不一定思考2垂足為B，那么直線AB與平面β的位置關(guān)系如何？為什么？αβABDCE垂直證明:在平面內(nèi)作BE⊥CD,∵,∴AB⊥BE.又由題意知AB⊥CD,且BE

CD=B垂足為B.∴AB⊥則∠ABE就是二面角的平面角.αβABDCE平面與平面垂直的性質(zhì)定理符號表示:DCAB兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直．（線是一個(gè)平面內(nèi)垂直于兩平面交線的一條直線）面面垂直線面垂直作用：①它能判定線面垂直.②它能在一個(gè)平面內(nèi)作與這個(gè)平面垂

直的垂線.關(guān)鍵點(diǎn)：①線在平面內(nèi).②線垂直于交線.DCAB總結(jié)提升典例分析

【解答】證明（1）∵O是AC的中點(diǎn)，E是PC的中點(diǎn)，∴OE∥AP，又∵OE?平面BDE，PA?平面BDE，∴PA∥平面BDE題型一直線與平面垂直判定（2）∵PO⊥底面ABCD，∴PO⊥BD，又∵AC⊥BD，且AC∩PO＝O∴BD⊥平面PAC，而BD?平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE．

例3：如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，求證：（1）PC⊥BD；（2）面PBD⊥面PAC．【解答】解：（1）連接AC，BD．∵四邊形ABCD是正方形，∴BD⊥AC．∵PA⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，∴PA⊥BD∵PA?平面PAC，AC?平面PAC，PA∩AC＝C，∴BD⊥平面PAC，∵PC?平面PAC，∴PC⊥BD．（2）由（1）可知，BD⊥平面PAC，又∵BD?平面PBD∴平面PBD⊥平面PAC．

變式訓(xùn)練如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°．（Ⅰ）證明：平面ADB⊥平面BDC；（Ⅱ）設(shè)BD＝1，求三棱錐D﹣ABC的表面積．【解答】解：（Ⅰ）∵折起前AD是BC邊上的高，∴當(dāng)△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，又DB∩DC＝D，∴AD⊥平面BDC，∵AD?平面ABD．∴平面ADB⊥平面BDC

方法技巧判定定理理解的注意事項(xiàng)(1)明確判定定理的關(guān)鍵條件.(2)充分考慮各種可能的情況.(3)特殊的情況注意舉反例來說明.典例分析題型二二面角的平面角及求法例5.已知：四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是邊長為1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1．（Ⅰ）求證：BC∥平面PAD；（Ⅱ）若E、F分別為PB、AD的中點(diǎn)，求證：EF⊥平面PBC；（Ⅲ）求二面角B﹣PA﹣C的余弦值．【解答】（Ⅰ）解：因?yàn)锳BCD是正方形，所以BC∥AD．因?yàn)锳D?平面PAD，BC?平面PAD，所以BC∥平面PAD．

所以EF∥DH．因?yàn)榈妊苯恰鱌DC中，H為底邊PC的中點(diǎn)，所以DH⊥PC，即EF⊥PC．②因?yàn)镻C∩BC＝C，③由①②③知EF⊥平面PBC．（②的證明也可以通過連接PF、FB，由△PFB為等腰三角形證明）（Ⅲ）解：設(shè)PA的中點(diǎn)為M，連接MC，依條件可知△PAC中PC＝AC，所以MC⊥PA．①又PD⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，所以AB⊥PA．

例6.如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P﹣ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，點(diǎn)E是PD的中點(diǎn)．（1）證明：AC⊥PB；（2）證明：PB∥平面AEC；（3）求二面角E﹣AC﹣B的大?。窘獯稹浚?）證明：∵PA⊥平面ABCD，AC在平面ABCD內(nèi)，∴AC⊥PA又AC⊥AB，PA∩AB＝A，∴AC⊥平面PAB又PB在平面PAB內(nèi)，∴AC⊥PB

例7.如圖，將一副三角板拼接，使它們有公共邊BC，若使兩個(gè)三角形所在的平面互相垂直，且∠BAC＝90°，AB＝AC，∠CBD＝90°，∠BDC＝60°，BC＝6．（Ⅰ）求證：平面ABD⊥平面ACD；（Ⅱ）求二面角A﹣CD﹣B的平面角的正切值；（Ⅲ）求點(diǎn)B到平面ACD的距離．【解答】解：（Ⅰ）∵平面BCD⊥平面ABC，BD⊥BC，平面BCD∩平面ABC＝BC∴BD⊥平面ABC，AC?平面ABC，∴AC⊥BD，又AC⊥AB，BD∩AB＝B，∴AC⊥平面ABD

例8.如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是邊長為a的菱形，∠BCD＝120°，PC⊥平面ABCD，PC＝a，E為PA的中點(diǎn)，O為底面對角線的交點(diǎn)；（1）求證：平面EDB⊥平面ABCD；（2）求二面角的正切值．【解答】解：（1）連接EO，則由于E為PA的中點(diǎn)，O為底面對角線的交點(diǎn)所以O(shè)E為△APC的中位線所以EO∥PC，又PC⊥平面ABCD∴OE⊥平面ABCD∴平面EDB⊥平面ABCD.

變式訓(xùn)練

【解答】解：（1）在底面ABCD中，∵AC⊥BD，EF∥AC，∴BG⊥EF，連接B1G．又∵BB1⊥ABCD，∴B1G⊥EF．

典例分析題型三面面垂直的性質(zhì)定理例9.如圖，在四棱錐D′﹣ABCE中，底面為直角梯形，AB＝2BC＝2CE＝2，且AB⊥BC，AB∥CE，平面D′AE⊥平面ABCE．（1）求證：AD′⊥EB；（2）若D′A⊥D′E，D′A＝D′E，求直線AC與平面ABD′所成角的正弦值．【解答】（1）證明：∵平面D′AE⊥平面ABCE，∴AD′在底面ABCE上的射影落在AE上取AB中點(diǎn)H，連接CH，則CH∥AE∵AB＝2BC＝2CE＝2，∴四邊形BCEH為正方形，∴BE⊥CH，CH∥AE∴BE⊥AE∵平面D′AE⊥平面ABCE，平面D′AE∩平面ABCE＝AE，∴BE⊥平面D′AE∴AD′⊥EB；（2）解：由題意可知，D′在底面上的射影為AE中點(diǎn)G，設(shè)AC∩HE＝0，則OG∥AB，∴G與O到平面ABD′的距離相等過G作AB的垂線，垂足為F，連接D′F，過G作D′F的垂線，垂足為M，則GM等于O到面ABD′的距離

例10.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F分別是AP、AD的中點(diǎn)，求證：（1）直線EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD．【解答】證明：（1）在△PAD中，∵E，F(xiàn)分別為AP，AD的中點(diǎn)，∴EF∥PD．又∵EF不在平面PCD中，PD?平面PCD∴直線EF∥平面PCD．（2）連接BD．在△ABD中，∵AB＝AD，∠BAD＝60°．即兩底角相等并且等于60°，∴△ABD為正三角形．∵F是AD的中點(diǎn)，∴BF⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，BF?平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BF⊥平面PAD．又∵BF?平面EBF，∴平面BEF⊥平面PAD．例11.如圖所示，四棱錐P﹣ABCD中，ABCD是矩形，三角形PAD為等腰直角三角形，∠APD＝90°，面APD⊥面ABCD，AB＝1，AD＝2，E，F(xiàn)分別為PC和BD的中點(diǎn)．（1）求證：EF∥平面PAD；（2）證明：平面PAD⊥平面PDC；（3）求四棱錐P﹣ABCD的體積．【解答】證明：（1）連AC，由題可知F在AC上，∵E，F(xiàn)分別是AC，PC的中點(diǎn)∴EF∥PA∵EF?平面PAD，PA?平面PAD∴EF∥平面PAD

例12.在如圖所示的四棱錐P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA＝AD＝DC＝1，AB＝2，M為PB的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：MC∥平面PAD；（Ⅱ）求證：平面PAC⊥平面PBC；（Ⅲ）求直線MC與平面PAC所成角的余弦值．

∴EM∥DC，且EM＝DC∴四邊形DCME為平行四邊形，∴MC∥DE，又MC?平面PAD，DE?平面PAD所以MC∥平面PAD（Ⅱ）證明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又AC2+BC2＝2+2＝AB2，∴BC⊥平面PAC，又BC?平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC；

變式訓(xùn)練

1．若二面角α﹣l﹣β為120°，直線m⊥α，則β所在平面內(nèi)的直線與m所成角的取值范圍是（）A．（0，90°]

B．[30°，60°]C．[60°，90°]

D．[30°，90°]

課堂檢測

4．已知m，n是兩條不重合的直線，α，β，γ是三個(gè)不重合的平面，給出下列命題：①若m⊥α，m⊥β，則α∥β；②若α⊥β，β⊥γ，則α∥β；③若m⊥α，n⊥β，α∥β，則m∥n；④若m⊥α，n⊥β，則α∥β．其中真命題是（）A．①和④

B．①和③

C．②和③

D．②和④【解答】解：由線面間相關(guān)定理進(jìn)行判斷，對于①，垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行故若m⊥α，m⊥β，則α∥β成立．對于②兩個(gè)平面與第三個(gè)平面垂直，則兩個(gè)平面的位置關(guān)系可能平行，相交，若α⊥β，β⊥γ，則α∥β不一定成立．對于③，兩條直線垂直